[[분류:0과 1 사이의 수]]
[include(틀:수와 연산)]
[목차]

== 개요 ==
'''{{{+1 the real numbers greater than 0 and less than 1}}}'''

[math(x \in \mathbb{R}, 0<x<1)]로 정의되며 구간으로 표시하면 [math((0,1))]로 나타내어진다. 이 수를 특칭할 만한 용어는 아직까지 없다. 참고로 [[진분수]](proper fraction)는 [[무리수]]를 포함하고 있지 않기 때문에 충분조건·하위개념에 지나지 않으며[* 즉, 진분수면 0과 1사이의 숫자에 포함되나 그 역은 성립하지 않는다.] 그 자체가 이 용어를 대변하기엔 좁은 개념이다. '[[확률]]값' 역시 0과 1을 포함([math(x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 1)])하고 있으므로 이 용어를 대변할 수 없으며, 말그대로 확률값으로 해석될 때가 아니고선 오히려 혼란을 줄 여지가 있다. 단위구간(unit interval)은 보통 0과 1을 포함하여 그 사이의 수로 이루어진 닫힌 구간이므로, '열린 단위구간(open unit interval)'을 이용하여 지칭할 수 있다.

사실 해당 용어가 없는 이유는 굳이 이름 붙일 필요가 없기 때문이다. 가령 "0과 1 사이의 임의의 수 [math(x)]에 대해 명제 [math(P(x))]가 성립한다"는 명제는 다음과 같이 적을 것이다.
 * 임의의 [math(x\in(0, 1))]에 대해 [math(P(x))]가 성립한다.
 * [math(P(x))] holds for an arbitrary [math(x\in(0, 1))].
이와 같이 구간 표현이라는 간명하고 널리 공유되는 표기 대신 굳이 새로운 이름을 붙이는 게 불필요하다. 입말로도 '0과 1 사이의 수'나 'a number between 0 and 1'은 다소 길긴 하지만, 이들이 이미 널리 쓰이는 중에 새로운 용어가 만들어진다고 하더라도 대다수의 사람들에게 새 용어가 퍼져 통용될 가능성은 거의 없다.
== 성질 ==
0과 1 사이의 수 [math(\psi)]의 성질은 다음과 같다.
 * [[최대 정수 함수|[math(\lfloor \psi \rfloor = 0)]]]
  * [math(\{\psi\}  = \psi - \lfloor \psi \rfloor = \psi)]
 * [math(\lceil \psi \rceil = 1)]
 * [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0)]
 * [math(\displaystyle \lim_{n \to -\infty} \psi^n = \infty)]
 * [[등비급수|[math(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \psi^n = \frac{1}{1-\psi})]]]
 * [math(\bold{1}_{\mathbb{N}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{Z}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{R}}(\psi) = 1)][* [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\psi), \bold{1}_{\mathbb{I}}(\psi))]의 값은 해당 수의 [[유리수]] 여부에 따라 다르다. 가령 [math(\dfrac{1}{2})]는 유리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0)]이지만, [[오메가 상수]] [math(\Omega)]는 무리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\Omega\right) = 0, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\Omega\right) = 1)]이다. 다만 [[오일러-마스케로니 상수]] 같은 경우 유리수/무리수 여부가 아직 밝혀지지 않았으므로 현 시점에서는 '부정'이다.]
 * [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln \psi)}{\ln \psi})][* [math(\uparrow \uparrow)]는 [[테트레이션|4차 연산자]], [math(W)]는 [[람베르트 W 함수]]이다. [[무한 지수 탑 함수|이 함수]]는 실수 범위에서 0과 1 사이의 수를 비롯해서 [math(\left(1, \sqrt[e]{e}\;\!\right])]인 경우에만 수렴한다. 나머지 수에 대해서는 [[복소해석학]]을 이용해 [[해석적 연속|해석적 확장]]을 해야 한다.]
== 이용 ==
[[지수함수]], [[로그함수]]에서 '밑'의 정의역으로 쓰인다. 지수함수에서는 밑의 정의역에 따라 치역의 증감이 달라지기 때문이다.
 * 1보다 큰 수
 * '''0보다 크고 1보다 작은 수'''
 * [[복소수|0보다 작은 수]][* 이 경우 [[복소평면]]에서만 나타낼 수 있다.]
특히 지수함수의 경우 1인 경우는 [math(y=1)]과 똑같고, 로그함수는 [[로그(수학)|로그]]의 정의상 밑이 1이 될 수 없다.

[[초실수체|비표준 해석학]]에서는 '[[무한소]]'라고 불리는, '''0에 무한히 가까우면서도 0은 아닌''' 가상의 수를 정의해서 사용한다.

[[원뿔곡선]] 중 [[타원]]의 이심률이 0과 1 사이이다.
== 목록 ==
0과 1 사이의 수의 개수는 무한하며 이 중 따로 이름이 붙여진 것들을 서술한다. 구체적인 값은 소수점 7번째 자리에서 반올림한다.[*출처 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant#Simple_representatives_of_sets_of_numbers]]를 참고함.]

 * [[2학년의 꿈|2학년의 꿈 상수]] [math(I_1)](약 0.783431) - [math(\displaystyle \int_0^1 x^x dx)]의 값이다.
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_constant|가우스 상수]] [math(G)](약 0.834627) - [math(\dfrac{\Beta(1/4, 1/2)}{2\pi})]의 값이다. [math(\Beta)]는 [[베타 함수]]이다.
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%80%EC%9A%B0%EC%8A%A4-%EC%BF%A0%EC%A6%88%EB%AF%BC-%EB%B9%84%EC%96%B4%EC%A7%95_%EC%83%81%EC%88%98|가우스-쿠즈민-비어징 상수]](약 0.303663)
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Golomb%E2%80%93Dickman_constant|골롬-딕맨 상수]](약 0.624330)
 * [[곰페르츠 상수]](약 0.596347) - [math(-e \, \mathrm{Ei}(-1))]의 값이다. [math(\mathrm{Ei})]는 [[지수 적분 함수]].
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_limit|라플라스 극한]](약 0.662743)
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9E%80%EB%8B%A4%EC%9A%B0_%EC%83%81%EC%88%98|란다우 상수]](약 0.543209)
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9E%80%EB%8B%A4%EC%9A%B0-%EB%9D%BC%EB%A7%88%EB%88%84%EC%9E%94_%EC%83%81%EC%88%98|란다우-라마누잔 상수]](약 0.764224)
 * [[https://ko.m.wikipedia.org/wiki/뤼로스_상수|뤼로스 상수]](약 0.788531)
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EC%9A%B0%EB%B9%8C_%EC%83%81%EC%88%98|리우빌 상수]](약 0.110001) - 무한급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!})]로 생성되는 수이다. [[리우빌의 정리]]로 알려진 리우빌이 [[초월수]]를 고안하면서 만들어낸 수이다.
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Meissel%E2%80%93Mertens_constant|마이셀-메르텐스 상수]](약 0.261497)
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%27s_constant|번스타인 상수]](약 0.280169)
 * [[브룬 상수#s-2]] [Math(B_4)](약 0.870588)
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch%27s_theorem_(complex_variables)|블로흐 상수]](약 0.471861)
 * [[스틸체스 상수]] 중 일부 - 편의상 5개만 나열하였다.
  * [[오일러-마스케로니 상수]] [math(\gamma_0)](약 0.577216)
  * [math(\gamma_3)](약 0.002054)
  * [math(\gamma_4)](약 0.002325)
  * [math(\gamma_5)](약 0.000793)
  * [math(\gamma_{10})](약 0.000205)
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8C%8D%EB%91%A5%EC%9D%B4_%EC%86%8C%EC%88%98_%EC%83%81%EC%88%98|쌍둥이 소수 상수]](약 0.660162) - 이름처럼 [[쌍둥이 소수]]에 관련된 수이다. 발견자의 이름을 따서 하디-리틀우드 상수라고도 한다.
 * [[https://ko.m.wikipedia.org/wiki/알라디-그린스테드_상수|알라디-그린스테드 상수]](약 0.809394)
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Embree%E2%80%93Trefethen_constant|엠브리-트레페텐 상수]](약 0.70258)
 * [[오메가 상수]](약 0.567143) - [[방정식]] [math(xe^x - 1 = 0)]의 유일한 실근이다. [[람베르트 W 함수]]에 1을 대입하면 얻을 수 있다.

 * [[챔퍼나운 상수]](약 0.123457) - 소수점 아래의 배열이 [[자연수]]를 쭉 이어 적은 형태이다.
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Cahen%27s_constant|카앵 상수]](약 0.643411)
 * [[카탈랑 상수]](약 0.915966)
 * [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%94%ED%94%8C%EB%9E%9C%EB%93%9C_%EC%97%90%EB%A5%B4%EB%90%98%EC%8B%9C_%EC%83%81%EC%88%98|코플랜드-에르되시 상수]](약 0.235711) - 소수점 아래의 배열이 [[소수(수론)|소수]]만으로 이루어져 있다.
 * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hafner%E2%80%93Sarnak%E2%80%93McCurley_constant|해프너-사낙크-맥컬리 상수]](약 0.353236)

항목을 보면 알겠지만 대부분이 [[무한급수]] 연구의 부산물인 경우가 많다.[* 위 항목의 수를 보면 알겠지만 아예 [[초월수]]로 인정을 받았거나, [[무리수]]임이 확실시되는 수들이다. 다만 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수는 유리수인지 무리수인지 알려져 있지 않다.][* 위 목록 중 무한급수와 관계 없어 보이는 녀석들이 몇 있지만 챔퍼나운 상수, 코플랜드-에르되시 상수는 무한급수 [[점화식]]을 세울 수 있으며, 이상적분으로 정의된 2학년의 꿈 상수도 이리저리 풀다 보면 무한급수([math(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n \ln^n x}{n!})])가 튀어나온다. 그리고 오메가 상수를 정의하는 [[람베르트 W 함수]]가 무한급수([math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)} x^n)])로 정의된다.] 하지만 이름이 붙을 정도로 중요성은 매우 높은데, 위의 오일러-마스케로니 상수만 봐도 [[감마 함수]]와 상당히 연관되어 있고, 카탈랑 상수와 가우스-쿠즈민-비어징 상수는 [[정수론]]의 끝판왕인 '''[[리만 가설]]'''의 중요한 떡밥 중 하나이다. 1보다 작은 수라고 결코 무시할 게 아닌 셈.

이외에도 이름은 없지만 [math(i^i)](약 0.207880)[* [math(i^i = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)})]([math(k \in \mathbb{Z})])에서 [math(k=0)]으로 지정했을 경우. 보통 [math(\theta \in (-\pi,\pi])]로 두고 계산할 때가 많다.] 같은 특수한 꼴로 유도되는 수가 존재한다.
== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[무한소]]
 * [[작은 수]]