[include(틀:대수학)]
[목차]
== 개요 ==
>[math((x+y)^n = x^n+y^n)]
'''1학년의 꿈(Freshman's Dream)'''은 [[곱셈 공식]]을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.
수학을 조금 알고 있다면 저 식이 항등식이 아니라는 것은 쉽게 알 수 있다. 하지만 위 식을 만족하기 위한 [math(x, y, n)]의 조건을 찾아내는 것은 생각해 볼 만한 문제라고 할 수 있다. 수학자의 연구에 의해 위 식에는 자명한 해 이외에는 실수해가 존재하지 않음이 증명되었다.

>[math((x+y)^n = x^n+y^n)]를 만족하는 임의의 실수 [math(n, x, y)]는 아래의 자명한 경우를 만족하는 수 이외에는 없다.
> * [math(n =1)] 인 경우
> * [math(x+y =0, n \equiv 1 \bmod 2, n \gt 0 )]: 즉 [math(x)]와 [math(y)]가 서로 [[반수]](反數, 절댓값이 같고 부호가 다른 수)이며, [math(n)]이 0 보다 큰 [[홀수]]일 경우
> * [math(xy = 0, n \gt 0)]: 즉 [math(x, y)] 중 하나 이상이 0이고, [math(n)]이 양수인 경우
== 설명 ==
1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면
 * [math((x+y)^0 \neq x^0+y^0 \Leftrightarrow 1 \neq 2)][* [[1=2]] 참조.]
 * [math((x+y)^2 \neq x^2+y^2 \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \neq x^2+y^2)]

이외에도 [[초등학교 수학]]에서 [[분모]]가 다른 [[분수(수학)|분수]]의 덧셈을 배울 때([[통분]])나, [[중학교 수학]]에서 [[제곱근]]을 배울 때 다음 관계를 [[시행착오#s-2]]로써 알게 되는 경우가 많은데 결국 같은 맥락이다.
 * [math(\dfrac{1}{x+y} \neq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}  \Leftrightarrow (x+y)^{-1} \neq x^{-1} + y^{-1})]
 * [math(\sqrt{x+y} \neq \sqrt{x}+\sqrt{y} \Leftrightarrow (x+y)^{1/2} \neq x^{1/2} + y^{1/2})][* [math(\sqrt{a \pm b}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b})]를 만족시키는 [math(a)], [math(b)]의 값은 [math(\pm)]에서 [math(+)]의 경우, [math(ab=0)]일 때 뿐이며, [math(-)]의 경우, [math(b=0)] 또는 [math(a=b)]일 때이다. 이유는 [[제곱근#s-2.1|제곱근 2.1문단]] 참조.]

이것을 모든 [[실수(수학)|실수]][* [[음수(수학)|음수]]의 경우 어차피 양수로 한 식을 [[반수]]로 취한 거라 양수의 예만 증명하면 자동적으로 증명된다. 예외적으로 위에 나온 [math(n=-1)] 같은 경우는 따로 증명해야 하지만.]로 확장해서 자명한 해인 [math(n =1)] 혹은 [math(x+y=0,\,xy=0)]이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다.

그럼 [[복소수]]는 어떨까? '''[[드 무아브르 공식]]의 존재로 안 된다.''' 복소수 지수는 [[오일러 공식|[math(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta)]]]로 정의되는데, [math(\left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n)]이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.

== 성립하는 사례 ==
=== 실수 이외의 해 ===
[math(x, y)]를 실수라고 가정하지 않고 다른 [[체(대수학)|체]]의 수라고 생각하면 특정한 [math(n)]과 임의의 [math(x, y)]에 대해 위 식이 항등식이 되는 경우가 있다. [[소수(수론)|[math(p \in \mathbb{P})]]]인 [math(p)]가 표수[* [[체(대수학)|체]] [math(F)]에 대하여, [math(F)]의 곱셈의 [[항등원]] [math(1_{F})]을 유한번 더했을 경우, [[시계 산술|덧셈의 항등원 [math(0_{F})]이 나온다면]], 더해진 [math(1_{F})]의 최소 개수를 [math(F)]의 표수(characteristic)라고 한다.  [math(1_{F})]을 아무리 더해도 [math(0_{F})]이 나오지 않으면, [math(F)]의 표수를 0으로 정의한다. [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면 [math(p)]는 소수임이 알려져 있다. 참고로 [[자연수]], [[정수]], [[유리수]], [[실수(수학)|실수]], [[복소수]] 같은 '일반적'인 [[수 체계]]는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다.]인 [[체(대수학)|체]]에서 <math>p</math>제곱을 하는 경우에 성립한다. [[이항정리]]에 의하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} )] }}}
이 성립하는데, 이때, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]는 항상 [[자연수]]이다. 그런데, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!} )] }}}
이고, 위의 우변에서 [math(0<r<p)]이면, 분모는 소수 [math(p)]보다 작은 수들의 곱이므로 인수로 [math(p)]를 가질 수 없다. 그래서, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]는 [math(p)]의 배수가 되어서, 어떤 자연수 [math(m)]에 대하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F} )] }}}
이 성립한다. 정리하면, 체 [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면, [math(n=p)]인 경우에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned} )] }}}
가 성립한다.
=== 행렬 ===
[[행렬]]도 1학년의 꿈을 만족시킬 수 있다.

예를 들어 n=2라 하면 식은
[math((A+B)^2=A^2+B^2)]
이며, 식 양변을 정리해주면
[math(\{A,B\}=AB+BA=0)]
이렇게 반[[교환자]] 형태로 바뀐다.

그다음 A, B를 각각 2×2행렬
[math(A=a_0+\vec σ \cdot \vec a)]
[math(B=b_0+\vec σ \cdot \vec b)][*※ [math(\vec σ)]는 각 [[파울리 행렬]]들로 구성한 행렬벡터다.]
로 놓고 위 식에다 넣으면
[math(0=\{A,B\})]
[math(~~~=\{a_0+\vec σ \cdot \vec a,b_0+\vec σ \cdot \vec b\})]
[math(~~~=2a_0b_0+2\vec σ \cdot (\vec ab_0 + \vec ba_0)+2\vec a \cdot \vec b)]
가 나오고, 이 식을 각 성분별로 정리하면 아래와 같은 [[연립방정식]]을 얻는다.
 * (1) [math(a_0b_0+\vec a \cdot \vec b=0)]
 * (2) [math(\vec ab_0 + \vec ba_0=0)]

이 1번식에다 각각 a,,0,,, b,,0,,을 곱한 뒤 2번식을 대입하면
 * [math(0=a_0^2b_0+\vec a \cdot (\vec ba_0))]
 [math(~~~=a_0^2b_0+\vec a \cdot (-\vec ab_0))]
 [math(~~~=(a_0^2-a^2)b_0)]
 * [math(0=a_0b_0^2+(\vec ab_0) \cdot \vec b)]
 [math(~~~=a_0b_0^2+(-\vec ba_0) \cdot \vec b)]
 [math(~~~=a_0(b_0^2-b^2))]
이렇게 바뀌고, 풀면 아래와 같이 나온다.
 * [math(a_0=0~또는~±a)]
 * [math(b_0=0~또는~±b)]

이제 이 답들을 1번, 2번 식에 넣어 검산하면
 * [math(a_0=b_0=\vec a \cdot \vec b =0)]
 * [math(a_0=±a,~b_0=±b,~\vec a=-\vec b)] ([[복호동순]])
 * [math(a_0=±a,~b_0=∓b,~\vec a=\vec b)] (복호동순)
일때 1학년의 꿈을 만족시킴을 알 수 있다.

== 여담 ==
 * 자매품으로 해석학 및 미적분학 계열의 [[2학년의 꿈]]이 있다. 참고로 2학년의 꿈은 [[참]]이다.

 * [[해부학]]에서는 [[장딴지빗근]]의 힘줄이 너무 가늘어서 [[신경]]으로 착각하기 쉽단 이유로 장딴지빗근을 '1학년의 신경(freshman nerve)'이라는 별명으로 부르기도 한다.

[[분류:대수학]][[분류:오류]][[분류:방정식]]