문서 보기문서 편집수정 내역 바퀴 이론 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:수와 연산)] [목차] == 개요 == {{{+1 Wheel theory/[[바퀴(도구)|바퀴]] 이론}}} [youtube(jl23hhyxqWg)] [[0으로 나누기|[math(\displaystyle {1 \over 0})] 과 [math(\displaystyle {0 \over 0})]]]를 대수적으로 정의하는 이론으로 이 이론의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현해 보면 마치 바퀴처럼 중심과 외곽이라는 이질적인 구조로 이루어져 있어서 붙여진 이름이다.[* 기존 수 체계의 수의 순서 구조를 위상적으로 표현하면 일직선이다. 반면 순환하는 구조는 0으로 나누기 항목에 언급된 리만구의 2차원버전으로 바퀴에서 중섬의 특이점이 빠진 구조다.] 즉, 전순서 집합인 기존 실수 체계와는 다르게, [math(\pm \infty)]를 한 점으로 콤팩트화시키고, 여기에 위상구조에 포함되지 않는 특이점 하나를 추가한 형태가 된다. --[[부울 대수]] 짝퉁같아 보인다-- == 정의와 정리 == 이 이론에선 각각 [math(\displaystyle {1 \over 0})]과 [math(\displaystyle {0 \over 0})]을 뜻하는 [math(∞)]와 ⊥를 공리로 한다. === 1÷0과 0÷0의 정의 === 첫번째로 [math(\displaystyle {1 \over 0})]을 먼저 정의를 먼저 해보자. [math(\displaystyle {1 \over 1} = 1, {1 \over 0.1} = 10, {1 \over 0.01} = 100, ... ,{1 \over 0} = ∞)] 간단히 하면 [math(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}{1 \over x} = ∞)] 기존의 [[무한]]을 생각한다면 엄밀한 증명은 아니긴 하지만, [math(∞)]를 [[무한]]을 뜻하는 기호가 아닌 [math(\displaystyle {1 \over 0})]을 표현한 기호라고 생각하자. 두번째로 [math(\displaystyle {0 \over 0})]은 부정, 모순을 뜻하는 ⊥(Up tack)을 사용한다. ~~욕 아니다~~ 실제로 [math(\displaystyle {0 \over 0})](이하 ⊥)의 위상학적 구조는 순서가 존재 하지 않는, 실수 체계를 벗어난 수이다. 다만, 여기서 짚고 넘어가야할 부분은 위에서 [math(∞)]와 [math(⊥)]를 정의한 방식이 과연 옳은 방식인가 하면 그건 절대로 아니다. 수 체계란 그리 간단히 조종할 수 있는것이 아닌 [[군(대수학)|군]], [[환(대수학)|환]], [[체(대수학)|체]]가 제대로 성립하는지 부터 엄밀히 봐야하며 체계 또한 모순이 생기지 않게 엄밀하게 정의해야 한다. 그럼에도 위 처럼 정의한 까닭은 해당 이론을 조금 더 가볍게 다루기 위함임을 밝힌다. 조금더 자세히 알고 싶다면 해당 논문을 살펴 보자. === ∞ = -∞ === 이 이론의 이름이 바퀴 이론인 이유라고 할 수 있는 정리이다. [math(\displaystyle -∞ = -{1 \over 0})] [math(\displaystyle = \dfrac{1}{-\dfrac{0}{1}})] [math(\displaystyle = {1 \over 0})] [math(=∞)] ∴ [math(∞ = -∞)] === ∞와 ⊥의 서로의 합 === 해당 항목에선 [math(\displaystyle{a \over b}+{c \over d}={{a \times d}+{b \times c} \over {b \times d}})]임을 이용한다. ==== ∞+∞ ==== [math(\displaystyle ∞+∞ = {1 \over 0}+{1 \over 0})] [math(\displaystyle = {1 \times 0 + 1 \times 0 \over 0 \times 0})] [math(\displaystyle = {0 \over 0})] [math(\displaystyle = ⊥)] ==== ∞+⊥ ==== [math(\displaystyle ∞+⊥ = {1 \over 0}+{0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{1 \times 0}+{0 \times 0} \over {0 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})] [math(=⊥)] ==== ⊥+⊥ ==== [math(\displaystyle ⊥+⊥ = {0 \over 0}+{0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{0 \times 0}+{0 \times 0} \over {0 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 0} \over 0})] [math(=⊥)] === ∞와 ⊥의 서로의 곱 === 해당 항목에선 [math(\displaystyle {{a \over b} \times {c \over d}}={{a \times c} \over {b \times d}})]임을 이용한다 ==== ∞×∞ ==== [math(\displaystyle {∞ \times ∞} = {{1 \over 0} \times {1 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{1 \times 1} \over {0 \times 0}})] [math(\displaystyle ={1 \over 0})] [math(=∞)] ==== ∞×⊥ ==== [math(\displaystyle {∞ \times ⊥} = {{1 \over 0} \times {0 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{1 \times 0} \over {0 \times 0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] ==== ⊥×⊥ ==== [math(\displaystyle {⊥ \times ⊥} = {{0 \over 0} \times {0 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{0 \times 0} \over {0 \times 0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] === 0이 아닌 실수 x와 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈 === ==== x + ∞ ==== [math(\displaystyle { x + ∞ } = {x \over 1} + {1 \over 0})] [math(\displaystyle ={{{x \times 0} + {1 \times 1}} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 1} \over {0}})] [math(\displaystyle ={1 \over 0})] [math(=∞)] ==== x + ⊥ ==== [math(\displaystyle { x + ⊥} = {x \over 1} + { 0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{{x \times 0} + {1 \times 0}} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 0} \over {0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] ==== x × ∞ ==== [math(\displaystyle {x \times ∞} = {x \over 1} \times {1 \over 0})] [math(\displaystyle ={1 \over {1 \over x}} \times {1 \over 0})] [math(\displaystyle ={{1 \times 1} \over {{1 \over x} \times 0}})] [math(\displaystyle ={1 \over 0})] [math(=∞)] ==== x × ⊥ ==== [math(\displaystyle {x \times ⊥} = {x \over 1} \times {0 \over 0})] [math(\displaystyle ={1 \over {1 \over x}} \times {0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{1 \times 0} \over {{1 \over x} \times 0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] === 0과 ∞, ⊥ 끼리의 덧셈과 곱셈 === ==== 0 + ∞ ==== [math(\displaystyle 0 + ∞ = 0 + {1 \over 0})] [math(\displaystyle ={{0 \over 1} + {1 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{0 \times 0 + 1 \times 1} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 1} \over {0}})] [math(\displaystyle ={1 \over {0}})] [math(=∞)] ==== 0 + ⊥ ==== [math(\displaystyle 0 + ⊥ = 0 + {0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{0 \over 1} + {0 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{0 \times 0 + 1 \times 0} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={{0 + 0} \over {0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] ==== 0 × ∞ ==== [math(\displaystyle 0 × ∞ = 0 \times {1 \over 0})] [math(\displaystyle ={{0 \over 1} \times {1 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{0 \times 1} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] ==== 0 × ⊥ ==== [math(\displaystyle 0 × ⊥ = 0 \times {0 \over 0})] [math(\displaystyle ={{0 \over 1} \times {0 \over 0}})] [math(\displaystyle ={{0 \times 0} \over {1 \times 0}})] [math(\displaystyle ={0 \over 0})] [math(=⊥)] === 연산표 === ([math(a, b \in \mathbb{R})]) || [math(+)] || [math(b)] || [math(0)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] ||<|5> || [math(\times)] || [math(b)] || [math(0)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || || [math(a)] || [math(a+b)] || [math(a)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || [math(a)] || [math(ab)] || [math(0)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || || [math(0)] || [math(b)] || [math(0)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || [math(0)] || [math(0)] || [math(0)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || || [math(\infty)] || [math(\infty)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(\infty)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || [math(\infty)] || [math(⊥)] || || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || [math(⊥)] || == ∞+∞ = 2×∞? == 분명 위의 연산표를 보면 [math(∞+∞)] 는 [math(⊥)]이지만 [math(2 × ∞)]는 [math(∞)]이다. 우리들의 상식선에선 둘은 같아야 된다. 하지만 왜 둘의 결과값이 다를까? 앞서 두 수의 덧셈은 [math(\displaystyle{a \over b}+{c \over d}={{a \times d}+{b \times c} \over {b \times d}})]으로 정의했다. 이를 변형하면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{a \times c} + {b \times c} \over {c \times c}})] 알아보기 쉽게 괄호를 묶으면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{(a + b) \times c} \over {c \times c}})] [math((a+b))]를 [math(t)]로 치환 한다면 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{t \times c} \over {c \times c}})] 하지만 위의 덧셈 공식에 의해서 [math(\displaystyle{a \over c}+{b \over c} = {{t \times c} + {x \times c} \over {c \times c}})] 를 만족하는 [math(x)]가 있어야 하며 [math(x)]는 자명하게 0이 된다. 즉, [math(\displaystyle {{a \over c}+{b \over c}} = {(a+b) \over c})]가 아닌 [math(\displaystyle {{a \over c}+{b \over c}} = {(a+b) \over c} + {0 \over c})] 이라는 것이다. 그러므로 [math(∞+∞)] = [math(\displaystyle {2 \times {1 \over 0}}+{0 \over 0})] = [math(∞+⊥)] = [math(⊥)]이 되는 것이다. == 이외의 연산들 == === 역수 === * [math(\displaystyle {1 \over ∞})] * [math(\displaystyle {{1 \over ∞} = {1 \over {1 \over 0}}})] [math(\displaystyle {= {0 \over 1}})] [math(\displaystyle {= 0})] * [math(\displaystyle {1 \over ⊥})] * [math(\displaystyle {{1 \over ⊥} = {1 \over {0 \over 0}}})] [math(\displaystyle {= {0 \over 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] ==== 역수로부터 파생되는 연산들 ==== * [math(\displaystyle {∞ \over ∞})] * [math(\displaystyle {{∞ \over ∞} = {∞ \times {1 \over ∞}}})] [math(\displaystyle {= {∞ \times 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {∞ \over ⊥})] * [math(\displaystyle {{∞ \over ⊥} = {∞ \times {1 \over ⊥}}})] [math(\displaystyle {= {∞ \times ⊥}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {⊥ \over ∞})] * [math(\displaystyle {{⊥ \over ∞} = {⊥ \times {1 \over ∞}}})] [math(\displaystyle {= {∞ \times 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {⊥ \over ⊥})] * [math(\displaystyle {{⊥ \over ⊥} = {⊥ \times {1 \over ⊥}}})] [math(\displaystyle {= {⊥ \times ⊥}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] === 제곱 === * [[0의 0제곱|[math(\displaystyle {0^0})]]] * [math(\displaystyle {{0^0} = {0 \over 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {a^∞})], ([math(\displaystyle {a>1})]) * [math(\displaystyle {\lim_{x\to ∞}{a^x} = ∞})] * [math(\displaystyle {a^⊥})], ([math(\displaystyle {a>1})]) * [math(\displaystyle {a^⊥ = {(a^∞)}^0})] * [math(\displaystyle {= {{a^∞} \over {a^∞}}})] * [math(\displaystyle {= {∞ \over ∞}})] * [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {∞^0})] * [math(\displaystyle {∞^0 = {∞ \over ∞}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {⊥^0})] * [math(\displaystyle {⊥^0 = {⊥ \over ⊥}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {0^∞})] * [math(\displaystyle {0^∞ = 0})] * [math(\displaystyle {0^⊥})] * [math(\displaystyle {0^⊥ = {(0^∞)}^0})] [math(\displaystyle {= 0^0})] [math(\displaystyle {= ⊥})] ==== 제곱으로부터 파생되는 연산들 ==== * [math(\displaystyle {1^∞})] * [math(\displaystyle {{1^∞} = s})] [math(\displaystyle {\ln{1^∞} = \ln{s}})] [math(\displaystyle {∞\ln{1} = \ln{s}})] [math(\displaystyle {∞ \times 0 = \ln{s}})] [math(\displaystyle {⊥ = \ln{s}})] [math(\displaystyle {{e^⊥} = s})] [math(\displaystyle {{1^∞} = {s} = ⊥})] * [math(\displaystyle {1^⊥})] * [math(\displaystyle {1^⊥ = {(1^∞)}^0})] [math(\displaystyle {= ⊥^0})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {∞^∞})] * [math(\displaystyle {∞^∞ = {{1^∞} \over {0^∞}}})] [math(\displaystyle {= {⊥ \over 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {∞^⊥})] * [math(\displaystyle {{∞^⊥} = {{1^⊥} \over {0^⊥}}})] [math(\displaystyle {= {⊥ \over ⊥}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {⊥^∞})] * [math(\displaystyle {{⊥^∞} = {{0^∞} \over {0^∞}}})] [math(\displaystyle {= {0 \over 0}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] * [math(\displaystyle {⊥^⊥})] * [math(\displaystyle {{⊥^⊥} = {{0^⊥} \over {0^⊥}}})] [math(\displaystyle {= {⊥ \over ⊥}})] [math(\displaystyle {= ⊥})] == 바퀴 이론의 수학적 의미 == 사실 바퀴 이론은 수학적인 의미가 거의 없다. 위에서 보았듯이 [math(∞)]나 [math(⊥)]이 연산에 들어가면 거의 무조건 [math(⊥)]이 튀어나온다. 즉, 연구할 가치가 거의 없다. 많이 쳐줘봐야 "극한을 사용하지 않고 사칙연산으로 거의 대부분의 부정형 여부를 가릴 수 있다" 정도이다. 그렇다고 연구가 아예 진행이 되지 않은것은 아니다. 하지만 연구를 할 수록 바퀴 이론에선 두 수의 뺄셈과 나눗셈이 각각 덧셈과 곱셈의 역연산으로 정의가 되지 않는 등 우리가 알고 있는 실수[[체(대수학)|체]]와 거리가 멀어지며 점차 연구할 가치를 잃어가게 된 것이다. 단적인 예로 [math(\displaystyle 0^∞)]의 정의이다. 위의 연산결과에 따르면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle {0^∞}={(0^∞)\over(1^∞)})]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle ={0 \over ⊥})]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle ={⊥})]}}} 이라는 모순된 결과가 나온다. 사실 이렇게 된다면 [math(\displaystyle 0^∞)]을 [math(\displaystyle ⊥)]으로 정의하면 모순이 되지는 않지만, 그렇게 정의한다면 바퀴이론은 기존 실수체계와 전혀 다른 수체계를 다룬다는 뜻이 되어버린다. [[부정형]]문서에서도 알 수 있듯이 0^∞은 부정형이 아닌 0으로 정의되는 값이다. [[https://www.cs.swan.ac.uk/~csetzer/articles/wheel.pdf|이와 관련한 논문]]은 1997년에 나왔지만, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory|위키피디아의 Wheel theory 문서]]도 그로 부터 7년이 지난 2004년에 만들어 졌고 나무위키의 바퀴 이론 문서는 '''논문이 나온지 26년만'''인 2023년에 만들어졌다는 것만 보아도 수학계에서도 주목을 크게 받지 못했다는걸 알 수 있다.[* 여기서 한 술 더 뜨자면 바퀴 이론을 다루는 사이트는 미러 위키를 제외 한다면 앞서 서술한 바퀴 이론 논문, 위키피디아의 문서, 나무위키의 본 문서 '''딱 세개밖에 없다.''' 그마저도 나무위키의 본 문서는 개요에 달린 [[이상엽Math]]의 영상 업로드 이후에 생성된 문서이다.][* 구글에 [[https://www.google.com/search?q=%EB%B0%94%ED%80%B4+%EC%9D%B4%EB%A1%A0&rlz=1C1IBEF_koKR1047KR1047&sxsrf=AB5stBiLim7VPQV0Q8otmeNoUTJ2MbCxxQ%3A1690256834017&ei=wkW_ZL5AxPSHA9rHmtAB&ved=0ahUKEwi-qa6x-aiAAxVE-mEKHdqjBhoQ4dUDCA8&uact=5&oq=%EB%B0%94%ED%80%B4+%EC%9D%B4%EB%A1%A0&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiDeuwlO2AtCDsnbTroaAyBxAjGIoFGCdIiw9Q1QRYjw5wA3gBkAEBmAGAAaABwAmqAQQxLjEwuAEDyAEA-AEBqAIKwgIHECMY6gIYJ8ICDRAuGIoFGMcBGNEDGCfCAgsQABiABBixAxiDAcICCxAuGIAEGLEDGIMBwgIEEAAYA8ICBBAuGAPCAgcQABiKBRhDwgIHEC4YigUYQ8ICCBAAGIAEGLEDwgINEAAYgAQYFBiHAhixA8ICCxAuGIAEGLEDGNQCwgIKEAAYgAQYFBiHAsICBRAAGIAEwgIIEC4YgAQY1ALiAwQYACBBiAYB&sclient=gws-wiz-serp|바퀴 이론]]이라고 검색하면 정작 바퀴 이론에 대한건 거의 없고 '''사랑의 발달이란 바퀴처럼 하나의 순환과정으로서 라포형성단계, 자기노출단계, 상호의존단계, 개인욕구충족단계 네 가지 단계를 거친다는 내용'''의 이론인 '''사랑의 수레바퀴 이론'''과 '''새로운 형태의 소매점은 시장 진입 초기엔 저가격, 저서비스, 제한적 제품구색으로 시장에 진입하지만 비슷한 소매점이 생겨나고 경쟁하며 고비용, 고가격, 고소비 소매점으로 위치가 확립되고, 그 결과 새로운 유형의 소매점이 저가격, 저서비스, 제한적 제품구성으로 시장에 진입할 수 있는 여지를 제공하고 이것이 수레바퀴 처럼 반복된다'''는 내용의 '''소매 수레바퀴 이론'''이 더 많이 뜬다. [[https://www.google.com/search?q=wheel+theory&rlz=1C1IBEF_koKR1047KR1047&biw=1440&bih=749&sxsrf=AB5stBigQnPpAK_5HzgrBRZitNGs-eMeow%3A1690257250436&ei=Yke_ZOKpGtjz-Qbv5pewBg&ved=0ahUKEwji4vb3-qiAAxXYed4KHW_zBWYQ4dUDCA8&uact=5&oq=wheel+theory&gs_lp=Egxnd3Mtd2l6LXNlcnAiDHdoZWVsIHRoZW9yeTIHECMYigUYJzIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABDIEEAAYHjIEEAAYHjIEEAAYHjIEEAAYHjIGEAAYHhgPMgYQABgeGA9I-h5QAFjDHXABeAGQAQCYAYIBoAHnCqoBBDAuMTK4AQPIAQD4AQGoAgrCAgcQIxjqAhgnwgILEAAYgAQYsQMYgwHCAgQQABgDwgIREC4YgAQYsQMYgwEYxwEY0QPCAhAQABiABBgUGIcCGLEDGIMBwgIIEC4YgAQYsQPCAg4QLhiABBixAxjHARjRA8ICCBAAGIAEGLEDwgIKEAAYgAQYFBiHAsICCxAuGIAEGLEDGIMBwgIFEC4YgATCAgYQABgeGAriAwQYACBBiAYB&sclient=gws-wiz-serp|영어로 검색]]해도 별반 다를것이 없다. 1페이지엔 바퀴 이론의 내용과 그에 대한 질문을 하는 글이 뜨지만 2페이지로 넘어가 보면 역시 사랑의 수레바퀴 이론과 소매 수레바퀴 이론에 대한 설명 뿐이다.] 그러니까, 바퀴 이론은 그저 "[[0으로 나누기]]를 대수적으로 가능하게 만드려는 시도 중 하나"일 뿐이다. ##해당 내용은 구글링을 하여 나온 약간은 주관적인 내용입니다. 틀린 부분이 있을 시 바로 고쳐주시면 감사하겠습니다. == 둘러보기 == * [[0으로 나누기]] [[분류:수학]][[분류:0]]캡챠되돌리기