문서 보기문서 편집수정 내역 선형 변환 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:다른 뜻1, from=비선형, other1=밴드 못의 음반, rd1=비선형(음반), other2=비선형 게임플레이, rd2=자유도(게임), paragraph2=3)] [include(틀:대수학)] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[線]][[型]][[變]][[換]] / linear transformation}}} [[벡터 공간]]에서 [[벡터 공간]]으로 가는 [[준동형 사상]]인, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 함수가 선형성을 가지므로 함수의 입력에 대한 선형 결합(linear combination)으로도 함수를 표현할 수 있다. '''선형사상'''([[線]][[型]][[寫]][[像]], linear map) 또는 '''일차변환'''([[一]][[次]][[變]][[換]])이라고 부르기도 한다. 스칼라가 [math(F)]로 같은 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해, 흔히 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형 변환들의 모임을 [math(L\left(V,W\right))][* 행렬 표현으로부터 알 수 있겠지만 이 집합도 벡터공간이 된다.]라 표시한다. == 정의 == [math(f:V\rightarrow W)]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족시키는 것이다. > * (동차성(Homogeneity)) 임의의 [math(a\in F)], [math(u \in V)]에 대해, [math(f\left(au\right)=af\left(u\right))][* 스칼라 [math(a)]배만큼 결과값 [math(f\left(u\right))]의 크기를 바꾸는 성질로 인해 영어로 '''Scaling'''이라고 하기도 한다.] > * (가산성(Additivity)) 임의의 [math(u, v \in V)]에 대해 [math(f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right))] >---- > 특히 이 둘을 합쳐서 선형성이라고 부르기도 한다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다. > * (선형성(linearity)) 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right))] 이를 만족하지 못 한다면 '''비선형''' 변환(non-linear transformation)이라 한다. 다르게는 [[범주론|카테고리 이론]]을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다. [[실수(수학)|[math(\mathbb{R})]]]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자. * [math(V=W=\mathbb{R}^{2})]에 대해, * [math(f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right))]는 선형 변환이 아니다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(0,0\right))]는 선형 변환이다. * [math(f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right))]는 선형 변환이 아니다. * [math(V)]를 [math(\left[0,1\right])]에서 [math(\mathbb{R})]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [math(\phi:V\rightarrow \mathbb{R})]을 [math(\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f)]라 하면 [math(\phi)]는 선형 변환이다. * [math(V)]를 [math(n)]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [[주대각합]] [math(\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R})]은 선형 변환이다. * [math(V=W=\mathbb{C})], [math(T\left(z\right):=\overline{z})]라 정의하자. [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]위에서, [math(V)], [math(W)]는 벡터 공간이다.[* 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.] * [math(\mathbb{R})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이다. * [math(\mathbb{C})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이 아니다. [math(iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right))]이기 때문이다.[* 참고로 이런 꼴을 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antilinear_map|배반선형사상(Antilinear map)]]이라고 한다.] == 핵(kernel)과 상(image) == 벡터 공간[math(V)], [math(W)]와 [math(f\in L\left(V,W\right))]에 대해[* 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다. ] > * (__'''핵(kernel)'''__)[* 영공간(nullspace)이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다.] [math(\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\})] > * (__'''핵 공간의 차원(nullity)'''__) [math(\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f)] > * (__'''상(image)'''__) [math(\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\})][* 선형변환 Y=AX의 상은 A의 열공간과 같다.] > * (__'''계수(차수; rank)'''__) [math(\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f)] 라 정의한다. 다음이 성립한다. * [[Rank Theorem|nullity-rank theorem]][* 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.] > [math(\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right))] == [[행렬(수학)|행렬]]과의 관계 == 선형 변환은 일종의 함수이기 때문에, 추상적이고 이해하기 힘들다. 반면, 행렬은 숫자를 시각적으로 배열한 것이기 때문에, 선형변환보다는 이해하기 쉽고, 연산이 직관적이다. 그런데, '''[[선형대수학의 기본정리]]'''에 따르면, 유한차원 벡터공간에서 정의된 선형변환을 행렬로 볼 수도 있고, 거꾸로, 행렬을 선형변환으로 볼 수 있는 방법이 존재한다. 즉, 정의역과 공역의 기저가 정해지면, [[행렬표현|선형변환을 표현하는 행렬]]이 결정된다. 그뿐만 아니라, 선형변환의 합과 스칼라배는 행렬의 합과 스칼라배로 바뀌고, 선형변환의 합성은 행렬의 곱으로 바뀐다. 즉, 행렬을 선형변환의 아바타처럼 취급할 수 있다.[* 물론 이 아바타는 기저에 따라서 바뀐다.] 이에 따라서, 행렬에 정의되는 개념들을, [[잘 정의됨|잘 정의]]만 된다면, 선형변환에도 정의할 수 있다. 그러한 예로는 [[주대각합]]과 [[행렬식]] 등이 있다. 또한, 선형변환에 대한 명제를 증명하기 어려운 경우, 행렬을 이용하여 증명하면 수월한 경우가 있다. 여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기 전 [[기하와 벡터]] 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 [[행렬]] 부분과 [[미적분]] 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 [[엡실론-델타 논법]] 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다. == 합성변환과 역변환 == * 합성변환 선형변환 [math(f, g)]의 합성변환 [math(f \circ g)]는 벡터를 변환 [math(g)]을 이용하여 이동시킨 벡터를 다시 변환 [math(f)]를 통해 이동시킨 벡터이다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (3x_1, 5x_2))], [math(g : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 4x_2))]일 때, 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math(g)]에 의해서 [math((2a, 4b)^T)]로 이동되고, 이것은 다시 [math(f)]에 의해서 [math((6a, 20b)^T)]로 이동되므로 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (6x_1, 20x_2))]이다. * 역변환 벡터 [math(V)]가 [math(f)]에 의해서 벡터 [math(V')]로 이동될 때, 벡터 [math(V')]는 그 역변환 [math(f^{-1})]에 의해서 벡터 [math(V)]로 이동된다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 5x_2))]에 의해 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math((2a, 5b)^T)]로 이동되므로, [math(f^{-1})]에 의해 [math((2a, 5b)^T)]는 [math((a, b)^T)]로 이동된다. 따라서 [math(f^{-1})]는 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (\frac{1}{2}x_1, \frac{1}{5}x_2))]와 같다. == 선형변환에 의하여 옮겨지는 도형 == [math(V=W=\mathbb{R}^{2})]일 때, 선형 변환에 의해 어떤 평면도형이 옮겨지는 평면도형의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다. * 1. 원래 도형의 방정식에 따라, 해당 도형 위의 임의의 점의 좌표를 [math((g(x_0), h(x_0)))] 형태로 나타낸다. * 원래 도형의 방정식이 [math(y=g(x_0))]이면 점의 좌표를 [math((x_0, g(x_0)))]과 같이 나타낼 수 있다. * 2. 이 점을 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 x좌표와 y좌표를 나타낸 후 정리한다. * 3. 2번에서 구한 x좌표와 y좌표의 관계식을 구하면 그것이 옮겨진 후의 평면도형의 방정식이다. 예를 들어 선형 변환 [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에 의해서 직선 [math(y=2x+1)]은 다음과 같이 옮겨진다. * 1. 이 직선 위의 임의의 점을 [math((x_0, 2x_0+1))]로 나타낼 수 있다. * 2. 이 점을 이 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 좌표를 나타낸다. [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에서 [math(x=x_0, y=2x_0+1)]이므로, 옮겨진 점의 x좌표는 [math(x_0+2(2x_0+1))], y좌표는 [math(x_0-(2x_0+1))]가 된다. 이것을 정리하면 x좌표는 [math(5x_0+2)], y좌표는 [math(-x_0-1)]가 된다. * 3. 2번에서 구한 x좌표 [math(x=5x_0+2)]와 y좌표 [math(y=-x_0-1)]의 관계식을 구하면 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이므로, 옮겨진 후의 도형의 방정식은 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이다. 즉, 직선 [math(y=2x+1)]은 이 선형 변환에 의해 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]으로 옮겨진다. == 여러 가지 선형변환 및 그 행렬표현 == 해당 선형변환들에 대한 행렬 표현을 같이 다루므로 [[행렬표현]] 문서에 서술되어 있다. == 활용 == [[기대효용이론]]에서, 기대효용을 나타내는 [[효용함수]]의 서수성을 유지시키는 [[강단조증가변환]]은 [math(f(u)=au+b,\,(a\neq0))] 꼴의 선형 변환뿐이다. [[초등학교 수학]]에서 나오는 이른바 '동물 다리 세기' 문제는 본질적으로는 선형 변환이라고 볼 수 있다. 물론 교육 수준상 그대로 다루기는 무리이기 때문에 [[예상과 확인]]으로 푸는 방법을 사용한다. [[단위 변환]], [[환율]]은 선형 변환의 대표적인 활용례이다. [[분류:선형대수학]]캡챠되돌리기