아인슈타인 방정식 (r1 버전으로 되돌리기)

[include(틀:상대성 이론)]
[목차]
== 개요 ==

||<tablewidth=600px><height=80px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> {{{+1 [math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu})]}}} [* [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)]] ||
|| {{{-1 기하학적 양:  [math(R_{\mu\nu})] = [[리치 텐서]], [math(R)] = [[스칼라 곡률]], [math(g_{\mu\nu})] = 계량 텐서, [math(G_{\mu\nu})] = [[아인슈타인 텐서]]
물리학적 양: [math(\Lambda)] = [[우주 상수]], [math(T_{\mu\nu})] = [[스트레스-에너지 텐서]], [math(G)] = [[중력상수]], [math(c)] = [[광속]]}}} ||

'''아인슈타인 방정식'''(Einsteinsche Feldgleichungen / Einstein Field Equations / Einstein [[方]][[程]][[式]])은 [[일반 상대성 이론]]의 장방정식으로, 고전역학의 중력장 방정식을 일반화하는 텐서 방정식이며 독일 물리학자 [[알베르트 아인슈타인]]이 [[1915년]]에 발표하였다. 
이 방정식은 일반 상대성 이론의 정수를 그대로 담고 있다. 방정식의 좌변은 [[시공간]]의 기하학적 정보, 즉 시공간이 어떻게 휘어져있나를 나타내고, 우변은 물질(에너지)의 분포를 나타낸다. 즉 직관적으로, 아인슈타인 방정식은 물질(에너지)의 분포가 시공간의 휨에 어떻게, 얼마나 영향을 끼치는가를 나타낸다.
== 유도 과정 ==
[[일반 상대성 이론]] 문서 참고. 문서를 읽어보면 알겠지만, 아인슈타인은 등가원리 및 특수상대론의 가정, 일부 기존 이론의 확장 등 몇가지의 순수한 수학, 물리적 고찰로부터 약 10년이 넘는 시간에 걸쳐서 이 방정식을 구체적으로 유도해낼 수 있었다. [* (arXiv.org) On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild (Communicated January 13th, 1916 )translation and foreword by S. Antoci∗ and A. Loinger∗∗ [[https://arxiv.org/pdf/physics/9905030.pdf]]][* \[직역\]움직이는 물체의 전기역학에 대하여 Zur Elektrodynamik bewegter Körper ,A. Einstein First published: 1905 [[https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19053221004]]][*  <Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ,  Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin> P844 Einstein, Albert 1915 “Die Feldgleichungun der Gravitation” [[https://archive.org/details/sitzungsberichte1915deut/page/844]]]
== 표현 ==
=== Sign Convention ===
연구자, 혹은 분야에 따라 계량 텐서, 리만 텐서, 아인슈타인 텐서의 부호를 다음과 같이 선택함으로써 일반 상대성 이론의 전반적인 표기 부호가 달라진다. 다음은 MTW의 '''Gravitation'''(1973)에서 정리한 방식이다. 문서의 표기는 전반적으로 MTW가 따르는 LLSC(Landau-Lifshitz Spacelike Convention, 1962), 즉 [math((+ / + / +))]를 따르고 있다. [* Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press: 501]

 '''(1) 계량 텐서''' : [math((-, +, +, +))] (space-like) 혹은 [math((+, -, -, -))] (time-like).

 '''(2) 리만 텐서''' : [math(+\,R^{\alpha}_{\,\,\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu} + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\nu\beta} - \Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu})]

 '''(3) 아인슈타인 텐서''' : [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = +\,\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu})]

이 때, (2)와 (3)은 [math(+\,R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\mu\alpha\nu})]로 상호 호환된다.
=== 우주 상수 ===
우주 상수는 처음 방정식이 완성되었을 때에는 없었으나[* A. Einstein (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichteder Preussischen Akademie der Wissenschaftenzu, Berlin, 844-847] 1917년 아인슈타인의 우주론 논문에서 정적 우주관(당시까지의 관측사실이기도 하다.)을 반영하여 처음 도입되었다.[* A. einstein, 1917, 『Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie』] 이러한 시도는 사실 실패적이었는데, 먼저 이렇게 유도된 정적 상태는 수학적으로 불안정한 평형이며(시계추가 아래방향이 아니라 위방향으로 달려있는 것과 비슷하다.), 이후 허블이 외부은하의 일관된 적색편이를 실제로 관측하였기 때문이다.

아인슈타인은 허블의 관측 사실을 듣고 우주 상수 가설을 폐기하였으나, 사실 우주 상수는 아인슈타인 방정식에 자연스럽게 추가할 수 있는 가장 간단한 항이기에 이론적인 관점에서 연구할 가치가 있었고 (물론 0이거나 있더라도 거의 없는 값으로 여겨졌지만), 더욱이 최근 관측 결과가 말해주는 가속 팽창은 우주 상수에 의한 효과와 굉장히 유사하기에 실질적으로도 연구할 가치가 더욱 커졌다. 따라서 현재에는 우주 상수가 들어간 아인슈타인 방정식이 보다 보편화된 형태로 제시되고 있다. 하지만, 우주론 분야가 아닌 이상 우주 상수는 무시할 수 있다. 한편,

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu} \quad \Leftrightarrow \quad G_{\mu\nu} = k \biggl(T_{\mu\nu} - \frac{\Lambda}{k}g_{\mu\nu} \biggr))]
}}}
로 우주 상수는 좌변의 기하학 항 혹은 우변의 물질 항으로 자유롭게 바꾸어 표현할 수 있다. 우주 상수를 물질적 양으로 볼 경우 [math(\displaystyle T^{\,\mathrm{(vac)}}_{\mu\nu} = - \frac{\Lambda}{k}g_{\mu\nu})]를 진공 에너지(vacuum energy)로 정의한다.
== 성질 ==
일반 상대성 이론에서 사용하는 중력장 방정식이며, 중력장을 표현하는 메트릭 텐서 [math(\mathbf g)](성분은 [math(g_{\mu\nu})]로 표시)와 그 미분으로 만들어진 텐서가 만족시키는 가장 간단한 방정식이라고 할 수 있다. 중력원은 상대성 이론에서 물질 - 에너지 밀도 [math(\rho)]를 일반화한 [[스트레스-에너지 텐서]] [math(\mathbf T)][* 정지 좌표계에서 [math(T_{00} = \rho)]] 가 사용된다.

메트릭 텐서 [math(\mathbf g)]는 시공간의 기하학적 정보를 담고 있으므로, 그 미분으로 구성된 텐서는 시공간의 곡률을 나타내는 텐서임이 당연하다. 그 중 가장 간단한 것이 2계 미분으로 이루어진 리만텐서이다.

결론적으로, 스트레스-에너지 텐서 [math(\mathbf T)]와 매칭시킬 수 있는 가장 간단한 메트릭 텐서의 미분 텐서는 다음 조건을 만족시킨다. 이것을 아인슈타인 텐서 [math(\mathbf G)]라고 한다.

1) [math(\mathbf T = 0)] 일 때, 즉 중력원이 없을 때 [math(\,\mathbf G = 0)]이다.
2) 메트릭 텐서와 리만 텐서만으로 얻어진다.
3) 리만 텐서에 대해 선형이며, [math(\mathbf T)]가 만족시키는 기본적인 수학적 성질(대칭성, 2차 텐서)과 공변 비발산([math(\mathbf {\nabla \cdot G} = 0)])을 만족시킨다.

3)에서 [math(\mathbf {\nabla \cdot G} = 0)]은 수학적으로 항상 만족되는 항등식의 개념이다. 반면 [math(\mathbf {\nabla \cdot T} = 0)]은 에너지-운동량 보존법칙이라는 물리적인 성질로부터 얻은 방정식으로, 근본적으로는 [math(\mathbf G)]의 성질이 [math(\mathbf T)]에 우선한다. 식을 만들 때에는 [math(\mathbf T)]의 성질을 참고하여 [math(\mathbf G)]의 조건을 얻지만, 식을 해석할 때에는 반대로 물질([math(\mathbf T)])이 시공간에 어떤 식([math(\mathbf G)])으로 얽혀 있는지([math(\mathbf G = \mathbf T)])를 나타낸다고 봐야 한다. 즉, [math(\mathbf T)]가 [math(\mathbf G)]에 맞춰져 있고, [math(\mathbf {\nabla \cdot G} = 0)]이기 때문에 [math(\mathbf {\nabla \cdot T} = 0)]이 비로소 성립하며, 이것이 물리적 과정에서 에너지 보존법칙이 성립하는 근거가 된다.
== 해의 기하학적 의미 ==
아인슈타인 방정식의 모든 해는 4 x 4 대칭 행렬 [math(g_{\mu\nu})]의 성분으로 주어지며, 이것을 선 요소(line element)의 꼴로 풀면 [math(\displaystyle ds^2 = \sum_{\mu, \nu}g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu})]의 형태로 표현된다. 가장 간단한 근사해 중 하나인 뉴턴 극한(Newtonian limit)을 통해 그 의미를 파악해보자.

||<tablewidth=500px><height=60px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle ds^2=-(1+2\Phi)dt^2+(1-2\Phi)(dx^2+dy^2+dz^2))] ||

여기에서 [math((g_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \ -1 - 2\Phi&0&0&0 \\ 0&1 - 2\Phi&0&0 \\ 0&0&1 - 2\Phi&0 \\ 0&0&0&1 - 2\Phi \end{pmatrix})]임을 알 수 있다. 단, [math(\displaystyle \Phi = -\frac{GM}{r})]이다.

이 행렬의 각각의 성분의 의미는, 직관적으로 (각각의 점에서) 해당 좌표의 단위 크기 혹은 단위 간 각도, 혹은 한마디로 단위벡터 간의 내적을 의미한다. 예를 들어, [math(x)] 좌표 성분의 크기(제곱)는 각 점에서 [math(dx^2)] 앞에 붙어 있는 [math(1 - 2\Phi)]이다. 이는, 시공간 상의 점 [math(\mathbf x = (t, x, y, z))]에서 [math(x)] 좌표 방향으로 좌표값을 [math(1)] 만큼 증가시켰을 때 실제 거리는 [math(\sqrt{1 - 2\Phi(\mathbf{x})}\,\mathrm m)]만큼 변함을 의미한다.
한편 [math(dxdy)] 앞의 계수는 [math(0)]인데, 이는 [math(x)] 축과 [math(y)] 축이 서로 수직임을 의미한다. 따라서 이 좌표계에서 각각의 좌표축은 모두 수직이다.

태양에서부터의 거리, 즉 [math(r)]을 증가시켜보면 [math(\Phi)]는 커지면서 [math(0)]에 수렴한다. 따라서, 태양으로부터 멀어질수록 좌표격자가 담고 있는 (공간 상의) 부피는 대략 [math((1 - 2\Phi)^{3/2} \mathrm m^3)]으로 점점 작아지며 궁극적으로는 [math(ds^2 \rightarrow -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]이 되면서 평범한 [math(1\mathrm m^3)]짜리 정육면체가 된다. 이는 특수 상대성 이론의 평평한 시공간에 해당한다. 사실 종이에 비슷하게 그려보려 하면 잘 안된다. 왜냐하면 종이는 평면인데 태양 주변의 공간은 휘어있기 때문이다. 
시간 역시 같은 방식으로 생각하면 된다. [math(r = r_1)]에 서있는 관찰자는 1 좌표 단위마다 [math(\sqrt{1 + 2\Phi(r_1)})] 초만큼의 흐름을 경험한다. (시간의 경우 부호를 뒤집어줘야 한다.)  따라서 시간은 태양에서 멀어질수록 빠르게 흐른다고 해석할 수 있다.

이런식으로 각 점에서 좌표계가 어떻게 놓여있는지, 즉 좌표격자의 크기는 어떤지, 축 사이의 각도는 어떤지를 통해서 시공간의 지형을 정확하게 확인할 수 있다. 이러한 정보는 16개의 [math(g_{\mu\nu})]에 전부 담겨있다. 또한 주변의 물체들은 이와 같이 휘어진 시공간을 통과하면서 운동이 왜곡됨을 비유클리드 기하학에서의 경험을 통해 직관적(혹은 추상적?)으로 이해할 수 있다.
== 특수해 ==
아인슈타인 방정식을 푼다는 것은, 주어진 물질-에너지 분포를 방정식의 우변에 대입하여 [math(g_{\mu\nu})], 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다. [math(g_{\mu\nu})]는 4 × 4 [[대칭행렬]]이므로 대각선 성분 4개와 삼각행렬 성분 6개의 총 10개의 독립된 성분으로 이루어져 있다. 따라서 10개의 방정식이 필요한데, 아인슈타인 방정식 경우 좌변의 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]가 "자동으로" [[델(연산자)#s-3.2|발산]]이 0인 텐서이기 때문에 4개의 성분이 겹친다. 따라서 아인슈타인 방정식은 사실상 6개의 방정식이 된다. 나머지 4개는 좌표 선택의 자유에 해당한다. 즉, [math(g_{\mu\nu})]의 10개 성분 중 6개는 아인슈타인 방정식이 결정하고, 4개는 좌표 선택으로 결정된다.

이 6개는 연립 비선형 [[편미분방정식]]이며 수많은 아인슈타인 축약과 각종 편미분 등이 들어가 있으므로 해석적 해를 구하는 건 불가능에 가깝다. [[슈뢰딩거 방정식]]과 같은 '''선형''' 편미분방정식이라면 변수분리를 통해 극히 일부의 모델들에 대해 해석적인 해를 구할 수 있겠지만 아인슈타인 방정식은 '''비선형''' 방정식이기 때문에 보통은 변수분리가 불가능하다. 그렇기 때문에 최대한 변수분리가 가능해지도록 여러가지 조건들을 주어가면서 일부 해를 찾는 방식으로 연구가 진행되고 있다.

그리고, 여기서 얻어진 방정식의 해(즉, 계량 텐서)의 특징을 분석하면 그 시공간이 어떤 기하학적 구조를 가지고 있는지에 대한 정보를 이끌어낼 수 있다. 대표적인 예로 슈바르츠실트 해는 [[블랙홀]]의 [[특이점]] 등에 대한 정보를 주고, 역사적으로도 블랙홀의 이론적 예견 및 발견에 큰 영향을 끼쳤다.

=== [[선형화 중력]] (Linearized Gravity) ===
중력장의 크기가 매우 작다, 혹은 시공간이 거의 평평하다고 가정하고 아인슈타인 방정식을 선형 방정식으로 만들어서 다루는 분야로, [[섭동 이론]](Perturbation theory)의 일종이다. 슈바르츠실트 해 등이 천체와 관련된 문제를 해결하기 위해 구형 대칭이나 축 대칭을 가정한다면, 이쪽은 태양계처럼 매우 작은 중력 환경이나 중력파의 성간 전달을 연구하기 위해 (대칭성 대신) 선형 근사를 가정한다. 검출될만한 중력파는 모두 외부에서 오므로 전자와 같은 대칭성은 애초에 고려할 필요가 없다. 이외에 [[중력 자성]] 등에도 활용할 수 있다.

선형화 이론(Linearized theory)에서 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 선형 방정식, 특히 파동 방정식으로 전환된다. 

||<tablewidth=600px><height=80px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle \square \overline{h}_{\mu\nu} = - \frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu})] [* [math(h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})]은 섭동항으로 매우 작고, [math(\displaystyle \overline h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h)] 이다.] ||

=== [[슈바르츠실트 해|슈바르츠실트 해(Schwarzschild metric)]] ===
회전하지 않고 대전되지 않은 구형 천체 주변의 중력장을 표현하는 엄밀해이다. 자세한 내용은 항목 참조.
||<tablewidth=600px><height=90px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1 - \frac{r_s}{r} \biggr)c^2dt^2 + \biggl(1 - \frac{r_s}{r} \biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [* [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2})]는 슈바르츠실트 반지름이다.] ||

=== 라이스너-노르드스트룀 해(Reissner-Nordström metric) ===
라이스너-노르드스트룀 해는 회전하지 않고, 대전된 구면기하상의 시공간을 기술하는 해이다. 슈바르츠실트 해와 더불어 굉장히 역사가 깊은 아인슈타인 방정식의 엄밀해 중 하나이다.

||<tablewidth=600px><height=90px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle ds^2 = -\Biggl(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \Biggr)c^2dt^2 + \Biggl(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \Biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [* [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})]] ||

==== 라이스너-노르드스트룀 해의 유도 ====
아래의 유도 과정에서는 위에서 설명한 슈바르츠실트 해의 유도과정 등을 일부 이용한다.

===== 추측 =====
우선 민코프스키 계량을 생각하자. 구면좌표계에서의 민코프스키 계량의 행렬식 값은

{{{+1 [math(g = g_{\mu}^{\mu} = g_{00}g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}g_{tt} = -r^4 \sin^2 \theta)] }}}

으로 나타내어진다. 여기서 약한 중력장 하에선 모든 계량이 민코프스키 계량에 근사한다는 점을 생각하면, 우리가 구하려고 하는 라이스너-노르드스트룀 해도 동일하게

{{{+1 [math(g \simeq -r^4 \sin^2 \theta)] }}}

로 나타낼 수 있다. 여기서 [math(g_{\phi\phi}g_{\theta\theta})]의 값이 [math(r^4 \sin^2 \theta)]이므로,

{{{+1 [math(g_{00} = -(g_{tt})^{-1})] }}}

로 둘 수 있다. 여기서 위에서 구한 슈바르츠실트 해의 개형과 비교해보면, 우리가 구하고자 하는 해는 슈바르츠실트 해의 조건에 '대전된 전하'라는 조건만 덧붙인 셈이므로, 이미 구한 슈바르츠실트 해에 전하량과 관련된 적당한 보정항을 넣어서 우리가 원하는 해에 근사시킬 수 있다.

이 보정항이 구체적으로 어떤 형태를 가지게 될지 생각해보자. 일단 거리 [math(r)]과 전하량 [math(q)]가 어떤 방식으로든 보정항에 들어가야 함은 자명하다. 여기서 슈바르츠실트 해의 경우를 생각해보자. 민코프스키 계량의 경우([math(\eta_{00} = 1)])와 비교해서 [math(-\frac{2GM}{c^2 r})]이라는 '보정항'이 들어갔다고 볼 수도 있으므로([math(g_{00} = 1-\frac{2GM}{c^2 r})]), 여기에 착안하면 전하량에 관련된 보정항에도 광속 [math(c)]와 중력상수 [math(G)]가 들어가야 될 것 같다. 즉, 이 보정항을 식으로 정리하면,

{{{+1 [math(g_{\sf compliment} = kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s})] }}}

의 형태를 띠게 됨을 알 수 있다. 여기서 [math(k)]는 적당한 비례상수이고, [math(n,m,p,s)]는 적당한 비례 지수이다. 이 보정항을 [math(g_{00})]에 추가하면, 우리가 찾고자 하는 계량은

{{{+1 [math(g_{00} = 1 - \dfrac{2GM}{c^2 r} + kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s})] }}}

이 될 것이다. 대충 적당한 조건을 덧붙여서 급조해낸 것 같아 보이는 해이지만, 놀랍게도 이 해의 형태는 단순한 근사값이 아니라 아래서 정량적으로 구하는 해와 형태가 정확히 일치한다. 여기서 몇가지 정성적인 추론을 해보자.
 * 전하량은 질량과 다르게 음의 값을 가질 수 있다. 하지만 전하량의 부호를 반전시킨다고 보정항의 부호가 바뀔 리는 없으므로(= 전하의 극성에 따라 시공간의 휨 정도가 바뀔 리는 없으므로), [math(n)]은 짝수여야 한다.
 * 전하량이 커지면 커질수록 시공간에 주는 영향이 커져야 한다. 바꿔 말하면, 보정항의 값이 커지면 커질수록 계량의 값 자체도 커져야 된다. 즉, k의 값은 양수이다.
이외에도 몇 가지 조건을 주는 걸로 해의 형태를 보다 구체적으로 확정지을 수 있지만, 여기서는 생략한다.

===== 정확한 풀이 =====
{{{+1 [math(g_{tt} = A(r), g_{rr} = B(r), g_{\theta\theta} = r^2, g_{\phi\phi} = r^2 \sin^2{\theta})]}}}

로 놓는다. 이들을 이용하면 크리스토펠 기호, 리만 텐서, 리치 텐서, 스칼라 곡률, 아인슈타인 텐서를 A(r), B(r)과 그 고계도함수의 조합으로 나타낼 수 있다. 이들을 [[정규직교기저]]를 이용하여 [math(g_{ij} = \eta_{ij})]인 기저 {{{+1 [math(e_{i})]}}}에 대한 성분들로 나타내어 아인슈타인 방정식의 좌변을 완성한다. [[정규직교기저]]에 대한 에너지-운동량-스트레스 텐서의 성분은 일반적인 평평 공간에서 관측한 에너지 밀도, 운동량 밀도, 스트레스 텐서와 같다. r = 0 에 위치한 전하 Q에 대한 평평 공간의 에너지 밀도 등은 맥스웰 방정식에서 쉽게 도출할 수 있으므로, 이들을 대입하여 아인슈타인 방정식의 우변을 구성하여 앞에서 구한 좌변과 연결하여 A(r), B(r) 에 대한 미분방정식을 풀면 라이스너-노르드스트룀 해를 구할 수 있다.

=== 우주론 ===
==== 프리드만 - 르메트르 - 로버트슨 - 워커 계량 (Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker Metric ; FLRW) ====
아인슈타인 방정식은 하나의 천체를 중심으로 한 중력장을 넘어서, 우주 전체의 물질 분포에 대한 중력장도 구할 수 있다. 이것을 현대 우주론에 활용하고 있다.

먼저, 현대 우주론에서는 우주가 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정하고 있다. 따라서 전 시간에 걸쳐 우주 공간 전체에 균일한 평균 밀도를 가정할 수 있다. 여기에 다음을 가정하자.

(1) 시공간을 각각의 시간에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면으로 나눌 수 있다.
(2) 그 동시성(즉, 동시로 측정되는 사건들의 집합)의 기준은 우주의 물질 전체가 평균적으로 정지해 있는 좌표계이다.[* 따라서, 각각의 은하는 이 좌표계에서 정지해있다, 또는 고정된 공간 좌표 [math((x^{1}, x^{2}, x^{3}))]를 가진다고 가정할 수 있다. 이 때 이 좌표계의 시간 좌표는 각 은하의 고유시간으로 설정할 수 있다.]

이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})]
}}}

일단, 빅뱅 이론이 그렇듯이 닮은 꼴 좌표라도 시간좌표에 따라서 공간의 scale 자체가 커지거나 작아질 수 있다(각각의 좌표 격자에 들어가는 부피가 커진다). 따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][* [math(a(t_0) = 1)]]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[* 공간 좌표 역할을 하는 은하들이 정지해 있으므로] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다.

이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)]
}}}

으로 주어진다. 여기에는 균일 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. (물질 분포가 균일하므로, 각 점에서의 곡률도 균일할 것이다.) 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)]
}}}

라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다. 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
}}}

를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.)

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(k)] || '''치환''' || '''초곡면 계량''' || '''우주 모델''' ||
|| [math(k = 0)] || - || [math(dl^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2 d\Omega^2))] || 평평한 우주 ||
|| [math(k = 1)] || [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 - r^2})] || [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sin}^2 \chi \,d\Omega^2))] || 닫힌 우주 ||
|| [math(k = -1)] || [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 + r^2})] || [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sinh}^2 \chi \,d\Omega^2))][* 시간까지 합치면 민코프스키 공간과 동일하다.] || 열린 우주 ||

여기까지는 우주가 등방하고 균일하다는 성질만 이용했지 아인슈타인 방정식은 사용되지 않았다. 여기에 우주의 평균밀도 [math(\rho)]를 이용해 [math(T_{\mu\nu})]를 구하고, 아인슈타인 방정식에 대입하여 scale factor [math(a(t))]를 구체적으로 정할 수 있다. (프리드만 방정식)

== 정적 우주와 팽창우주 ==
>{{{+1 [math(\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R)] }}}
>
>기하학적 양:  [math(R_{\mu\nu})] = [[리치 텐서]], [math(R)] = 스칼라 곡률, [math(g_{\mu\nu})] = 계량 텐서, [math(G_{\mu\nu})] = 아인슈타인 텐서,
> 물리학적 양: [math(\Lambda)] = [[우주 상수]], [math(T_{\mu\nu})] = [[스트레스-에너지 텐서]], [math(G)] = [[중력상수]], [math(c)] = [[광속]]
아인슈타인은 정적 우주를 표현하려고  아인슈타인 방정식의 아인슈타인 텐서에  [[우주 상수]] [math(\Lambda)]를 추가하였다. 그러나  현대 천체물리학의 관측 사실로부터  [[우주 상수]] [math(\Lambda)]가 추가되기 전의 초기 모델인 아인슈타인 방정식이 오히려 블랙홀뿐만아니라 팽창우주를 설명하는데 적합한것으로 알려져있다. 따라서 아인슈타인은 초기  아인슈타인 방정식 계산으로부터 우주 모델이 유동적이라는 사실을 인지한것으로 여겨진다. 최근에는 팽창우주를 엄청나게 빠른 가속도에서 다루기 위해 이러한 맥락에서 우주 상수[math(\Lambda)]를 변수처럼 사용하는 경우도 있다. 
>표현(1) {{{+1 [math(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R  = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} )] }}}
>표현(2) {{{+1 [math(G_{\mu\nu}  = {8\pi G} T_{\mu\nu} )] }}}
>표현(3) {{{+1 [math(G_{\mu\nu}  = {8\pi} T_{\mu\nu} )] }}}
>표현(4) [math(   -{8\pi } T_{\mu\nu} = \displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} )] [* Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인	Clarendon Press[[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229]] §129 P319]
표현(1),표현(2),표현(3),표현(4)은 모두 다양한 우주모델을 반영하기  위한 수정된 아인슈타인 방정식의  일관된 표기들이다.
표현(1)은 초기 모델 ,표현(2)은 광속(c)을 1로 놓은 경우 ,표현(3)은 표현(2)에서 [[중력상수]](G) 마저 빼버렸다. 표현(4)는 변수로서 우주 상수[math(\Lambda)]를 다루는 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)의 그 유명한 표현식. 현대 천체 물리학에서는 이러한 다양한 표현을 사용하고 있다.[*  Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman §26.5. DYNAMIC EQUATION AND BOUNDARY CONDITIONS d. Einstein Field Equations P693 [[http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf]]]
>표현(5) {{{+1 [math(G_{\mu\nu}  = k T_{\mu\nu} )] }}}
이런 표현도 있을수 있다. 
[math(G_{\mu\nu} )]는 아인슈타인 텐서 [math(k T_{\mu\nu})]는  [math( \dfrac{8\pi G}{c^4} =k )]이다.
== 아인슈타인 텐서 ==
[[뉴턴역학]]에 기초한 [[아인슈타인 텐서]](Einstein tensor) 모델, 아인슈타인이 1915년 11월 25일에 발표하였다.[* Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin by Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin ,Sitzung  der  physikalisch-mathematischen Klasse  vom 25.Novemher  1915 (844-847)Von A.Einstein: Die Feldgleichungen der Gravitation ,P845 [[https://archive.org/details/sitzungsberichte1915deut/page/844/mode/2up]]]
> [math(G_{im}  = -x \left( T_{im} -  \dfrac{1}{2} g_{im} T \right) \;,)]
> [math( \displaystyle \sum_{\varrho\sigma} g^{\varrho\sigma}  T_{\varrho\sigma} =\displaystyle \sum_{\sigma}   T_{\sigma}^{\sigma} =T     )]
> [math( \sqrt{-g}= {1})]
여기에서 [math(G_{im})]은 지금의 리치 텐서이다. 아인슈타인이 처음에 미분기하학을 접목하면서 "Gravitation"의 두문자 "G"를 여기저기에 가져다가 썼는데, 대표적으로 메트릭 텐서를 [math(g_{\mu\nu})], 크리스토펠 기호를 [math(\Gamma^\alpha_{\,\mu\nu})] ([math(G)]의 그리스 문자), 리치 텐서를 [math(G_{\mu\nu})]라 표기하였다. 리치 텐서가 [math(G)]라 쓰인 이유는 처음에 아인슈타인이 만든 방정식이 (에너지 보존법칙을 고려 안한) [math(R_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})] 꼴이였기 때문이다. 나중에 우변을 수정하면서 관계가 이상해졌지만 아무튼 처음에는 저렇게 사용되었고, 나중에 꼴을 깔끔하게 정리하면서 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]가 새로이 정의되었다. 
[[아인슈타인 표기법]]과 함께 아인슈타인이 미분 기하학에 남긴 흔적 중 하나라 볼 수 있다. 사실 물리학에서 테마에 어울리는 알파벳을 가져다 쓰는 건 흔한 일이지만(예: 전기장 벡터 [math(\mathbf E)]) 일반 상대성 이론처럼 아예 수학에서 역으로 물리학의 표기법을 수입해다가 쓰는 건 드문 일이다. 여기에는 아인슈타인 표기법처럼 실용적인 이유도 있다. 특히, 크리스토펠 기호의 경우 처음에 [math(  \displaystyle \begin{Bmatrix} \mu\nu \\ \alpha \end{Bmatrix})]란  표기가 사용되었지만, 위아래가 뒤바뀐 형태라 아인슈타인 표기법이 일관적으로 적용되지 못해서 아인슈타인식 표기가 훨씬 좋다.
== 힐베르트 액션 ==
[[라그랑주 역학]]에 기초한 [[힐베르트 액션]](Hilbert action) 초기 모델, 힐베르트가 1915년 11월20일에 발표하였다.[*가 (직역:물리학의 기초)Die Grundlagen der Physik . 1915.11.20(Erste Mitteilung.) D. Hilbert ,Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1915) page 395-408 [[https://eudml.org/doc/58946]]]
> [math(   \int H \sqrt{g}  dw \;,  \left( g=\lvert g_{\mu\nu} \rvert , dw = dw_1 dw_2 dw_3 dw_4  \right) )]
힐베르트 액션(Hilbert action)은 아인슈타인 텐서 및 아인슈타인 방정식으로 전환될수있다. 
[[분류:물리학]][[분류:일반 상대성 이론]][[분류:방정식]]
아인슈타인 방정식 (r1 버전으로 되돌리기)

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