문서 보기문서 편집수정 내역 파세발 등식 (덤프버전으로 되돌리기) Parseval's identity [목차] == 개요 == [math(L_2 \left[-\pi, \pi \right])] 공간의 원소인 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]의 n번째 푸리에 계수를 [math( c_n )]이라 하자. 즉, [math(\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx )] 이다([math(n\in \mathbb{Z} )]). 그러면 다음의 등식이 성립한다. [math(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left|f(x)\right|^2 dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|c_n\right|^2 )] == 응용 == 파세발 등식을 이용해 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2})]의 합을 구할 수 있다. [math(f(x)=x)]라 하면 [math(\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx} dx = \begin{cases} 0, & n=0 \\ \displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{in}, & n\neq 0 \end{cases} )] 이므로, 파세발 등식을 적용하면 [math(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx =2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} )] 이다. 따라서 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} )]이다. == 관련문서 == * [[푸리에 해석]] [[분류:해석학(수학)]]캡챠되돌리기