구(도형)
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1. 개요[편집]
구(sphere, 球)는 거리가 같은 점들의 집합을 나타내는 도형이다. 유클리드 공간에서 원[1], 구[2], [math(n)]-sphere[3]와 같은 이름으로 불리기도 한다.
2. 상세[편집]
2.1. 구의 특징[편집]
- 구의 중심으로부터 점까지의 거리를 반지름이라 한다.
- 점들 사이의 거리의 상한을 지름(직경)이라 한다.
- 연결합(connect sum)의 항등원이다. 즉 (임의의 다양체) # 구 = (임의의 다양체)이다.[4]
유클리드 기하에서 다음이 성립함이 알려져 있다:
- 지름은 반지름의 2배이다.
- 구는 한 축을 회전축으로 하여 반원을 1회전하여 얻을 수 있는 회전체이다.
- 구는 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 원이다.
- 단면 중 가장 큰 원(구의 반지름을 갖는 단면)을 그 구의 대원(Great circle)이라고 한다.
- 내부에서의 입체각은 [math(4\pi)]이다.
- 곡률은 구 위의 모든 점에 대해서 [math(r^{-2})]이다(전개도가 아예 존재하지 않는다).
2.2. 구의 방정식[편집]
3차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(\mathrm{O}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고 반지름의 길이가 [math(r)]인 구를 생각해보자. 구 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}=(x,\,y,\,z))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})]를 고려할 때, 다음 식은 구를 기술하는 벡터 방정식이 된다.
[math(\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r )]
양변을 제곱하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} )]
이 되므로 구를 기술하는 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2} )]
이때, 이와 같은 꼴을 구의 방정식의 표준형이라 하며, 표준형을 전개하여 정리한 방정식은
[math(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0 )]
꼴로 나타나고 이를 구의 방정식의 일반형이라 한다.
구의 방정식의 일반형은 아래와 같이 표준형으로 정리될 수 있다.
[math(\displaystyle \left( x-\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y-\frac{B}{2} \right)^{2}+\left( z-\frac{C}{2} \right)^{2}=\left[ \frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} \right]^{2} )]
즉, 중심이 [math((A/2,\,B/2,\,C/2))]이고 반지름 [math(\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}/2)]인 구의 방정식임을 알 수 있다.
2.2.1. 양함수 형태[편집]
위에서 도출된 구의 방정식은 음함수 형태이므로 이것을 양함수 [math(z=f(x,\,y))]의 형태로 다시 쓰면 아래와 같다.
[math(\displaystyle f(x,\,y)=\pm \sqrt{r^2-[(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2]}+z_{0} )]
이것은 구가 하나의 양함수로 표현되지 못하고, 두 개의 양함수로 표현됨을 알 수 있다.
부호가 양인 것은 평면 [math(z=z_{0})]를 기준으로 [math( z_{0} \leq z \leq z_{0}+r)]의 영역에 나타나는 상반구(아래의 그림에서 적색 영역), 부호가 음인 것은 동일한 평면을 기준으로 [math(z_{0}-r\leq z < z_{0})]에 나타내는 하반구(아래의 그림에서 청색 영역)이다.
원의 방정식과 마찬가지로 [math(f(x,\,y,\,z) = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-r^{2})] 꼴로 바꿀 수 있으며, 이 함수가 그리는 그래프는 높이가 무한대이고 밑면이 구인 구 초기둥(Spherinder)이다.
2.2.2. 구의 방정식의 다른 표현[편집]
2.2.2.1. 매개변수 방정식[편집]
3차원 직교 좌표계에서 두 매개변수 [math(0 \leq \theta \leq \pi)], [math(0 \leq \phi \leq 2\pi)]에 대하여, 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]에 위치하고 반지름이 [math(r)]인 구의 방정식을 아래와 같이 매개변수로 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\begin{aligned}
x&=r\sin{\theta}\cos{\phi}+x_{0}\\
y&=r\sin{\theta}\sin{\phi}+y_{0}\\
z&=r \cos{\theta}+z_{0}
\end{aligned}
\end{matrix}\right. )]
2.2.2.2. 구면 좌표계에서의 방정식[편집]
3차원 구면 좌표계에서 원점에 중심이 위치하고 반지름이 [math(r_{0})]인 구의 방정식은
[math(\displaystyle r=r_{0} )]
로 나타낼 수 있다.
2.3. 구의 겉넓이와 부피[편집]
2.3.1. 겉넓이[편집]
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 겉넓이를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 겉넓이를 구한 것이다.
해당 겉넓이는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^{\pi} r^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = 4\pi r^2 )]
2.3.2. 부피[편집]
모든 구는 평행이동을 이용해서 중심이 원점에 있는 구로 이동시킬 수 있으므로, 반지름이 [math(r)]이고 중심이 원점인 구의 부피를 구한다면 공간에 위치하는 모든 구의 부피를 구한 것이다.
해당 부피는 구면 좌표계의 적분을 사용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_0^{2\pi} \!\int_0^\pi \!\int_0^r \rho^2 \sin{\theta} \,{\rm d}\rho \,{\rm d}\theta \,{\rm d}\phi = \frac43 \pi r^3 )]
역사적으로는 아르키메데스가 구의 부피가 지름과 높이가 동일한 원기둥의 부피의 [math(2/3)]임을 구분구적법을 통해 밝혀냈다.
[math(\dfrac23 ( 2r \cdot \pi r^2 ) =\dfrac{4}{3}\pi r^{3} )]
한편 직경(D)은 반지름의 2배(또는 반지름은 직경의 절반)이므로
[math(r = \left( \dfrac{D}{2} \right) )]이고
[math(\dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \left( \dfrac{D}{2} \right)^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \left( \dfrac{D^3}{8} \right) =\dfrac{4}{3 \cdot 8}\pi {D^3} = \dfrac{\pi }{6} D^3 )]
2.4. 구와 도형[편집]
2.4.1. 구와 접선[편집]
구의 외부에서 그은 구의 접선과 반지름은 직교한다. 원의 접선과 원의 중심을 모두 포함하는 한 평면을 생각했을 때 해당 평면과 구의 교선은 원이고, 원 위의 접선은 반지름과 항상 직교함을 원(도형) 문서에서 증명한 바 있으므로 그것을 생각하면 직교할 수밖에 없다는 결론을 얻는다.
이상의 결과를 이용하면, 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 구 외부의 한 점 [math(\mathrm{P})]에서 접선을 그었을 때, 접선과 구의 교점이 [math(\mathrm{Q})]일 때, 삼각형 [math(\mathrm{PQC})]는 직각 삼각형이므로 구의 접선의 길이 [math(\overline{\mathrm{PQ}})]는 다음과 같이 주어짐을 쉽게 알 수 있다.
[math(\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=({\overline{\mathrm{PC} }}^{2}-r^2)^{1/2} )]
또한 점 [math(\mathrm{Q})]는 구 위의 원을 그린다. [math(\mathrm{PQC})]이 직각 삼각형이기만 하면 되기 때문에 [math(\mathrm{Q})]는 하나로 정해지지 않기 때문이다. 아래의 그림을 참조하자.
(a)는 3차원 상에서 점 [math(\mathrm{P})]에서 구 표면 위에 접선을 그었을 때 생기는 점 [math(\mathrm{Q})]의 자취를, (b)는 (a)를 2차원 상에 보기 좋게 표현한 것이다.
2.4.2. 접평면의 방정식[편집]
접평면이란, 곡면에 접하는 평면을 구하는 것이다. 2차원에서 곡선에 접하는 접선을 구한 것의 3차원 버전인 셈이다.
델(연산자) 문서로 부터 [math(w=f(x,\,y,\,z))]의 4차원 함수의 등위곡면 [math(k=f(x,\,y,\,z))]의 표면에 수직한 벡터는 [math(f)]의 그레이디언트임을 논의했다. 이 결과를 사용하자.
공간좌표 상 모든 구는 평행이동을 통하여 원점을 중심으로 갖는 구로 이동시킬 수 있다. 즉, 이 경우에 한해서 구하면 임의의 중심을 갖는 구에 대해서는 평행이동을 통하여 구할 수 있다.
좌표공간 상 중심이 원점이고, 반지름이 [math(r)]인 구를 고려하자. 이 구 위의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]위의 접평면의 법선벡터는 [math(f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2=r^{2})]로 놓음으로써
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})=(2x_{1},\,2y_{1},\,2z_{1}) )]
이상에서 이 법선 벡터를 가지고 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]을 지나는 평면의 방정식이 곧 접평면이 되므로
[math(\displaystyle x_{1}(x-x_{1})+y_{1}(y-y_{1})+z_{1}(z-z_{1})=0 )]
이것을 정리하면,
[math(\displaystyle x_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=r^{2} )]
따라서 구의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]이고, 이때, 점 [math((x_{1},\,y_{1},\,z_{1}) \to (x_{2},\,y_{2},\,z_{2}))] 위의 접평면의 방정식을 구한다면,
[math(\displaystyle (x_{2}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{2}-y_{0})(y-y_{0})+(z_{2}-z_{0})(z-z_{0})=r^{2} )]
으로 쓸 수 있다.
2.4.3. 구와 구[편집]
2.4.3.1. 두 구의 위치 관계[편집]
좌표공간 상 중심이 각각 [math(\mathrm{O})], [math(\mathrm{O'})]이고, 반지름의 길이가 각각 [math(r)], [math(r')]([math(r \geq r')])인 두 구를 생각하자. 이때, 두 구의 중심 사이의 거리 [math(\overline{\mathrm{OO'}} \equiv d)]라 놓을 때, 다음이 성립한다.
- 한 구가 다른 구의 외부에 있는 경우: [math(d >r+r')]
- 외접하는 경우: [math(d=r+r')]
- 교선이 원이 되게 만나는 경우: [math(r-r'
- 내접하는 경우: [math(d=r-r')]
- 한 구가 다른 구의 내부에 있는 경우: [math(0
- 두 구가 중심이 같은 경우: [math(0=d)]
- 두 구의 대원이 일치하는 경우: [math(0 = d=r-r' \Leftrightarrow {\rm O \cong O'})]
2.4.3.2. 두 구의 교선을 지나는 구의 방정식[편집]
좌표평면 위에서 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)]과 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]을 고려해보자. 이 두 구의 교점을 [math((\alpha,\,\beta,\,\gamma))]라 놓으면, 교점에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D&=0 \\ \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D'&=0 \end{aligned} )]
이 성립한다. 다음과 같은 도형
[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 \quad )] (단, [math(k \neq 1)])
을 고려해보도록 하자. 이 도형은 이차항의 계수가 모두 같으므로 공간좌표 상 구를 기술한다고 볼 수 있다. 이 도형에 두 구의 교점을 대입하면,
[math(\displaystyle (\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A\alpha+B\beta+C \gamma +D)+k(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+A'\alpha+B'\beta+C' \gamma +D')=0 )]
이고, 이는 임의의 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 성립한다. 즉, 위 도형은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 구의 교점을 지남을 알 수 있다.
참고로 [math(k=-1)]일 때는 이차항이 상쇄되기 때문에 위 도형은 평면이 되므로 이를 제외해야 한다.[5]
2.4.3.3. 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식[편집]
교선 위의 모든 점은 두 구의 공통적인 점의 집합이므로 결국
[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)+k(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
[5] 이때 이 평면은 두 구의 교선을 포함한다.
가 두 구 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0)], [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D'=0)]의 교점을 지나는 도형을 나타내는 방정식임을 상기하면서 [math(k=-1)]을 택하면 이차항은 모두 상쇄되어 평면의 방정식이 됨에 따라
[math(\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+A'x+B'y+C'z+D')=0 )]
이 두 구의 교선을 지나는 평면의 방정식임을 알 수 있다. 이것을 정리하면 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle (A-A')x+(B-B')y+(C-C')z+(D-D')=0 )]
3. 확장[편집]
- [math(n \text{-})]초구는 [math(n+1)]차원 유클리드 공간에서 한 점으로부터 같은 거리에 있는 모든 정점들로 이루어져 있는 [math(n)]차원의 곡면이다. [math(n=2)]일 때를 특별히 "구"로 부른다.
- 차원을 헷갈리기 쉽다. 예를 들어, 3차원 공간 안에 있는 구, 다시 말해 2-구는 미지수가 세 개인 식으로 표현할 수 있다. 하지만 실제로 매개변수화를 시키면 두 개의 각을 매개변수로 하는 좌표계로 옮길 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보다 쉽게, 2-구의 차원은 3차원이 아니라 2차원임을 알 수 있다. 이를 일반화해서, [math(n \text{-})]구의 매개변수화에서는 [math(n)]개의 매개변수가 존재하므로 차원은 [math(n)]이 된다.
- [math(n \text{-})]구의 겉넓이와 구의 부피는 아래와 같다.(단, [math(\Gamma(x))]는 감마함수이다.)
- 겉넓이: [math(\displaystyle \frac{2{\pi}^{{(n+1)}/{2}} }{\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n} )]
- 부피: [math(\displaystyle \frac{{\pi}^{(n+1)/2 }}{\dfrac{n+1}{2}\Gamma\biggl( \dfrac{n+1}{2} \biggr )}{r}^{n+1} )]
4. 기타[편집]
- 대한민국 교육과정 상 초등학교, 중학교, 고등학교에서 고루 등장하나 초중등 과정에서는 거의 부피, 겉넓이, 모양 자체에 집중하는 편이고, 고등 과정에서 기하와 벡터 교과목을 통해 해석 기하학적으로 구를 접근한다.
- 위상수학에서는 다면체와 원기둥, 원뿔을 '''구와 똑같은 것(homeomorphism)으로 취급한다. 위상수학에서는 거리라는 것이 없다고 보기 때문에 결론적으로 구와 차이가 없어진다.[6]
- 일상생활 속 흔히 볼 수 있는 도형이다. 가장 쉬운 예로 축구공이나 농구공 등 각종 구기 종목들의 공의 모양은 구인 경우가 많다. 애초에 球(구) 라는 한자가 공이라는 뜻이다.
- 구와 관련된 기묘한 정리로 바나흐-타르스키 역설이 있다. 말하자면 구 하나를 유한 개의 조각으로 쪼개어 두 개의 구로 만들 수 있으며, 이 과정에서 생기는 조각들 중 부피를 구할 수 없는 조각이 있다는 정리이다.
- 원을 경계삼은 꽉 찬 도형을 '원판(disc)'이라고 하는 것처럼, 구를 경계로 삼은 꽉 찬 도형은 '공(ball)'이라고 부른다.
레너드 호프스태터: 어떤 농부가 자기 닭이 알을 안 낳아서 물리학자를 불렀대. 그런데 물리학자가 말하기를: "해결책이 있지만, 오직 진공상태의 구형 닭에게만 효과가 있을 테요."
"A farmer has some chickens who don't lay any eggs. The farmer calls a physicist to help. The physicist does some calculation and says "I have a solution but it only works for spherical chickens in a vacuum!"
- 빅뱅 이론
- 물리학에서는 구형 동물을 언급하는 농담이 있다. 보통 가축으로 흔히 볼 수 있는 닭이나 소가 이 농담의 주인공이다. 농담의 요는 현실에서는 동물들이 복잡한 모양을 지니고 그 재질도 다양하고 계속 움직이고 성장/노화하는 등 변수가 매우 많지만 이론 속 물리학의 세계에서는 그런 복잡한 것은 다 치우고 가장 간단한 도형인 구로 가정한 이후 이론을 만든다는 것. 여기서 더 나아가 이상기체 속이나 진공 상태에서만 적용된다던가, 아니면 강체나 흑체 소라던가, 부피가 0인 소에만 적용된다던가 하는 농담이 있다.
- 현재까지 인류가 발견한 가장 완벽한 형태에 가까운 구는 전자이다 .
5. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-14 06:42:47에 나무위키 구(도형) 문서에서 가져왔습니다.