다중극 전개
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1. 개요[편집]
multipole expansion · 多重極 展開
다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다.
쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고 있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬운 점전하 또는 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다.
2. 유도[편집]
위 그림과 같이 임의의 전하분포 [math(\rho(\bf r'))]을 가정하자. 즉, [math(\bf r')]의 위치에 분포하는 전하밀도를 [math(\bf r)]의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다. 그러면 잘 알다시피 [math(\bf r)]에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같을 것이다.
여기서 [math(V)]는 전하가 있는 영역이고, 위 그림의 음영 영역에 해당한다. 이제 위의 전기 퍼텐셜을 다중극 전개한다고 생각하자. 다중극 전개는 전하분포의 위치로부터 충분히 멀리 떨어진 시점에서 관찰한다는 가정을 기억하자. 즉, [math(|{\bf r'}| \ll |{\bf r}|)]이다. 앞으로 편의상 편의상 [math(|{\bf r'}| = r')], [math(|{\bf r}| = r)]이라 하자.
2.1. 구면 좌표계에서의 전개[편집]
구면좌표계에서 다음과 같은 전개식[1]이 성립한다.
전개식의 유도는 다음과 같다. 우선, [math(r' \ll r)]인 영역을 다루고 있으므로 다음 식이 성립한다.
여기서 [math(\min(r,r') \equiv r_<)], [math(\max(r,r') \equiv r_>)]이고, [math(\gamma)]는 [math(\bf r)]과 [math(\bf r')] 사이의 각이다. 여기에
를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉,
임을 얻는다.
2.2. 직교 좌표계에서의 전개[편집]
직교좌표계에서는 잘 아는 테일러 전개를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다.
[math({\bf p}({\bf r'}))]과 [math(Q_{ij})]를 아래와 같이 정의하면
최종적으로 전기 퍼텐셜을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 [math(Q_{\rm tot})]는 전하분포 [math(V)]의 총 전하이며, 다음과 같다.
위의 논의로 전기 퍼텐셜을 홀극(monopole/첫째항), 쌍극자(dipole/둘째항)와 사중극자(quadrupole/셋째항) 및 더 높은 항들로 전개할 수 있다는 것을 알 수 있다.
3. 기타[편집]
- 보통 학부 과정에서는 쌍극자 정도까지만 근사하고, 사중극자나 팔중극자까지 근사하여 사용하는 경우는 거의 없다. 더 높은 항까지 사용해야 하는 경우에도 다행인 점이 있다면, 사중극자로 나아간다고 갑자기 내용이 기상천외해지진 않고 기본적 식의 형식은 위의 쌍극자 전개와 유사하다는 점이다. 변수가 끔찍하게 많아질 뿐.
4. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-11-21 07:58:42에 나무위키 다중극 전개 문서에서 가져왔습니다.[1] 이 전개식이 왜 이렇게 쓰여지는지에 대해 좀 더 엄밀한 설명이 필요하다면 Arfken 수준 이상의 수리물리학 교재를 볼 것을 권한다.