대수

수학의 한 분야에 대한 내용은 대수학 문서 참고하십시오.

1. 大事(대사)에서 온 귀화어 [편집]

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대단한것, 최상의 일, 자주 하는 일. 또는 주로 하는 일을 뜻하는 단어. 예) 그까짓게 대수냐?

2. 代數[2]

"일정한 시간을 센 수효"도 대수(代數)이다. 대수학의 대수는 \[대:수\], 수효를 뜻하는 대수는 \[대:쑤\]로 서로 발음이 다르다. 이때의 발음상 차이는 사잇소리로 부르지만, 6개 단어를 제외한 한자어는 모두 사잇소리가 표기로 반영되지 않으므로 사이시옷이 있다고 할 수는 없다.

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• 수학 관련 정보

대수학에서 주로 다루는 수이다. 대수적 수(Algebraic Number)라고도 한다. '대수학적인 방정식'의 근이 되는 수들을 대수라고 한다. 반대로 어떤 대수학적인 방정식의 근도 되지 않으면 초월수라고 한다. 다시 말하면, 정수 계수로만 이루어진 유한 차수 다항식의 근이 되는 수(들)이다.

임의의 유리수 [math(\displaystyle \frac{b}{a})]는 일차방정식 [math(ax = b)]의 근이 되기 때문에 모든 유리수는 대수이다.

실수 부터는 대수인 수와 대수가 아닌수(초월수)로 나뉜다. 대수인 무리수를 하나만 들자면 [math(\displaystyle \sqrt{2})]가 있는데, 이 수는 [math(x^2=2)]의 근이 되므로 대수이다. 반대로 예를 들어 원주율 [math(\pi)] 같은 수는 대수가 아니고 초월수이다. 참고로 대수인 무리수들은 무한히 많은데, 초월수인 무리수는 대수보다는 더 많다.[3]

대수와 초월수의 개념은 복소수 범위까지 넘어간다. 예를 들어 [math(i)]는 허수이지만 [math(i^2=-1)], 즉 [math(x^2=-1)]의 근이므로 [math(i)]는 대수이다.

집합 기호로는 [math(\mathbb A)]로 표기된다.

2.1. 대수적 구조[편집]

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대수적 구조(algebraic structure)는 추상대수학에서 다루는 특정 조건을 만족시키는 구조를 일컫는 말이다. 곧 군, 체, 환, 모노이드, 가군 같은 온갖 대수학적 구조를 모두 일반화시켜 가리키는 말.

대수구조의 형식화는 먼저 어떤 집합을 놓고 그 집합 위에 연산을 정의한 다음 이것이 특정 공리들을 만족한다고 정의하는 식으로 이루어진다.

예시) 집합 G와 그 위의 이항연산 x를 정의하여 구조 (G, x)를 구성하는데, 이때 이 구조가 3가지 공리, 곧 "결합법칙의 만족, 항등원의 존재, 역원의 존재"를 모두 만족한다고 하자.[4] 그러면 이 구조는 군(group)이 된다.
예시) 집합 R과 그 위의 이항연산 +를 정의하여 구조 (R, +)를 구성하는데, 이때 이 구조가 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재함을 모두 만족한다 하자. 그러면 이 구조는 환(ring)이 된다.

당연히 도메인이 되는 기초 집합이 다르면 구조는 종류가 같더라도 엄밀히 서로 다른 세부적 특성을 가질 수 있다. 예를 들어 체가 유리수 집합에서 이뤄지느냐, 실수집합에서 이뤄지느냐, 복소수 집합에서 이뤄지느냐에 따라 각각 유리수체, 실수체, 복소수체로 나눌 수 있다.

3. 체 위의 대수, Algebra over a field[편집]

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체 위의 대수(Algebra on a field)는 복잡한 대수적 구조 중 하나로, 벡터 공간 위에 곱셈 구조가 추가로 주어진 대수적 구조라 할 수 있다. 다만, 기존에 이미 덧셈과 스칼라곱이라는 연산이 주어져 있었으므로, 이 곱셈은 덧셈과 스칼라곱에 대해 어떤 관계, 즉 분배 법칙을 만족해야만 한다. 즉, 대수에서 말하는 곱셈이란 각 항에 대해 선형적이며, 따라서 쌍선형 사상이라고 할 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

[math(A )]가 체 [math(F )] 위의 대수라는 것은, 다음을 만족하는 것이다.

• (벡터 공간) [math( (A, +, \cdot) )]은 [math(F )] 위의 벡터 공간이다. 즉,
  • (가환군) [math( A )] 위에 [math( + )]가 정의[6]
    [math(x, y \in A \Rightarrow x + y \in A)]
    되어 있으며, [math( \left( A,+\right) )]는 가환군(abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
    임의의 [math( x , y, z\in A )]에 대하여
    • 덧셈에 대한 항등원 존재: [math( A )]에는 특정한 원소 [math( 0_A )]이 존재하여 모든 [math( x \in A )]에 대하여 [math( x + 0_A = 0_A + x = x )]
    • 덧셈에 대한 역원 존재: [math( A )]의 임의의 원소 [math( x )]에 대하여 [math( x + u = u + x = 0_A )]을 만족하는 [math( u \in A )]가 존재한다. [5]
      이 때, [math( u = -x )]로 표기한다.
    • 교환법칙 성립: [math(\forall x, y\in A)], [math( x + y = y + x )]
    • 결합법칙 성립: [math(\forall x, y, z\in A)], [math( \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) )]
  • (스칼라 곱) 연산 [math( \cdot:F\times A\rightarrow A)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a,b\in F)], [math(x, y\in A)]에 대해 다음이 성립한다.
    • 벡터 합에 대한 분배법칙: [math( a\cdot\left(x+y\right)=a\cdot x+a\cdot y )]
    • 스칼라 합에 대한 분배법칙: [math( \left(a+b\right)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x )]
    • 스칼라 간의 곱에 대한 호환성: [math( \left(ab \right)\cdot x=a\cdot\left(b\cdot x \right))] [7]
      이 조건 때문에 [math(a\in F)], [math(x\in A)]에 대해 [math(a\cdot x)]를 [math( ax)]로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 [math( ax)] 형태로 쓸 수 있다.
    • 스칼라 곱의 항등원: [math( 1_F \cdot x=x )]
• (곱셈) [math( A \times A \rightarrow A )]는 쌍선형 사상이다. 즉, 임의의 [math( a, b \in F )]와 [math( x, y, z \in A )]에 대하여,
  • 분배법칙 1: [math( \left(x + y \right) \times z = x \times z + y \times z )]
  • 분배법칙 2: [math( x \times \left(y + z \right) = x \times y + x \times z )]
  • 스칼라 곱에 대한 호환성: [math( \left(ax \right) \times \left(by \right) = ab(x \times y) )]

우리가 가장 흔히 접하는 대수는 행렬 공간 [math( F^{n\times n} )]이다. 선형 대수에서는 행렬 공간을 벡터 공간으로만 다뤄왔지만 누구나 행렬 공간에 곱셈 구조도 존재함을 알고 있을 것이다. 그러므로 선형대수학의 기본정리에 의해 임의의 벡터 공간 [math(V )]에 대해 [math( V )]에서 [math( V)]로 가는 선형 변환들의 공간 [math(\mathfrak{L}(V, V) )]도 합성 연산을 곱셈으로 가지는 대수이다. 여기에 더해 정의역과 공역이 같고 공역이 환인 함수들의 모임도 대수를 이룬다고 할 수 있을 것이다.

그런데 위의 정의를 보면, 어째선지 당연하게 있어야 할 것이 없다. 바로 결합법칙이다. 즉, 대수에서의 곱셈은 결합 법칙을 요구하고 있지 않다![8] 이러한 방식으로 정의한 이유는 당연히 더 넓은 범위의 개념을 다루기 위해서겠지만... 실제 세계에서 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈이 있을까? 다시 위에서 이 문단의 첫 문장을 읽어보고 오자. 벡터 공간 위에 주어진 벡터의 곱이면서, 그 결과가 벡터고, 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈...? 그렇다. 바로 외적이다. 대수의 정의를 이렇게 둔 이유는 바로 [math( (F^3, +, \cdot, \times) )]도 대수의 일부로 다루고자 하기 때문이다.

사실 결합 법칙을 만족하지 않는 가장 중요한 예로 리 대수(Lie algebra)를 들 수 있다. 결합법칙 대신 반대칭관계(anti-symmetry) [math([A, B] = -[B, A])]와 Jacobi identity [math([A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0)]을 만족한다.[9][10] 좀 전에 예를 든 외적으로 구성된 3차원 공간도 리 대수이며, 잘 알려진 리 대수 중 하나인 [math(\mathfrak{so}(3))]와 동형(isomorphic)이다. 또한 리 군(Lie group)을 다루면 필연적으로 등장하는 녀석으로, 리 군의 성질 중 상당 부분, 특히 local한 성질들을 보고자 할 때 강력한 도구이다. 리 군 자체를 다루는 것보다 그에 대응하는 리 대수를 다루는 게 훨씬 편리하기 때문이다. 더군다나 리 군과 리 대수 간의 거의 사실 상 1-1 대응[11]을 이룬다. 그리고 단순 리 대수(simple Lie algebra)들의 분류와 존재성, 유일성, 심지어 이들의 표현(representation) 전부의 분류 및 존재성, 유일성 모두가 증명이 옛날에 완료되어서 많은 곳에서 써먹히는 중이다.[12] 그 외에 결합 법칙이 만족되지 않는 예로 조르당 대수가 있으며, 팔원수 역시 한 예로 들 수 있다. (사원수까진 결합법칙이 성립한다.) 사실 '대수' 그 자체 전체보다는 지금 든 예들처럼 어떤 특정한 조건을 만족하는 대수들을 모아다 연구하는 게 보통이다.

한편, 결합 법칙을 만족하는 대수, 즉 associative algebra도 얼마든지 중요하고, 그래서 오랫동안 연구되어 온 주제이기도 하다. 아무래도 제일 익숙한 녀석이다 보니까. 거기다 사실 결합 법칙을 만족하지 않는 대수가 어떤 식으로 associative algebra에서 표현된다고 하면 정말 편리해진다. 좋은 예를 위에서 든 리 대수 분야에서 찾을 수 있는데, universal enveloping algebra라고 거칠게 말하자면 주어진 리 대수를 야무지게(?!)[13] 포함하는 associative algebra를 항상 찾을 수 있고, 여기저기 정말 잘 써먹힌다. 덧붙여서, 교환법칙을 만족하는 associative algebra도 중요하고, 활발하게 연구되고 있다. 교환법칙을 반교환법칙으로 바꾼 경우도 그렇고. 예를 들어 미분기하학에서 텐서를 다룰 때 이 둘을 자주 볼 것이다. 교환법칙을 만족하는 associative algebra의 경우, K-theory 같은 데에서 주역이기도 하고.

그 외에도, 덧셈과 스칼라곱에는 있는데 곱셈에는 없는 조건이 있다. 바로 항등원의 존재이다. 만약 [math( A )]에 [math( 1_A )]가 존재해서 모든 [math( x \in A )]에 대해 [math( 1_A \times x = x \times 1_A = x )]라면, A를 unital algebra라 부른다.

4. 對數, Logarithm[편집]

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로그(log)의 한자식 표현이다. 로그에 대해서는 해당 문서 참조.

5. 大綬, Sash[편집]

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훈장을 패용할 때 어깨에서 허리에 걸쳐 드리우는 끈(綬) 주로 1등급 훈장의 정장에 쓰인다.

6. 大首[편집]

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조선시대에 사용했던 화려한 머리장식. 주로 사극에서 적의를 입은 중전의 머리모양으로 흔히 볼 수 있다. 중국 등에서 볼 수 없는 독특한 조선만의 고유 문화이다.

대수가 등장하게 된 경위는 이렇다. 명나라가 멸망하자 조선에서는 왕비의 혼례, 책봉 등 나라의 큰 행사으로 받았던 군왕비용 복식과 관을 더이상 받을 수 없게 되었다. 따라서 복식은 직접 대명회전에 의거하여 황태자비의 복식에 따라 화려하게 만들게 되지만, 관은 직접 만들 수 있는 사람이 없었다. 따라서 전례를 참고해서 가체와 금비녀 등을 이용해 관을 대체할 화려한 머리장식을 만들게 된다. 적의도 처음에는 고려시대 적의를 그대로 사용하다가 조선 중기때 와서 붉은 적의(치적의)로 바뀌었고 조선 말 대한제국 시기에는 고려 적의와 비슷한 꿩을 수놓은 파란 적의로 바뀌었다. 이 파란 적의는 순정효황후와 영친왕비만이 입었다.

7. 大隋[편집]

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수나라 참조.