베르누이 미분방정식

1. 개요[편집]

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Bernoulli differential equation

베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.[1]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.[2]

2. 해법[편집]

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자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]으로 나누고 [math(\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 [math(u^*(t))]라 하면 베르누이 미분방정식의 해는
이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면, 적분인자는 [math(e^{\int \!P(t){\rm d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다.
따라서 초기조건에 따라 적분상수 [math(C)]를 적당한 값으로 정해주면 [math(y(t))]는 다음과 같다.