스킴(대수기하학)/여러가지 사상

1. 개요[편집]

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스킴으로 표현되는 여러가지 사상들을 정리한 문서이다.

2. 평탄 사상 (flat morphism)[편집]

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[math(R)]이 아무 (commutative) ring (with unity)라고 하고 [math(R)] 위의 module [math(M)]을 생각하자. 그렇다면 [math(M)]이 flat [math(R)]-module이란 것은 모든 exact sequence
[math(0\to N'\to N\to N''\to 0)]
에 대해서
[math(0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0)]
란 exact sequence가 존재하는 것이다.

이제 flat module의 성질을 알아내보자. 먼저, [math(I)]가 [math(R)]의 ideal이면
[math(0\to I\to R\to R/I\to 0)]
란 exact sequence가 있고, 따라서 flat module이면
[math(I\otimes_R M\to M)]
란 morphism이 언제나 injection이어야 한다는 걸 알 수 있다. 그리고 이것이 언제나 injection이고 [math(F')]가 rank 1 free module over [math(R)]이고 [math(f:F'\to F)]가 있다고 하자. 그러면 이것의 kernel을 생각하고 dual을 생각하고 dual을 간단히 [math(F^{\vee})]라고 쓰고 [math(F^{\vee}\to (F')^{\vee})]의 image를 [math(I)]라고 하면
[math(F^{\vee}\otimes_{R}M\to I\otimes_{R}M\to (F')^{\vee}\otimes_R M)]
를 만들 수 있고, [math(F^{\vee}\to (F')^{\vee})]의 kernel의 dual을 [math(K)]라고 하고 [math(F'')]를 free module이라고 할 때 [math(F''\to K\to 0)]이라는 [math(K)]의 presentation을 하나 잡으면 다음과 같은 exact sequence를 만들 수 있다.
[math( (F'')^{\vee}\otimes_R M\to F^{\vee}\otimes_R M\to (F')^{\vee}\otimes_R M)]
그럼 Hom-tensor adjuntion은 다음을 만든다.
[math({\rm Hom}_R(F'',M)\to {\rm Hom}_R(F,M)\to {\rm Hom}_R(F',M))]
그리고 우리는 이걸 적당히 [math(n)]번 곱하는 걸로 [math(F')]에 그러니까 요약하면 [math(F,F')]가 모두 finitely generated free고 [math(M)]이 flat이고 [math(F'\to F)]가 있다면 적당한 finitely generated free module [math(F'')]하고 morphism [math(F\to F'')]가 있어서
[math({\rm Hom}_R(F'',M)\to {\rm Hom}_R(F,M)\to {\rm Hom}_R(F',M))]
라는 exact sequence가 있다는 것이다.

이제 [math(M)]이 아무 flat module일 때 finitely generated free module [math(F)]와 [math(\phi:F\to M)]라는 morphism 두 쌍을 [math((F,\phi))]라고 쓰기로 하고, 이것으로 set [math(I)]을 만들자. 그렇다면 [math(M)]은 당연히 [math(I)]에 대한 colimit다. 그리고 이는 [math(M)]이 flat이면 위에서 만든 정리는 [math(I)]이 direct set임을 증명해준다.
이것은 다음을 뜻한다. [math(M)]이 filtered colimit of free modules라는 것과 동치며, 이 동치라는 정리를 Lazard theorem이라고 부른다.[1]

[math(R)]의 모든 finitely generated ideal [math(I)]에 대해서 [math(I\otimes_{R}M\to M)]이 injection이면 [math(M)]는 flat이라는 것을 알 수 있다. 이는 exact sequence 가운데에 있는 [math(N)]이 rank 1일 땐 모두 증명되고, rank를 올려보면 rank n짜리는 rank [math(n-1)]짜리와 rank 1짜리로 쪼갠다. 그러면 free module에서 finite module로 가는 morphism의 kernel을 생각하면 rank n짜리의 kernel을 rank [math(n-1)]짜리 kernel로 나누면 ideal이 나오므로 증명된다. finite module이란 조건을 빼려면 그냥 모든 module은 finite module의 direct limit고 tensor product는 direct limit와 commute하므로 증명이 끝난다.

[math(M)]이 faithfully flat module over [math(R)]이란 것은
[math(0\to N'\to N\to N''\to 0)]
이란 exact sequence가 있다는 것과
[math(0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0)]
이란 exact sequence가 있다는 것이 동치임을 뜻한다.

이제 module에서 algebra로 옮겨보자. [math(A\to B)]가 flat morphism이란 것은 [math(B)]가 flat [math(A)]-module이 될 때를 말한다. 그리고 faithfully flat morphism도 똑같이 정의한다. 그러면 [math(A\to B)]가 faithfully flat이란 것은 flat이고 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 surjection이라는 것과 동치다.[2]
이제 scheme [math(X,Y)]와 morphism [math(f:X\to Y)]에 대해서 이것이 flat morphism이란 것을 모든 [math(x\in X)]에 대해서 [math({\cal O}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{X,x})]가 flat인 것이다. 그리고 이것이 faithfully flat이란 것은 surjection이고 flat이라는 것이다. 그리고 [math(\{U_i\to X\})]가 fpqc covering이란 것은 [math(\bigsqcup_i U_i\to X)]가 faithfully flat이고 quasi-compact란 것이다.

그렇다면 [math(\{{\rm Spec}\,B_i\to {\rm Spec}\,A\})]가 fpqc covering이란 것을 이것으로 만들어지는 [math(A\to \bigoplus_i B_i)]가 faithfully flat morphism일 때를 말한다고 하자. 그러면 [math({\rm Spec}\,A)]-scheme들을 모은 category [math({\rm Sch}_A)]에 fpqc topology를 줄 텐데, 간단히 covering을 fpqc covering으로 설정한 topology라고 하자. 그렇다면 fpqc topology를 준 [math({\rm Spec}\,A)] 위의 quasi-coherent sheaf란 것을 생각해볼 텐데, 이것은 직관적으로 flat morphism [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]마다 [math(B)]-module [math(M_B)]를 준 거라고 생각할 수 있고, quasi-coherent란 조건은 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 적당히 local하고 [math(B\to C)]란 morphism이 있을 때 [math(M_C=M_B\otimes_B C)]라는 조건을 더 붙혀준다. 그러면 이런 걸로 충분할까??
우리가 sheaf의 정의를 생각할 때, 두 번째 조건에서 intersection을 생각한다. 그리고 그 intersection은 "자기 자신"하고 하면 그냥 topological space일 땐 문제 없겠지만 fpqc topology에선 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]의 intersection은 [math({\rm Spec}\,B\otimes_A B\to {\rm Spec}\,A)]가 되고, 따라서 그 위에 있는 module은 [math(M)]이라고 하면
[math(M_{B\otimes_A B}=M_B\otimes_B (B\otimes_A B)=M_B\otimes_A B)]
가 될 것이다. 근데 우리에겐 이것만 있는 것이 아닌데, 왜냐하면 [math({\rm Spec}\,B\otimes_A B\to {\rm Spec}\,A)]는 두 가지 경우가 있을 수 있으며, 이는 [math(B\to B\otimes_A B)]에서 [math(a\in A)]를 어느 쪽 coordinate로 보내냐에 따른 문제며, 각각을 [math(i_1,i_2)]라고 한다면
[math(M_{i_1}=M_B\otimes_A B,M_{i_2}=B\otimes_A M_B)]
가 나온다. 그러니까 우리는 [math(\phi:M_{i_1}\to M_{i_2})]란 morphism도 필요하며, 이것은 세 번 intersection했을 때 정의할 수 있는 [math(\phi_{1,2}:M_{i_1}\otimes_A B\to M_{i_2}\otimes_A B,\phi_{2,3},\phi_{1,3})]에 대해서
[math(\phi_{1,3}=\phi_{2,3}\circ \phi_{1,2})]
라는 일종의 cocycle condition을 만족해야 한다. 그러니까, [math({\rm Spec}\,A)] 위의 fpqc quasi-coherent sheaf란 것은 반드시 각 faithfully flat morphism [math(A\to B)]마다 [math(\phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B)]도 같이 달려있어야 한다. 그래야 [math(f_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\otimes_X U_j})]라는 조건에서 둘이 있는 곳이 다르다는 참사가 일어나지 않는다.
이렇게, 우리는 이를 일반화해서 다음을 정의하자.
이렇게, descent datum이라고 불리는 것이야말로 fpqc quasi-coherent sheaf라고 생각할 수 있다.

이제 우리는 faithfully flat descent란 걸 생각해보자.

• [math(A\to B)]가 faithfully flat morphism이고 [math(M)]이 [math(A)]-module일 때 다음과 같은 exact sequence [math(0\to M\to M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B)]가 생긴다. 여기에서 [math(M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B)]는 [math({\rm d}:m\otimes b\mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b)]로 정의한다.

이것의 증명은 개요만 말하면 [math(M=A)]일 때부터 생각하고 [math(A\to B)]가 section [math(B\to A)]가 있을 땐 [math(1\otimes a=a\otimes 1)]일 때 [math(B=A\oplus I)]라고 생각하면 [math(I)]의 원소는 절대로 [math({\rm d})]의 kernel에 들어갈 수 없고, 따라서 exactness가 완성된다.
section이 없으면 section을 만들면 된다. [math(A\to B)] 양 옆에 [math(B)]를 tensoring해서 [math(B\to B\otimes_A B)]로 만들면 이건 [math(B\otimes_A B\to B)]란 section이 있으며 이를 구체적으로 써보면 [math(b\otimes b'\mapsto bb')]가 된다. 그리고 faithfully flat이란 성질에 따라서 증명이 끝난다.

이제 다음 1-1 대응을 만들어보자.

• [math(\{\text{fpqc descent datums of }X\}\leftrightarrow \{\text{quasi-coherent sheaves of }X\})]

이는 direct limit와 direct image, inverse image에 의해서 보존된다. 그러니까 fpqc quasi-coherent sheaf는 사실 그냥 quasi-coherent sheaf라고 다를 게 없다!! 증명은 이는 local peoperty므로 [math(X={\rm Spec}\,A)]라고 가정해도 좋고, 모든 quasi-coherent sheaf는 자연스럽게 fpqc descent datum을 만들고, 이제 아무 fpqc descent datum을 잡아도 그것이 quasi-coherent sheaf를 만듦을 증명하면 되는데, [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 faithfully flat morphism이고 [math(\phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B)]라고 하면 [math(\phi:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B)]에 대해서 다음을 정의하자.
[math(M=\{m\in M_B|\phi(m\otimes 1)=1\otimes m\})]
그러면 [math(M\otimes_A B=M_B)]임을 증명하면 되는데, [math(\phi_{1,2},\phi_{2,3})]과 cocycle condition으로 commutative diagram
[math(\begin{aligned}&M_B\otimes_A B\to (M_B\otimes_A B)\otimes_A B \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \qquad \qquad \quad \,\, \qquad \downarrow \\ & B\otimes_A M_B\to B\otimes_A (M_B\otimes_A B)\end{aligned})]
를 만들 수 있고, 여기에서 맨 위는 [math(m\otimes b \mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b)]이고 맨 오른쪽은 [math(\phi_{1,2})]고, 맨 아래는 [math(b\otimes m\mapsto 1\otimes (b\otimes m)-1\otimes \phi(m\otimes b))]가 된다. 위의 kernel은 faithfully flat descent로 [math(M')]가 되며, 아래의 정의로 [math(M)]이 된다. 따라서 증명이 끝난다.

이제 flat morphism의 성질을 차근차근 보도록 하자. [math(f:X\to Y)]가 flat이라면 그 fibre의 dimension을 구해볼 텐데, [math(x\in X)]일 때
[math(0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{Y,f(x)}\to {\cal O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0)]
라는 exact sequence가 있고, 여기에 [math({\cal O}_{X,x})]를 tensoring하면
[math(0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}{\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\otimes_{{\cal O}_{Y,f(x)}}{\cal O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0)]
가 되고 따라서 셋의 Krull dimension을 생각한다면 다음이 만들어진다.
[math(\dim_x X=\dim_y Y+\dim_x Y_y)]
여기에서 [math(\dim_x X)]란 [math(x)]의 connected open neighborhood의 dimension이다.

[math(X,Y)]가 quasi-compact에 quasi-separated고, [math(f:X\to Y)]가 flat이고 finite presentation morphism이면 open이다. 이는 먼저 [math(X,Y)]가 connected라고 가정하고, 위에서 증명한 Chevalley's theorem으로 [math(f(X))]는 [math(Y)]에서 constructible이고, 이제 이게 closed under generalization임을, 그러니까 [math(x\in f(X))]고 [math(x\in \bar{\{y\}})]일 때 [math(y\in f(X))]임을 보이면 [math(f(X)=U\cap Z)]로 open set [math(U)], closed set [math(Z)]로 나타냈을 때 [math(Z)]가 전체 집합이 아닌 이상 이걸 절대로 만족하지 않으니 [math(f(X))]는 open이 되고 이걸 증명하면 된다.
이제 [math(x\in X)]일 때 [math({\rm Spec}\,{\cal O}_{X,x}\to{\rm Spec}\,{\cal O}_{Y,f(x)})]가 surjection임을 증명하면 [math(f(x)\subseteq \bar{\{y\}})]일 때 [math(y)]와 그 inverse image를 생각하면 [math(y\in f(X))]가 되고 closed under generalization임이 증명된다. 그리고 이 morphism은 flat임을 염두에 두자.
surjection임은 local ring에서 먼저 Noether normalization theorem을 쓰면 [math({\cal O}_{X,x})]가 finite [math({\cal O}_{Y,f(x)})]-module이라고 가정할 수 있고, 밑에서 증명할 거지만 finite morphism은 언제나 proper이므로 closed point는 closed point로 옮겨야 하고, minimal prime도 minimal prime으로 옮겨야 하고, 이 둘이 아닌 [math({\cal O}_{Y,f(x)})]의 prime ideal [math(\mathfrak{p})]를 생각하면 이것이 inverse image가 없다면 [math(\mathfrak{p}{\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}})]가 되고, 따라서 Nakayama lemma로 [math(({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0)]이 되는데, 이제 [math({\cal O}_{X,x})]의 flatness로 위에서 차원 잰 것과 비슷하게 해주면
[math(0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}{\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}\to {\cal O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0)]
이 만들어지고, 맨 오른쪽은 closed point는 closed point로 옮겨져서 만들어진 것이다. 이제 exact sequence는 localization에 의해 보존되므로 [math(\mathfrak{p})]으로 localizing해주면
[math(0\to \mathfrak{p}\to ({\cal O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0\to {\cal O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0)]
가 만들어진다. 맨 오른쪽은 field라 아무런 변화가 없다. 그렇다면 prime ideal이 minimal ideal이 되어야 하니까 모순이고, 따라서 flat and of finite presentation이면 open이라는 것이 증명된다.
이를 통해서 한 가지 알 수 있는 사실이 또 있는데, 저 모순을 만드는 과정에서 Nakayama lemma를 다시 한 번 쓰면 local ring 위에서의 finite module이 flat이면 faithfully flat이거나 아예 0이어야 한다는 사실을 알 수 있다.
finite and locally finite presentation이 open이란 것은 증명과정에서도 알 수 있듯이 아주 대충 fibre의 dimension이 같아야 하는데 갑자기 closed인 무언가가 갑툭튀할 수 없다를 뜻한다.

이제 잠깐 한 가지 딴 생각을 해보자. subscheme에서 open이나 closed라는 조건들은 closed under generalization, specialization이 결정한다. 그리고 이 조건들은 사실 [math(X)]의 topology에 의존하지 않는다 (!!)
정확히 말하면, [math(X)]의 w-local covering에 의존한다. 그러니까 좀 더 자세히 말하면 [math(X_w)]란 scheme하고 [math(f:X_w\to X)]라는 faithfully flat morphism이 있어서 다음을 만족한다.

• [math(X_w)]는 totally disconnected다. 그리고 [math(X_w)]의 closed point들을 모은 것은
• [math(X_w)]의 connected component들의 집합에 quotient topology를 준 것은 [math(X)]에 constructible topology를 준 것과 homeomorphic하다.
• [math(X_w)]의 connected component를 하나 [math(U_w)]라고 하면 여기엔 유일한 closed point [math(x\in U_w)]가 있고 [math(U_w={\rm Spec}\,{\cal O}_{X,f(x)})]가 된다.

그렇다면 이런 [math(X_w)]는 반드시 유일하게 존재하게 된다. 이것은 다음과 같이 construct하게 된다. 먼저 affine scheme부터 시작해서 [math(I\subseteq A)]가 ideal이라고 하자. 그러면 </math>A^{\sim}_{I}</math>을 [math(A/I<math>에서 invertible인 <math>A)]의 모든 element로 [math(A)]를 localizing한 것으로 생각하자. 그러면
[math({\rm Spec}\,A^{\sim}_{I}\to {\rm Spec}\,A)]
란 map은 image가 딱 [math({\rm Spec}\,A/I)]란 closed scheme이 generalized되는 점들을
자, [math(f\in A)]를 생각해보자. 이것은 [math({\rm Spec}\,A)] 안에서 open subscheme을 만들기도 하고, closed subscheme을 만들기도 하다. 그리고 이것은 간단히 생각해서
[math({\rm Spec}\,A={\rm Spec}\,A_f\sqcup {\rm Spec}A/(f)=D(f)\sqcup V(f))]
로 쪼갤 수 있다. 그렇다면 이제 두 개짜리를 생각하면, [math(f,g\in A)]일 때 이 둘 모두로 localizing한 [math(A_{f,g})]가 있고, 하나론 localizing하고 하나론 나눈 [math((A/(f))_g)]도 있고, 둘 다로 나눈 [math(A/(fg))]가 있다. 그리고 set-theoretical하겐 이는 직선 두 개로 평면을 1,2,3,4사분면, 원점 뺀 x축, 원점 뺀 y축, 원점. 이렇게 나눈 거라고 생각할 수 있다. 그리고 우리가 할 것은 여기에서 closed subscheme 부분을 그게 generalizing될 수 있는 최대의 scheme으로 바꿔치기할 것이다. 우리의 목표는 closed point 자체가 아니라 그것이 불려진 [math({\rm Spec}\,{\cal O}_{X,x})]같은 애니까!!

이제 좀 더 잘게 나눠서 [math(E\subseteq A)]를 그냥 finite subset이라고 하고 [math(E=E'\sqcup E')]라고 할 때
[math(V(E',E'')=D\left(\prod_{f\in E'}f\right)\sqcup \bigcap_{f\in E''}V(f), A_{E',E''}=\left(A/(E'')\right)_{\prod_{f\in E'}f})]
를 정의하자. 여기에서 [math(A/(E'')=\bigotimes_{f\in E'',A}A/(f))]로, 그냥 [math(f\in E'')]들로 [math(A)]를 나눈 것이다. 그러면 다음을 알 수 있다.
[math({\rm Spec}\,A=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E''}V(E',E''))]
여기에서 closed subscheme을 불려서 다음을 만들자.
[math(X_{E}=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E''}{\rm Spec}\,A_{E',E''})]
그러면 이것은 아무리 [math({\rm Spec}\,A)]가 처음에 connected였다고 해도 점점 disconnected해진다. 그리고 [math(X_{E}\to X)]는 간단히 [math({\rm Spec}\,A^{\sim}_{I(E'')}\to {\rm Spec}\,A/I(E))]를 정의할 수 있으니까 정의할 수 있고, local ring은 둘이 서로 완전히 똑같으니까 faithfully flat이 된다.
이제 다음을 정의하자.
[math(X_w=\lim_{E} X_{E})]
여기에서 limit는 colimit다. 그렇다면 이것은 바로 우리가 원하던 것이다. 일반적인 scheme에 대해선 그냥 gluing axiom에 따라서 만들면 그냥 된다.

[math(X_w)]는 아주 직관적으로 [math(X)]의 Zariski universal covering이라고 생각할 수 있다. faithfully flat이고 덤으로 locally closed subscheme이라면 갖고 있던 local ring이 같단 성질을 그대로 보존하기 때문이다.
여기에서 faithfully flat이란 성질은 정말로 중요하다. pro-etale cohomology theory에서 정말로 많은 성질들이 이것을 좀 더 불린 w-contractible covering에서 증명되는데, 여기에서 faithfully flat descent를 반드시 써야 하기 때문이다.

3. 유한 사상 (finite morphism)[편집]

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위에서 정의했듯이 [math(f:X\to S)]가 finite란 것은 모든 affine open subscheme [math(U={\rm Spec}\,A\subseteq S)]에 대해서 [math(f^{-1}(U)={\rm Spec}\,B)]꼴이고 [math(A\to B)]가 finite module을 이룰 때를 말한다.
finite morphism의 가장 자명한 예로는 closed immersion이 있으며[3] finite extension [math(k'/k)]에 대해서 [math({\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,k)] 또한 finite morphism이 된다.

먼저 finite morphism에 대해서 제대로 하기 전에 dimension 0인 scheme의 구조부터 알아보자. [math(X)]가 dimension 0라고 해보자. 먼저 [math(X={\rm Spec}\,A)]일 땐 [math(A)]의 모든 prime ideal은 maximal ideal일 수밖에 없고, 따라서 모든 [math(X)]의 point들은 closed고 덤으로 두 point를 [math(\mathfrak{m},\mathfrak{n})]이라고 썼을 때 [math(D(\mathfrak{m}),D(\mathfrak{n}))]는 각각 [math(\mathfrak{n},\mathfrak{m})]를 포함하면서 서로 서로소이므로 [math({\rm Spec}\,A)]는 Hausdorff가 된다. 이제 여기에서 [math(A)]를 noetherian이라고 가정하면 [math({\rm Spec}\,A)]는 finite에 discrete topology를 가지게 되고, 다시 [math(A)]에 noetherian이란 가정을 빼면 모든 ring은 noetherian ring의 direct limit로 표현할 수 있으므로 다음 다섯은 동치가 된다.

• [math(A)]는 Krull dimension 0
• [math({\rm Spec}\,A)]는 dimension 0
• [math({\rm Spec}\,A)]는 Hausdorff
• [math({\rm Spec}\,A)]는 totally disconnected
• [math({\rm Spec}\,A)]는 profinite set

여기에서 [math(A)]가 noetherian이란 조건을 붙혀주면 다음과도 동치가 된다.

• [math({\rm Spec}\,A)]는 finite discrete topology를 가짐.

그리고 [math(A)]가 어떤 field [math(k)] 위의 finitely generated algebra라면 다음 둘은 동치가 된다.

• [math(A)]는 artinian [math(k)]-algebra
• [math({\rm Spec}\,A)]는 finite set
• [math({\rm Spec}\,A)]는 discrete topology를 가짐
• [math(A)]는 Krull dimension 0
• [math(A)]는 finite [math(k)]-algebra

이는 위에서 만든 동치명제와 Hilbert basis theorem을 생각하자. 그러면 [math(A)]는 Noetherian이니까 (5)=>(1)=>(4)=>(3)=>(2)는 쉽게 증명할 수 있고 (4)=>(1)=>(5)도 쉽게 증명된다. (2)=>(4)는 먼저 Noether normalization lemma로 [math(A)]가 Krull dimension 0가 아니라면 [math({\rm Spec}\,A\to \mathbb{A}^1_k)]란 surjection map이 존재할 것이고, [math(k)]가 finite field라면 오른쪽은 유클리드의 소수 무한성 증명을 배껴서 infinite set임을 증명할 수 있고 [math(k)]가 infinite field라면 오른쪽은 [math((x-a))]란 자명한 prime ideal들이 있으니까 infinite set이다.

[math(A\to B)]가 finite ring map이고 injection일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 surjection임을 보이자. 이는 어떤 [math(\mathfrak{q}\subseteq B)]가 inverse image가 없을 때 [math(\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=B_{\mathfrak{q}})]임을 알 수 있고, 따라서 Nakawama lemma로 [math(B_{\mathfrak{q}}=0)]가 되므로 모순이다. 따라서 저것은 surjection이어야 하고 이것으로 우리는 going-up property라는 걸 증명할 수 있다. 이는 [math(\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}'\subseteq A)]라는 prime ideal의 나열이 있고 [math(\mathfrak{q})]가 [math(\mathfrak{p})]에 대응되는 [math(B)]의 prime ideal일 때 적당한 [math(B)]의 prime ideal [math(\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{q}'\subseteq B)]가 있어서 [math(f^{-1}(\mathfrak{q}')=\mathfrak{p})]라는 내용의 성질이다. 이는 간단히 [math(A/\mathfrak{p}\to B/\mathfrak{q})]를 생각한다. [math(Z\subseteq X)]가 closed subscheme이고 [math(X\to S)]가 finite일 때 [math(Z)]는 [math(X)]의 어떤 point의 closure로 표현되고, 그 point를 [math(x\in X)]라고 한다면 going-up property로 [math(f(Z))]는 [math(f(x))]의 closure다. 따라서 finite morphism은 closed가 된다. 그리고 finite morphism은 base change에 대해서 불변이므로 finite morphism은 universally closed가 되며 affine morphism은 separated니까 finite morphism은 proper임을 알 수 있다.

훨씬 더 일반적으로, 다음 둘은 동치가 된다.

• [math(f:X\to S)]는 integral morphism. 그러니까 affine morphism이고 이렇게 해서 만들어지는 extension of rings가 integral이다.[4]
  그러니까 위에 있는 ring의 모든 원소는 아래 있는 ring의 원소들을 coefficient로 갖는 monic polynomial의 zero로 표현된다.

* [math(f:X\to S)]는 affine and universally closed morphism이다.
이것의 증명은 생략하겠다.

이제 [math(X\to S)]가 quasi-finite라는 것을 of finite presentation이고 이것의 모든 fibre가 dimension 0일 때를 말한다고 하자. 이는 위에서 한 것으로 fibre가 dimension 0란 것은 모든 fibre가 finite set이란 것과 동치가 된다. 그리고 모든 finite morphism은 quasi-finite가 됨을 알 수 있다.

우리는 이제 다음을 증명할 것이다.

(Zariski main theorem) [math(S)]가 quasi-compact라고 하자. [math(X\to S)]가 quasi-finite고 separable이라면 적당한 scheme [math(X')]가 있어서 [math(X\to S)]는 [math(X\to X')]와 [math(X'\to S)]로 분해되며 [math(X\to X')]는 open immersion, [math(X'\to S)]는 finite가 된다.

이는 신기한 정리인데, finite morphism은 사실 fibre가 유한하다는 quasi-finite morphism하고 다를 바 없다는 정리이기 때문이다. 반대로 quasi-finite morphism은 open subscheme에서만 적용되는 finite morphism이라고 볼 수 있다.

다음을 증명해보자.

[math(A)]가 complete local ring이고 그 maximal ideal이 [math(\mathfrak{m})]고 [math(M)]이 [math(A)]-module이면서 [math(M/\mathfrak{m}M)]은 finite-dimensional [math(A/\mathfrak{m}A)]-vector space고 [math(\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}M=0)]라면 [math(M)]는 finite [math(A)]-module이다.

증명은 그냥 노가다...인데, [math(M/\mathfrak{m}M)]의 dimension에 따른 induction을 써보자. [math(M/\mathfrak{m}M=0)]이라면
[math(M=\mathfrak{m}M=\mathfrak{m}^2M=\cdots=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM=0)]
이고, 적당한 [math(e\in M)]이 있어서 [math(e)]를 [math(M/\mathfrak{m}M)]로 옮긴 걸 [math(\bar{e})]라고 쓰기로 하고 [math(M/\mathfrak{m}M=(\bar{e}))]라면
[math(M=\mathfrak{m}M+(e)=\mathfrak{m}(\mathfrak{m}M+(e))+(e)=\mathfrak{m}^2M+(e)=\cdots)]
가 되어서 complete란 조건으로
[math(M=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM+(e)=(e))]
가 된다. 그리고 일반적인 dimension에 대해선 basis들 중에서 한개만 남기고 미리 [math(M)]쪽으로 올리고 그 올린 것으로 만들어진 submodule을 [math(M')]라고 한 다음에 [math(M/M')]를 생각하면 이것은 바로 위에서 한 것으로 rank가 1이고 따라서 [math(M)]의 rank는 [math(M/\mathfrak{m}M)]의 rank와 같아지게 되므로 증명이 끝난다.

이것으로 [math(A)]가 complete local noetherian ring일 때 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]가 quasi-finite가 되는 모든 [math(B)]들을 분류해보자. 먼저 [math(A)]의 maximal ideal로 가는 모든 [math(B)]의 prime ideal들을 모으면 이 prime ideal로 [math(B)]를 localize한 것은 Krull intersection theorem과 quasi-finite map의 정의, 그리고 위의 정리로 finite [math(A)]-module이 된다. 이런 prime ideal들을 [math(\mathfrak{q}_i)]라고 하면
[math(\bigsqcup_{\mathfrak{q}_i}{\rm Spec}\,{\cal O}_{X,\mathfrak{q}_i}\to {\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]
를 만들 수 있고, 오른쪽은 quasi-finite여서 [math(A)]의 maximal ideal의 fibre가 discrete topology를 가지고 왼쪽은 Nakayama lemma로 open immersion이 되고 덤으로 valuative criterion을 생각하면 proper이므로 closed이기도 하고 따라서 [math({\rm Spec}\,B)] 안에서 왼쪽 map의 image는 clopen이 되고 따라서 clopen인 set은 ring을 둘로 쪼개게 되므로 [math(B=B_1\times B_2)]가 되고 특히 여기에 [math(A/\mathfrak{m})]을 tensoring하면 [math(B_2/\mathfrak{m}B_2=0)]가 되고 [math(B_1)]는 finite [math(A)]-module이 된다. 이를 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]의 관점에서 바라본다면 [math({\rm Spec}\,B)]는 [math(X_0\sqcup X_1)]로 나누어지는데 [math(X_0\to {\rm Spec}\,A)]는 finite morphism이고 [math(X_1\to {\rm Spec}\,A)]는 maximal ideal로 절대 가지 않는다.[5] 이런 decomposition은 [math({\rm Spec}\,B)]를 일반적인 scheme으로 바꾸고 quasi-finite를 quasi-finite and separable이란 조건으로 바꿔도 성립한다.

이제 [math(A)]가 complete local noetherian ring이라고 하고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 proper고 quasi-finite라고 하자. 그러면 위의 decomposition으로 [math(X=X_0\sqcup X_1)]로 나눌 수 있는데, [math(X_1\to {\rm Spec}\,A)]는 절대로 closed point로 가지 않는데 proper이므로 closed고 따라서 [math(X_1)]은 공집합이다. 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 그냥 finite가 된다.

위에서 proper란 조건을 빼보자. 그러면 그냥 quasi-finite morphism은 quasi-affine이다. 이는 [math(A)]의 dimension에 대한 induction과 위의 decomposition을 쓰면 된다. 다음 [math(n)]에 대해서 maximal ideal 바로 아래에 있는 prime ideal에 대한 localization을 생각하는 것으로[6]

그러면 위의 두 가지를 조합하면 quasi-affine이면 quasi-projective고 따라서 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 [math({\rm Spec}\,A)]의 어떤 coherent sheaf의 projective spectrum을 생각해서 적당한 [math(X')]가 있어서
[math(X\to X'\to {\rm Spec}\,A)]
를 만들게 되는데, 왼쪽은 open immersion이고 오른쪽은 projective고 quasi-finite인데 projective면 proper고, proper고 quasi-finite면 finite니까 [math({\rm Spec}\,A)]에 대한 Zariski main theorem을 증명할 수 있다.

이제 [math(A)]에 complete란 조건을 빼보자. [math(A)]가 그냥 noetherian local ring이고 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]가 quasi-finite면 [math(A)]의 completion을 [math(\hat{A})]라고 할 때 [math(A\to \hat{A})]은 [math(A)] 안에 유일하게 있는 ideal에 대해서 flatness criterion을 생각하면 faithfully flat이다. 이제 [math(X\to {\rm Spec}\,A)]를 big fpqc site 안의 morphism으로 보고, [math(X\times_{{\rm Spec}\,A}{\rm Spec}\,\hat{A})]와 [math({\rm Spec}\,\hat{A}\to {\rm Spec}\,A)]를 각각 sheaf of algerbas를 생각해서 fpqc descent datum으로 생각한 다음에 faithfully flat descent를 쓴다. 그러면 open immersion이랑 finite란 성질은 faithfully flat으로 잘 옮겨가고, Zariski main theorem을 local noetherian ring에 대해서 증명할 수 있다.

이제 finiteness와 open immersion이란 성질은 local property니까 [math(A)]에 local이란 성질을 뺄 수 있다. [math(\mathfrak{p})]가 [math(A)]의 prime ideal일 때 [math(X\times {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}}\to {\rm Spec}\,A_{\mathfrak{p}})]에 대해선 이미 증명했고 저것이 inverse limit임을 생각하면 적당한 [math(\mathfrak{p})]의 근방에서 증명할 수 있으니까. 덤으로 noetherian이란 조건도 뺄 수 있는데, quasi-finite의 정의에 of finite presentation이 있기 때문이다. 그리고 마지막으로 [math({\rm Spec}\,A)]을 일반적인 scheme [math(S)]로 바꿀 수 있고 증명이 끝난다.

4. 부드러운 사상과 에탈 사상 (smooth morphism and étale morphism)[편집]

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4.1. 캘러 미분과 공접 사슬 (Kähler differential and cotangent complex)[편집]

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먼저 본격적으로 무언가를 하기 전에, Kähler differential을 소개하자.
[math(A\to B)]가 ring map일 때 [math(\Omega^1_{B/A})]란 걸 정의할텐데, 이것은 간단하게 대충 다변수 미적분학을 할 때 보이는 1-form들을 모아놓은 module이다. 그러니까
[math(\Omega^1_{B/A}=\left\{\sum a_i{\rm d}b_i|a_i\in A,b_i\in B\right\})]
꼴이다. 여기에서 [math({\rm d}:B\to \Omega^1_{B/A})]는 module로 볼 때의 morphism인데,

• [math({\rm d}a=0)] for all [math(a\in A)]
• [math({\rm d}(bb')=b'{\rm d}b+b{\rm d}b')] (Leibniz rule)

를 만족해야 한다.

좀 더 formal하게 정의를 써보면 이렇게 된다. [math(B\otimes_A B\to B)]를 생각하는데, 이것은 [math(b\otimes b\mapsto bb')]로 정의된다. 그러면 이것은 ring map이고 이것의 kernel을 [math(I)]라고 한다면
[math(\Omega^1_{B/A}=I/I^2)]
으로 정의된다. 이 정의는 이질적일 수 있지만 [math({\rm d}b=1\otimes b-b\otimes 1)]이라고 생각한다면 쉬울 것이다.

예를 들기 위해서 몇몇 case에서 이것을 계산해보자. [math(B=A[x_1,\cdots,x_n])]라면 [math(\Omega^1_{B/A}=\{\sum^{n}_{i=1} a_i {\rm d}x_i|a_i\in A\})]가 되고, [math(R)]이 characteristic p에 perfect ring[7]이라면 모든 [math(x\in R)]는 적당한 [math(y\in R)]가 있어서 [math(x=y^p)]가 되므로
[math({\rm d}x={\rm d}y^p=py^{p-1}{\rm d}y=0)]
이고, 따라서 [math(\Omega^1_{R/\mathbb{F}_p}=0)]이 된다. 여기에서 더 나아가서 [math(k'/k)]란 field extension이 separable일 필요충분조건은 [math(\Omega^1_{k'/k}=0)]임을 알 수 있다.

Kähler differnetial은 아주 대충 말하면 ramification을 재는 도구다. [math(A\to B)]가 of finite presentation이고 flat일 때 이런 Kähler differential이 [math(B)] 위에서 free가 아니라는 것은 [math(A\to B)]의 행동이 정말로 병적임을 의미한다.

Kähler differential을 계산하기 위한 도구는 많이 있다. 예를 들면 [math(A\to B\to C)]란 게 있다면
[math(\Omega^1_{B/A}\otimes_B C\to \Omega^1_{C/A}\to \Omega^1_{C/B}\to 0)]
이란 exact sequence가 있고, [math(C=B/I)]꼴이라면 이는
[math(I/I^2\to \Omega^1_{B/A}\otimes_B(B/I)\to \Omega^1_{(B/I)/A}\to 0)]
란 exact sequence로 변한다.
이제 [math(A\to B)]가 of finite presentation이고 그 Kähler differentials가 free라면 Noether normalization으로
[math(A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m))]
가 있을 테고, 여기에서 [math(A[x_1\cdots,x_{n-m}]\to B)]쪽은 finite다. 그리고 위의 exact sequence로 [math(A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to B)]의 Kähler differentials는 0이다. free module의 submodule은 free여야 하고 finite algebra의 Kähler differentials는 free가 될 수 없으니까. 특히 [math(A\to B)]의 Kähler differentials가 0이라면 [math(B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_n))]꼴이 되고 [math((p_1,\cdots,p_n))]들의 Jacobian matrix는 invertible이 된다.

사실 [math(Omega^1_{B/A})]가 free가 아니라면 Kähler differential은 별로 쓸모가 없다. 왜냐하면 그 이상의 정보를 알려주지 않기 때문인데, 이를 보완하기 위해서 우리는 cotangent complex라는 걸 정의하는데, 이것은 Kähler differential보다 훨씬 더 category theory의 관점에서 볼 때 다루기 쉽단 장점이 있다.

다음을 정의하자.
[math(B_1=B,B_2=A[B_1],B_3=A[B_2],\cdots)]
여기에서 [math(S)]가 set일 때 [math(A[S])]를 [math(A)]의 coefficient로 하는 [math(S)]의 원소들의 finite formal sum들의 [math(A)]-module이라고 하자. 그럼 이것들은 [math(B)]-module로 만들 수 있으며 이제 다음 complex를 정의하자.
[math(L_{B/A}=\cdots\to \Omega^1_{B_3/A}\otimes_{B_3}B\to \Omega^1_{B_2/A}\otimes_{B_2}B\to \Omega^1_{B/A}\to 0)]
이를 cotangent complex라고 한다.

cotangent complex의 정의에서 [math(B_{\bullet})]들은 사실 free [math(B)]-algebra가 되고 [math(B_{\bullet}\to B)]가 [math(B)]의 resolution이 되도록만 정하면 마음대로 정할 수 있다.

cotangent complex의 성질로 [math(A\to B\to C)]란 ring map이 있을 때 다음 distingushed triangle이 존재한다.
[math(L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C\to L_{C/A}\to L_{C/B}\to L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C[1]<)]
여기에서 [math(\otimes^{\mathbf{L}})]는 derived tensor product로 tensor product의 진짜 모습이라고 생각할 수 있다.

우리는 작은 [math(i)]에 대해서 [math(H_i(L_{B/A}))]들을 직접 계산해볼 수 있는데, [math(H_0(L_{B/A})=\Omega^1_{B/A})]가 되고, [math(A[B]\to B)]의 kernel을 [math(I)]라고 한다면 [math(H_1(L_{B/A})=I/I^2)]가 된다.
[math(A\to B)]가 flat이고 [math(\Omega^1_{B/A})]이 0이라고 하자. 그러면 [math(A\to B)]에서 [math(B)]를 tensoring하면 [math(\Omega^1_{B\otimes_A B/B}=0)]이 되고, [math(B\to B\otimes_A B\to B)]하고 cotangent complex를 생각하고 homology를 일일이 구해주면 [math(L_{B/B\otimes_A B}=0)]가 된다. 따라서 [math(B\to B\otimes_A B\to B)]에 대해서 cotangent complex를 계산하면
[math(L_{B/A}=L_{B\otimes_A B/B}\otimes^{\mathbf{L}}_{B\otimes_A B} B=0)]
가 된다. 하지만 [math(L_{B/A}=0)]라고 [math(A\to B)]가 flat은 아니다. 여기 참조

이제 Noether normalization에서 얻은 [math(A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to B)]와 바로 위에서 얻은 결과를 종합해보면 [math(\Omega^1_{B/A})]가 finite projective고 [math(A\to B)]가 flat이라면 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]라는 사실을 얻을 수 있다.

한 가지 criterion을 만들어보자. [math(A\to B)]가 of finite presentation이고 flat일 때 [math(B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m))]이다. 여기에서 [math(p_1,\cdots,p_m\in A[x_1,\cdots,x_n])]이며 [math(m\le n)]다. 그러면
[math({\rm d}p_i=\sum^{m}_{i=1} \frac{\partial p_i}{\partial x_i}{\rm d}x_i)]
가 되고, cotangent complex의 first homology는 없으니까 [math(0\to A\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B)]를 생각하면 [math(A[x_1,\cdots,x_n]\to B)]의 kernel을 [math(I)]라고 할 때
[math(0\to I/I^2\to \Omega^1_{A[x_1,\cdots,x_n]/A}\otimes_P B\to \Omega_{B/A}\to 9)]
이라는 exact sequence가 있고, 따라서 [math(\Omega^1_{B/A})]는 [math(\Omega^1_{A[x_1,\cdots,x_n]/A})]를 [math({\rm d}p_i)]들로 나눈 걸로 볼 수 있기에 [math(\Omega^1_{B/A})]가 [math(B)] 위에서 finite projective module일 필요충분조건은
[math(\begin{pmatrix} \frac{\partial p_1}{\partial x_1} & \frac{\partial p_1}{\partial x_2} &\cdots & \frac{\partial p_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial p_2}{\partial x_1} & \frac{\partial p_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_2}{\partial x_n} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ \frac{\partial p_m}{\partial x_1} & \frac{\partial p_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_m}{\partial x_n}\end{pmatrix})]
의 [math(n\times n)]-submatrix들이 모두 invertible인 것을 뜻한다.

4.2. 형식 사상들 (formal morphisms)[편집]

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먼저 [math(B)]가 ring이라고 하고, [math(I\subseteq B)]가 [math(I^2=0)]를 만족하는 ideal이라고 하자. 이는 직관적으로 [math(B)]란 [math(B/I)]에다가 무한소를 추가한 것이다. 그렇다면 우리는 [math(X\to S)]가 morphism of schemes라고 하면 다음을 정의하자. 여기에선 functor of points에서 썼던 기호를 쓰자.

• [math(f)]가 formally smooth라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 surjection인 것이다.
• [math(f)]가 formally unramified라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 injection인 것이다.
• [math(f)]가 formally étale이라는 것은 다음 대응 [math(X(B)\to X(B/I))]가 bijection인 것이다.

이들은 cotangent complex하고 큰 상관이 있는데, 먼저 ring map [math(A\to B)]가 formally smooth인 것은 polynomial ring에서 오는 모든 surjection [math(P\to B)]에 대해서 이것의 kernel을 [math(J)]라고 하면 [math(P/J^2\to B)]는 section으로 [math(B\to P/J^2)]를 가진다는 것과 동치임을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 formally smooth라는 것은 [math(\Omega^1_{P/A}\otimes_P B=\Omega^1_{(P/J^2)/A}\otimes_P B)]의 direct calculation으로
[math(0\to J/J^2\to \Omega^1_{P/A}\otimes_P B\to \Omega^1_{B/A}\to 0)]
가 split exact sequence라는 것과 동치다. 이는 다시 cotangent complex로 옮기면 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 projective [math(B)]-module이란 것과 동치며 다음을 정의할 수 있다.

• [math(A\to B)]가 smooth morphism이란 것은 이것이 of finite presentation이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 finite projective [math(B)]-module이고 [math(L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0])]일 때를 말한다.

이제 smooth morphism에 대해서 설명해보자. smooth morphism [math(\mathbb{X}\to {\rm Spec}\,\mathbb{Z}_p)]를 생각해볼 텐데, 여기 위의 [math(\mathbb{F}_p)]-point [math(\bar{x}\in X(\mathbb{F}_p))]를 생각하자. 그러면 smooth morphism은 formally smooth이므로 이는 적당히 [math( x\in X(\mathbb{Z}_p))]로 lift할 수 있다.[8]

local ring 사이 local homomorphism [math(A\to B)]가 있다고 하고 이것이 smooth morphism이라고 하자. 그러면 이것은 flat인데, [math(A)]가 noetherian이라고 가정할 수 있고, 그러면 [math(A[x_1,\cdots,x_n]\to B)]를 생각하고 왼쪽 ring을 [math(B)]의 maximal ideal로 localize한 걸 [math(P)]라고 쓰고 이는 [math(A)] 위에서 flat이고 [math(P\to B)]의 kernel을 [math(I)]라고 한다면 formally smooth의 정의로 [math(B\to P/I^i)]를 만들 수 있고 따라서 [math(\hat{P}\to B)]의 section [math(B\to \hat{P})]를 만들 수 있다. 따라서 [math(B)]는 [math(\hat{P})]의 direct summand고 [math(\hat{P})]는 [math(A)]에서 flat이니 [math(B)]도 [math(A)]에서 flat이다. 그리고 flat은 local property니 [math(A,B)]가 local ring이란 가정을 하지 않아도 된다. 따라서 cotangent complex 할 때 마지막에서 두번째로 설명한 것으로 smooth morphism은 flat이고 [math(\Omega^1_{B/A})]가 finite projective인 것으로만 설명해도 된다.

noetherian local ring [math(A)]이 regular라는 것을 이것의 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하면 [math(A)]의 Krull dimension이랑 [math(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)]를 [math(A/\mathfrak{m})]-vector space로 봤을 때의 dimension이랑 같다고 해보자. regular란 notion은 smooth란 notion하고 비슷한데, 대신 이것은 residue field에 대한 정보를 구체적으로 정하지 않는다.
[math(A)]가 field [math(k)] 위에 있고 [math(k\to A)]는 smooth morphism이라고 해보자. 그러면 [math((A/\mathfrak{m})/k)]라는 field extension이 separable이 되어야 하고, 그러면 [math(k\to A\to A/\mathfrak{m})]는
[math(0\to \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to \Omega^1_{A/k}\otimes_A (A/\mathfrak{m})\to \Omega^1_{(A/\mathfrak{m})/k}\to 0)]
라는 exact sequence를 만들고, 맨 마지막이 사라지므로 다음을 얻을 수 있다.
[math(\dim A=\dim_{A/\mathfrak{m}} \Omega^1_{A/k}\otimes_{k}(A/\mathfrak{m})=\dim_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)]
여기에서 첫번째는 smooth면 [math(\Omega^1_{A/k})]의 rank와 [math(A)]의 Krull dimension은 같다는 데에서 얻을 수 있다. 그러니까 smooth면 regular다. 하지만 역은 성립하지 않는데, 위에서 말했듯이 regular라는 조건은 residue field에 대해서 어떤 조건도 주지 않지만 smooth란 조건은 residue field에도 조건을 만들기 때문이다. 예를 들면 [math(\mathbb{F}_p(t)\to \mathbb{F}_p(t^{\frac{1}{p}}))]는 regular지만 smooth는 될 수 없다. 하지만 [math(k)]에 perfect field란 조건을 붙혀 준다면 regular와 smooth는 서로 동치조건이 된다.
regular local ring of Krull dimension 1은 바로 discrete valuation ring이다. 이는 curve를 다룰 때 중요한데, smooth curve over a field는 모든 local ring이 generic point만 뺀다면 이런 discrete valuation ring이기 때문이다. 그리고 이럴 때 smooth curve의 rational function의 각 점에서의 degree는 maximal ideal로 만들어진 filtration에서 어느 부분에 들어가 있냐에 따라서 달라진다.

formally unramified에 대해서 알아보자. [math(A\to B)]가 formally unramified map이라면 [math(I={\rm Ker}(B\otimes_A B\to B))]라고 하고
[math(\sigma_1,\sigma_2:B\to B\otimes_A B/I^2)]
둘을 [math(\sigma_1(b)=b\otimes 1, \sigma_2(b)=1\otimes b)]라고 하면 이 둘은 [math(B\otimes_A B/I)]에선 같고 따라서 formally unramified map의 정의로 [math(\sigma_1=\sigma_2)]로 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]가 나온다. 반대는 Kähler differentials의 universal property를 생각하면 formally unramified란 것은 그냥 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]이라는 것과 동치가 된다. 이제 다음을 정의하자.

• [math(A\to B)]가 of finite presentation이고 [math(\Omega^1_{B/A}=0)]이면 이를 unramified morphism이라고 하자.

두 local field 사이 local homomorphism [math(A\to B)]가 unramified라면 두 local ring의 residue field extension은 finite separable extension이 된다. 그리고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]가 되는데, 아니어서 [math(B/\mathfrak{m}_AB)]가 [math(B/\mathfrak{m}_B)] 위 dimension [math(n)]인 vector space라면 Nakayama lemma로 [math(\Omega^1_{B/A})]은 [math(A)] 위에서 rank n-1일 테고 이는 모순이다.
반대로 [math(A\to B)]가 of finite presentation이고, residue field extension이 finite separable이고 [math(\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B)]라면 같은 Nakayama lemma로 [math(A\to B)]는 unramified가 된다.
unramified morphism은 이름 그대로 umramified인 것들만 나타낼 수 있는데, 예를 들면 [math(L/K)]가 local field 사이의 totally ramified extension이고 [math(L^{\circ}/K^{\circ})]가 그 ring of integers 사이의 extension일 때 이것은 절대로 unramified morphism이 될 수 없다. 왜냐하면 maximal ideal을 옮기면 maximal ideal이란 성질이 깨지기 때문이다.

이제 다음을 정의하자.

• [math(A\to B)]가 étale이라는 것은 flat이고 unramified인 것이다.

이는 간단하게 smooth이고 unramified인 것, 또는 of finite presentation이고 formally étale이라는 것과 동치임을 알 수 있다. 그리고 이럴 경우엔 [math(\hat{A}\to \hat{B})]는 isomorphism이 되고 local ring에 대해서만 생각하고 두 local ring이 어떤 algebraically closed field 위에 있다고 할 때 이것이 isomorphism이란 것과 [math(A\to B)]가 étale이라는 건 동치다.

4.3. 유한 에탈 사상 (finite étale morphism)[편집]

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여기에선 주로 finite flat morphism과 finite étale morphism을 다룰 것이다.
먼저 flat morphism은 open subscheme을 open subscheme으로 옮긴다. 그리고 finite morphism은 proper니까 closed subscheme을 closed subscheme으로 옮긴다. 따라서 [math(X,S)]가 connected라면 [math(f:X\to S)]란 finite flat morphism은 언제나 surjection이다.

finite flat morphism은 직관적으로 차원은 바꾸지 않고 점만 여러개로 바꾸는 morphism이라고 이해할 수 있다. 예를 들어서 [math(X,S)]가 어떤 field [math(k)] 위에서 모두 dimension 1이고 irreducible이고 smooth인 curve라고 해보자. 그러면 [math(x\in X)]를 하나 잡고 [math(f(x))]를 생각하면
[math(f_x:{\cal O}_{S,f(x)}\to {\cal O}_{X,x})]
를 만들 수 있고, 둘은 discrete valuation ring이고 이제 [math(X)] 안에 유일하게 있는 generic point를 [math(\eta)]라고 한다면 [math(K(X)={\cal O}_{X,\eta})]라고 쓰리고 하고 [math(K(X)/K(S))]가 separable이라면
[math(f_x(\mathfrak{m}_{S,f(x)}){\cal O}_{X,x}=\mathfrak{m}^{e_x}_{X,x})]
인 [math(e_x)]가 반드시 있고, 이를 ramification index라고 하자. 그렇다면 언제나 [math(e_x\ge 1)]이고, [math(f:X\to S)]가 finite étale이라는 것은 모든 [math(x\in X)]에 대해서 [math(e_x=1)]이란 것으로 생각할 수 있다.

[math(X\to S)]가 étale이면 이것은 quasi-finite가 된다. 어떤 fibre가 dim.이 1 이상이면 거기에서 Kähler differentials가 rank 1 이상이 되기 때문이다. 따라서 Zariski main theorem으로 적당한 scheme [math(X')]가 있어서 [math(X\to S)]는 open immersion [math(X\to X')]하고 finite étale morphism [math(X'\to S)]로 분해된다. 따라서 étale morphism을 다루는 것은 finite étale morphism을 다루는 것과 같다.

예제를 몇 개 들어보자. [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]는 scheme들 중에서 가장 간단한 scheme이고, 이것의 finite étale covering [math(X\to {\rm Spec}\,\mathbb{Z})]가 있는지 생각해보자. 그러면 generic point를 생각하면 이는 [math(K(X)/\mathbb{Q})]란 finite extension을 만들며, 이는 unramified extension을 만들어야 한다. 하지만 이는 Minkowski의 geometry of numbers로 [math(\mathbb{Q})] 자신이라는 것이 알려져 있으며, 따라서 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]의 finite étale covering은 자기 자신밖에 없다.
그렇다면 이제 field [math(k)]에 대해서 [math({\rm Spec}\,k)]의 finite étale covering을 생각해보자. 어떤 [math(X\to {\rm Spec}\,k)]라는 finite étale morphism이 있다면 그 fibre는 discrete topology를 이뤄야 하고 원소는 유한개니까 local artinian rings of residue field [math(k)]인 [math(A_1,\cdots,A_n)]이 있어서
[math(X={\rm Spec}\,A_1\sqcup {\rm Spec}\,A_2 \sqcup \cdots \sqcup {\rm Spec}\,A_n)]
가 된다. 이제 unramified란 조건에서 [math(A_1,\cdots,A_n)]들은 모두 field여야 하고 덤으로 [math(k)]의 separable extension이어야 한다. 그러니까 [math(k)] 위 finite étale covering은 [math(k)]의 separable extension들 [math(k_1,\cdots,k_n)]이 있어서 [math(k_1\times k_2\times \cdots \times k_n)]이다.
우리는 [math(k)]가 algebraically closed field일 때 [math(\mathbb{P}^1_k)]의 finite étale covering을 생각해보자. 있어서 [math(X\to \mathbb{P}^1_k)]로 쓰인다면 증명하진 않았지만 Riemann-Hurwitz formula를 쓰면 [math(K(X)/k(t))]의 degree를 [math(N)]이라고 하고 [math(g(X))]를 [math(X)]의 genus[9]라고 하면
[math(2g(X)-2=N(2g(\mathbb{P}^1_k)-2)+\sum_{x\in X}(e_x-1)=-2N+\sum_{x\in X}(e_x-1))]
가 되며, [math(e_x=1)] for all [math(x\in X)]라면 왼쪽은 0 이상 오른쪽은 0 미만이 되므로 모순이고 따라서 [math(\mathbb{P}^1_k)]도 그 finite étale covering이 자기 자신밖에 없다.
이제 finite étale covering이 자기 자신밖에 없는 것들에서 점 유한개를 빼보자. 그러니까 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z}-\{p_1,\cdots,p_n\})]이나 [math(\mathbb{P}^1_k-\{x_1,\cdots,x_n\})]을 생각해보자. 그러면 이것들의 finite étale covering은 존재할 수 있게 되는데, 첫번째의 경우엔 [math(p_1,\cdots,p_n)] 바깥에서 unramified이고 이 소수들에 대해선 ramified여도 되므로 존재하고, 두 번째는 affine line에서 생각하면
[math(x^p-x:\mathbb{A}^1_k\to \mathbb{A}^1_k)]
를 생각하자. 그러면 [math(x^p-x)]의 미분은 [math(-1)]이므로 이것은 finite étale이다. 이를 Artin-Schreier covering이라고 한다.
마지막으로 [math(K)]가 local field고 [math(K^{\circ})]가 그 ring of integers일 때 [math({\rm Spec}\,K^{\circ})]의 finite étale covering을 구해보자. 그러면 [math(X\to {\rm Spec}\,K^{\circ})]라는 finite étale covering이 있을 때 closed point의 fibre를 생각하는 것으로 [math(X)]의 topology 구조를 알아챌 수 있으며, 이 구조에 의하면 적당한 discrete valuation ring들 [math(R_1,\cdots,R_n)]이 있어서 [math(X={\rm Spec}\,R_1\sqcup \cdots \sqcup {\rm Spec}\,R_n)]이 된다. 그리고 [math(R_i)]들은 모두 [math(K^{\circ})]의 unramified extension이 되어야 하며, 계산이 끝났다.

4.4. 갈루아 이론 (Galois theory)[편집]

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이제 우리는 field 위에서만 하던 갈루아 이론을 임의의 scheme으로 확장해보자.
위의 예제에서 [math(k)]가 field일 때 [math({\rm Spec}\,k)]의 finite étale covering은 사실 [math(k)]의 separable extension하고 아무 다를 게 없다. 그런 의미에서, finite flat morphism [math(f:X\to S)]의 degree를 [math(K(X)/K(S))]의 degree로 정의하고 finite étale morphism [math(f:X\to S)]가 Galois라는 것을 [math(S)]에선 identity인 [math(X)]의 automorphism의 갯수가 [math(f:X\to S)]의 degree하고 같을 때로 정의하자. 그리고 그 automorphism group을 [math({\rm Gal}(X/S))]라고 하자.
[math(X\to S)]가 finite étale일 때 [math(X'\to X\to S)]라는 합성했을 때 Galois가 되는 finite étale morphism들은 언제나 존재한다. 이는 [math({\cal O}_{S}(U)\to {\cal O}_{X}(f^{-1}(U)))]라는 map은 integral extension을 만들고, 이제 이것이 Galois가 되도록 integral element의 conjugation을 열심히 붙혀주자.
scheme [math(X)]의 geometric point란 separably closed field [math(k')]와 morphism [math({\rm Spec}\,k'\to X)]를 뜻한다. 이는 간단히 [math(X)]의 어떤 point의 residue field의 separably closed field를 잡아준 건데, field하곤 달리 scheme에선 그에 대응되는 separably closed field라는 개념이 없기 때문이다.[10]
그렇다면 [math(X)]가 connected라면 [math({\rm Spec}\,k)]의 image의 closure의 codimension에만 의존하도록 Galois group을 정의할 것이다.

이제 [math(x:{\rm Spec}\,k'\to S)]란 geometric point를 하나 잡을 때 [math({\rm Spec}\,k'\to X\to S)]를 생각하자. 이는 대충 말하면 [math(X)]를 [math({\rm Spec}\,k')]의 subfield처럼 생각하겠단 것이다. 그렇다면 다음을 정의하자.
[math(\pi_1(X,x):=\lim_{x\to X\to S} {\rm Gal}(X/S))]
여기에서 limit는 inverse limit다. 그럼 이를 étale fundamental group이라고 부르자.

먼저 간단한 예로 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Z})]를 보자. 그러면 이것은 fintie étale cover가 자기 자신밖에 없으므로 [math(\pi_1({\rm Spec}\,\mathbb{Z},x)=0)]다.
[math({\rm Spec}\,k)]를 보자. 그러면 이것은 geometric point가 자명한 [math(x:{\rm Spec}\,k^{{\rm sep}}\to {\rm Spec}\,k)] 하나밖에 없고, 그 fundamental group은
[math(\pi_1({\rm Spec}\,k,x)={\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k))]
가 된다.

이제 조금 특이한 예로 [math(k)]가 algebraically closed field일 때 [math((\mathbb{A}^1_k\setminus \{0\})/k)]를 생각해보자. 이는 [math(k)]에 가운데가 뻥 뚫린 [math(k^{\times})]같은 것이라고 볼 수 있다. 그러면 이것의 finite étale covering은 [math(x\mapsto x^n)]같은 것들이 있으며, 이런 것들밖에 없다. 0말고 다른 데 zero가 있다면 [math(\infty)] 말고도 다른 데 pole이 있어야 하니까. 그리고 이런 finite étale covering들의 Galois group은 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]고, 따라서 그 étale fundamental group은
[math(\pi_1((\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\})/k,x)=\prod_{p}\mathbb{Z}_p)]
가 된다.

[math(k)]가 아무 field고, [math(X)]가 [math(k)] 위 scheme이라고 하자. 그리고 [math(x:{\rm Spec}\,k\to X)]를 아무 geometric point라고 하면 다음 exact sequence가 있다.
[math(0\to \pi_1(X,x)\to \pi_1(X\times_k k^{{\rm sep}},x)\to {\rm Gal}(k^{{\rm sep}}/k)\to 0)]
이것은 간단히 automorphism을 [math(k^{{\rm sep}})]를 고정하는 것과 오로지 [math(k^{{\rm sep}})]만 움직이는 것으로 분해한 것이다. 그렇다면 이 exact sequence에서 맨 앞의 group을 arithmetic fundamental group이라고 하고 가운데의 group을 geometric fundamental group이라고 부른다.

étale fundamental group의 중요한 점은 이것을 계산했을 때 finite étale morphism [math(f:X\to S)]를 알아낸다는 것에 있지 않고 [math(\ell)]-adic lisse sheaf를 알아낸다는 것에 있을 것이다.
먼저 평범한 Galois theory를 생각해보자. fundamental theorem of Galois theory는 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 subgroup하고 [math(k'/k)] 사이의 field 사이 대응을 만든다. 그리고 여기에서 [math({\rm Gal}(k'/k))]의 subgroup을 finite [math({\rm Gal}(k'/k))]-set으로 바꾼다면 사이의 field는 다음과 같은 finite étale covering
[math({\rm Spec}\,k'\to {\rm Spec}\,A\to {\rm Spec}\,k)]
를 분류해낸다.

이제 étale topology라는 것을 정의하자. 이것은 [math({\rm Sch}_X)]에 주는 topology인데, open covering을 [math(\{U_i\to U\})], [math(U_i\to U)] is étale이고 그 image들의 union이 자기 자신인 것으로 정의한다. 이것은 Zariski topology하곤 다르데 étale fundamental group하고 딱 맞는 notion이다. 그럼 이런 étale topology 위의 sheaf를 étale sheaf라고 하자.
quasi-compact [math(X)] 위의 étale sheaf [math({\cal F})]가 constant라는 것은 적당한 abelian group [math(A)]가 있어서 [math({\cal F}(U)=A)] for all étale [math(U\to X)]인 것이다. 그리고 [math({\cal F})]가 locally constant라는 것은 적당한 étale open covering [math(\{U_i\to X\})]가 있어서 [math({\cal F}|_{U_i})]가 모든 [math(i)]에 대해서 constant sheaf인 것이다.



[각주]


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