위상 공간(물리학)
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분류
1. 개요[편집]
位相空間 / phase space
물리학의 해밀턴 역학, 양자역학, 통계역학, 게이지 이론 등에서 사용하는 특수한 공간.
2. 해밀턴 역학의 위상 공간[편집]
상태공간(state space)이나 배위공간(configuration space)으로 부르기도 한다. 여러 초기조건에 따른 계의 상태를 나타내는 공간으로 보통 일반화된 운동량과 위치를 뜻하는 p, q 라는 변수를 통해 나타낸다. 통계역학에서 앙상블들을 정의하는 데에 요긴하게 쓰인다.
해밀토니안이 시간에 의존하는 경우 해밀토니안은 p, q, t 공간, 즉 확장된 위상공간(extended phase space) 상의 함수가 된다. 일반적인 위상공간이 2n 차원이면, 확장된 위상공간의 차원은 2n+1 이다.
1838년 리우빌은 위상공간의 크기가 항상 보존된다는 사실을 증명했다. 1985년 그로모프는 구형의 위상공간을 변형시켜도 위상공간의 그림자의 크기엔 최소값이 있다는 Non-squeezing theorem을 증명했다. 이는 공액변수들 사이의 관계를 보여준다는 점에서 하이젠베르크의 불확정성의 원리와 관련지을 수 있으며 고전역학과 양자역학의 연결을 보여주는 예시가 된다.
1917년 아인슈타인은 위상공간 다양체의 연속변형성이라는 위상수학적 불변량을 이용하여 작용(action)이 양자화됨을 보였다. 1958년 켈러가 현대수학적인 언어로 정리한 이러한 양자화 개념은 아인슈타인-브릴루앙-켈러 양자화라 불린다. 이는 p와 q의 관계에 엄격한 제약을 두는 보어-조머펠트 양자화의 한계를 극복한 개념이며 고전역학과 양자역학과의 연결을 보여주는 또다른 예시이다.
양자역학은 위상공간의 부피를 무차원 숫자로 셀 수 있음을 보여준다. 이를 통해 고전 통계역학의 핵심인 마이크로캐노니컬 앙상블이 자연스럽게 정의된다.
3. 양자역학의 위상공간 정식화[편집]
일반적으로 양자역학은 복소 힐베르트 공간 상에서 전개되지만, 위상공간을 이용해서 표현하는 방식도 있다. 유진 위그너는 양자역학을 위상공간에서 전개하는 새로운 수학적 표현을 찾아냈다. 위상공간 정식화(phase space formulation)는 위그너 함수를 통해 잘 표현된다. 복소수인 파동함수와는 다르게 위그너 함수는 실수값을 가진다. 음의 확률이 가능하기 때문에 준확률분포(quasi-probability distribution) 함수라 불리기도 한다. 위그너 함수는 다음과 같다.
4. 게이지 이론의 위상 공간[편집]
양자장은 라그랑지언으로 표현되며 이를 이용하여 해밀턴 역학의 위상공간을 구성하는 것이 가능하다. 양자장론의 위상공간은 U(1)의 추가적인 자유도가 존재하기 때문에 양자장이 이루는 위상공간과 기약 위상공간(reduced phase space,restricted phase space)의 두가지 종류가 존재하며 기약 위상공간이 고전적인 위상공간에 대응된다. 양자장론의 위상공간에서 파데예프-포포프 경로적분으로 게이지를 고정([math(G(A)=0)])하면 기약위상공간을 얻을 수 있다.
양자장이 고전적인 장과 다른 점은 게이지 변환에 기반한다는 점이다. 고전적인 장은 상호작용을 기술할 수 없으며 장의 상호작용을 기술하기 위해선 장의 다발을 연산자로 취급하여 추상화한 공간이 필요하다. 이러한 장을 2차 양자화를 통해 추상화한 공간이 게이지 이론의 공간이다. 게이지 이론의 공간은 외부의 공간과 구분하기 위해서 내부공간(internal space)이라 부르기도 하고, 상태들이 이루는 공간이라는 뜻으로 상태공간(state space)이라 부르기도 한다. 양자장은 국소적인 게이지 군과 시공간을 곱해서 만들어진 공간에 위치하고 있다. 여기서 게이지 군이 이루는 공간은 물리적이지 않은 공간이기 때문에 양자장의 위상공간 M과 게이지 군 G의 몫공간 M/G 가 고전적인 위상공간이 된다.
양자전기역학에선 시공간의 각 점에 대해서 U(1) 게이지 대칭을 만족하는 상태공간을 가정한다. 이러한 공간이 실존하는가를 따지기도 하는데 이는 답이 정해지지 않은 철학적인 질문이라 볼 수 있다. 위상공간이 실제로 존재한다고 보는 사람도 있고 수학적 도구일 뿐이라 보는 사람도 있다.
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