유계

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1. 개요[편집]

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有界 / bounded

실수 전체의 집합 [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(X)]에 대하여, 집합 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수와 작거나 같은 수가 모두 존재할 때 집합 [math(X)]는 유계이다. 유계인 집합의 대표적인 예시로 구간이 있다. 예를 들어, 열린 구간 [math(\left(0, 1\right))]에 대하여 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 모든 수보다 큰 수인 [math(2)], [math(0)]과 [math(1)]사이의 모든 수보다 작은 수인 [math(-1)]가 각각 존재하므로 열린구간 [math(\left(0, 1\right))]는 유계인 집합이다.

2. 상세[편집]

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2.1. 실수집합에서[편집]

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2.1.1. 상계와 하계[편집]

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실수 집합 [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(X)]에 대해서 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 [math(X)]의 상계(上界, upper bound)라 한다. 비슷하게 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 [math(X)]의 하계(下界, lower bound)라 한다. 예를 들어 열린 구간 [math(\left(0, 1\right))]의 상계는 구간 [math(\left[1, \infty\right))]의 임의의 원소가 가능하다. 마찬가지로 구간 [math(\left(-\infty, 0\right])]의 모든 원소는 구간 [math(\left(0, 1\right))]의 하계가 될 수 있다.

[math(X)]의 원소이면서 [math(X)]의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를들어 1은 닫힌 구간 [math(\left[0, 1\right])]의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.

2.1.2. 상한과 하한[편집]

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상한(上限, supremum)과 하한(下限, infimum)은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 [math(X)]의 상한은 [math(X)]의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 [math(X)]의 모든 원소보다 작거나 같은 수들 중 가장 큰 수를 말한다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 유한 열린구간에도 존재하며 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 [math(\left(0, 1\right))]는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 [math(\left[1, \infty\right))]의 최솟값과 하계 [math(\left(-\infty, 0\right])] 최댓값은 각각 [math(1)]과 [math(0)]으로 존재한다.

집합 [math(X)]의 상한, 하한을 각각 [math(\sup X)], [math(\inf X)]로 표기한다.

2.1.3. 유계[편집]

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집합 [math(X)]가 상계(하계)를 가지면 [math(X)]는 위로(아래로) 유계(bounded above(below))라고 부르며, [math(X)]가 동시에 위와 아래로 유계인 경우 [math(X)]를 유계인 집합이라고 한다. 유계 개념은 함수, 수열[1], 함수열 등에도 적용할 수 있는데, 이를 이용해 실수의 완비성의 한 형식을 나타낼 수 있다.[2] 또한 원점을 중심으로 한 Ball을 이용하여 [math(\mathbb{R}^n)]으로 유계 개념을 확장할 수 있다. 닫힌 구간 내에서 유계인 함수는 균등 연속성, 리만적분 가능성 등의 여러 좋은 성질들을 갖는다.

2.2. 거리공간에서[편집]

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해석학에서의 유계 개념은 위상수학에서 거리공간까지 확장 가능하다. 즉, 실수에서의 유계개념은 거리공간에서 정의된 유계 개념의 한 특수한 예이다.

2.2.1. 유계[편집]

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거리공간 [math((X, d))]에 대해 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]가 유계라 함은 [math(A\subset B_d(x, r))]을 만족시키는 점 [math(x\in X)]와 실수 [math(r>0)]이 존재함을 뜻한다. 이 때 점 [math(x)]는 반드시 집합 [math(A)]의 점일 필요가 없음에 주의하자.
동치인 명제로 [math(\forall a, b \in A \subset X)]에 대하여 실수 [math(\exist r\in \mathbb{R}^{+}\cup\{0\})]이 존재하여 [math(\sup\left(d(a,b)\right)\leq r)]이라는 명제가 있다.

3. 기타[편집]

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일상에서는 상한선, 하한선이라는 용어를 사용하는데, 근본적으로는 유계를 염두에 둔 것이라고 볼 수 있다.

대표적인 용례로 진급 상한선이 있다.

4. 관련 문서[편집]

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• 실수
• 컴팩트성
• 아르키메데스 성질
• 거리공간