유리함수

1. 개요[편집]

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有理函數 / rational function

유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 대수함수다. 상수만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 다항함수도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 분수함수라고도 한다.

여기서 [math(a_{k})], [math(b_{k})]는 상수이다.

유리함수의 분모가 0이 되는 [math(x)]값이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 잘 정의되지 않아 함수가 아니게 되기 때문.

이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

• 일반형: [math(y=\dfrac{cx+d}{ax+b})] (단, [math(a\neq 0,\;ax+b\neq 0,\;ad\neq bc)])
• 표준형: [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)] (단, [math(k\neq 0)])

분모가 0이 될 수 없으므로 [math(ax+b\neq 0)]이어야 한다. 한편, [math(k=0)]이면 [math(y=q)]라는 상수함수가 되고, [math(a=0)]이면 [math(y={(cx+d)}/{b})]라는 일차함수가 되고, [math(ad=bc)]이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가, [math(c=d=0)]인 경우 [math(y=0)]이라는 상수함수가 되는데 이는 마침 [math(ad=bc)]의 충분조건이므로 따로 기술할 필요가 없다.

2. 정의역과 치역[편집]

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2.1. 일반형[편집]

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유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우 [math(ax+b\neq 0)]이어야 하므로 정의역은

를 만족시켜야 하고,

에서

이므로 치역은 다음과 같다.

2.2. 표준형[편집]

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유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우 [math(x-p\neq 0)]이어야 하므로 정의역은

를 만족시켜야 하고, [math(k\neq 0)]이므로 치역은 다음과 같다.

3. 그래프[편집]

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의 그래프의 성질은 다음과 같다.

• 한 쌍의 매끄러운 곡선[1]
  실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형 [math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1)] 로 변형할 수 있다. 유리함수를 45도 회전 변환하면 쌍곡선의 표준형이 나온다.
  으로 그려진다. 유리함수는 대한민국 수학 교과 과정에서 처음으로 나오는 이차곡선이다. 이차함수와 원의 방정식은 유리함수 다음에 배우도록 돼 있기 때문.[2]
  중학교 수학 1학년 정비례와 반비례(쌍곡선) > 중학교 수학 3학년 이차함수(포물선) > 고등학교 수학 1학년 원의 방정식(원) 순이다. 타원은 타원 적분이라는 특수함수가 등장하므로 대학 수학에 가서야 다룬다.
  • [math(k>0)]이면 우상단과 좌하단에 그려진다.
  • [math(k<0)]이면 좌상단과 우하단에 그려진다.
• 직선 [math(x=p)], [math(y=q)]와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 점근선이라 한다.
  • [math(|k|)]가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다.
• 점 [math((p,\,q))]에 대하여 대칭이다.
• 직선 [math(y=(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.
• 직선 [math(y=-(x-p)+q)]에 대하여 대칭이다.

3.1. 대칭이동·평행이동[편집]

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의 그래프는 [math(y={k}/{x})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y={k}/{x})]를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다.

• [math(y=-\dfrac{k}{x})]
  • [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축([math(y)]축)에 대하여 대칭이동
  • 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]
  • 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )]

• [math(y=\dfrac{k}{x-p}+q)]
  • [math(y=\dfrac{k}{x})]를 [math(x)]축 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동
  • 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} )]
  • 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \neq q,\,y \in \mathbb{R} \} )]

3.1.1. 역함수[편집]

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유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉,


유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, 점근선의 교점이 직선 [math(\boldsymbol{y=x})]에 대칭이라는 관계가 있다. 다시 말해서 원래 함수의 점근선이 [math(x=p)] 및 [math(y=q)]이면, 역함수의 점근선은 [math(x=q)] 및 [math(y=p)]이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선 [math(y=x)]에 대하여 대칭이 된다.

단순 형태인 y=a/x(a는 실수인 상수)의 형태의 역함수를 구해보면, 역시 y=a/x임을 알 수 있다. 즉 기본 형태의 유리함수는 원함수(자기 자신)과 역함수가 일치한다.

3.1.1.1. 점근선[편집]

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의 점근선 [math(x=p)]와 [math(y=q)]의 보다 자세한 성질은 다음과 같다.

• 두 점근선의 교점 [math((p,\,q))]에 대하여
  • [math((p,\,q))]를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, [math(k)]와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. [math(k>0)]이면 -1이고 [math(k<0)]이면 1이다.
  • 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다.

위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선 [math(l: y=(x-p)+q)]에 대하여

두 그래프의 교점의 [math(x)]좌표 [math(x=\sqrt k+p)]를 도함수 문단을 참고하여

에 대입하면

따라서 [math(k>0)]이면 [math(f(x))]와 [math(l)]의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로, [math(k<0)]이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다.

3.1.2. 극한[편집]

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의 극한은 점근선과 관련이 있다.

• 일반형
  • [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{c}{a})]
  • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=\dfrac{c}{a})]에 한없이 가까워짐
• 표준형
  • [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{k}{x-p}+q=q)]
  • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(y=q)]에 한없이 가까워짐

한편, 역함수 [math(f^{-1}(x))]의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 일반형
  • [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-by+d}{ay-c}=-\dfrac{b}{a})]
  • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=-\dfrac{b}{a})]에 한없이 가까워짐
• 표준형
  • [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{k}{y-q}+p=p)]
  • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 점근선 [math(x=p)]에 한없이 가까워짐

4. 부분분수분해[편집]

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유리함수는 다음을 만족하는 유리함수 [math( p(x)/\{q(x)\}^{n})]들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다.

• [math( q(x))]는 일차함수이거나, 기약[3]
  인수분해가 되지 않는
  이차함수이다.
• [math( p(x))]의 차수는 [math( q(x))]의 차수보다 작다.

  자세한 내용은 부분분수분해 문서를 참고하십시오.

5. 오개념: 연속성[편집]

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고등학생들의 연속함수에 대한 오개념을 다룬 논문에 따르면, 학문으로서 수학에서 공식적으로 정의하는 바에 따르면 [math(y=1/x)]와 같이 분모가 [math(0)]이 되는 [math(x)]의 값[4]이 있는 함수는 연속함수이며, 단 그 [math(x)]값에 대해서는 연속이나 불연속을 생각하지 않는다고 하고 있지만, 고등학교 교과서의 경우 교과서마다 연속함수의 정의가 달라 큰 혼란을 준다고 밝히고 있다. 결론부터 말하면 적어도 대한민국 고등학교 교육과정에서는 불연속이다.



위는 고등학교 수II 교과서(지학사)에 나와 있는 연속 및 불연속의 정의로, 연속의 정의는 학문으로서 수학(이하 전공수학)에서 연속의 정의와 배치되지 않지만, 불연속의 경우 전공수학에서 정의하는 바와 불일치한다. 전공수학에서는 함수 [math(f(x))]의 연속성은 가 [math(x=a)]에서 정의되지 않으면 연속인지 불연속인지를 따지지 않는다 (즉, 연속도 아니고, 불연속도 아니다.). 반면, 위 정의에 따르면 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 정의되지 않으면 불연속이므로, 이 부분에서 불일치가 발생하는 것이다.

또한, 전공수학에서는 함수가 정의역의 모든 원소에서 연속이면 연속함수라고 정의하므로[5], [math(y=\frac{1}{x})]은 연속함수이다. [math(y=\frac{1}{x})]의 정의역은 [math(x \in \mathbb{C}\backslash\{0\})]이고, [math(y=\frac{1}{x})]는 정의역 상의 모든 점에서 연속이기 때문.

유리함수를 자연로그의 밑에 관한 식으로 나타내면 연속함수임이 더욱 명확히 나타남을 알 수 있다.[6][7]
문제에 "실수 전체의 집합에서 연속인 함수"와 같은 표현이 등장하는 경우가 있는데, 이 경우에는 문제가 없다. "실수 전체의 집합에서 연속인 함수"는 고등학교 수학에서나 전공수학에서나 "실수 전체의 집합에서 정의되고, 모든 실수에서 연속인 함수"를 의미하므로, 불일치가 발생하지 않기 때문.

나무위키 이전 버전에서는 다음 문제들이 마치 문제의 소지가 있는 것처럼 서술되어 있었지만, 이 예제는 전공수학의 관점에서 봐도 딱히 문제가 되진 않는다.


위 문제의 (다)는 [math(f(x)\neq0)]임을 알려주는 단서이다. 함수 [math(\frac{1}{f(x)})]이 실수 전체의 집합에서 연속이라는 것은 실수 전체의 집합에서 정의된다는 뜻이고 (이는 전공수학에서의 정의와도 어긋나지 않는다.), [math(f(x)=0)]이 실근을 가지지 않음을 의미한다.

만약 (다)가 "함수 [math(\frac{1}{f(x)})]은 연속함수이다."였으면 문제가 있었을 것이다. 함수 [math(\frac{1}{f(x)})]의 연속성은 그 함수의 정의역에서만 따지므로 [math(f(x)=0)]이 되는 점 (정의역에 속하지 않는 점)은 고려할 필요가 없고, 따라서 [math(f(x)=0)]이 실근을 가지든 말든 [math(\frac{1}{f(x)})]는 정의역의 모든 점에서 연속이기 때문. 이렇게 써있었다면 (다)는 다항함수 [math(f(x))]에 대해 아무 단서도 주지 않는 것이 된다. 고등학교 수학 과정에서는 "[math(\frac{1}{f(x)})]는 [math(f(x)=0)]인 점에서 불연속이다."라고 해버릴 수도 있는데, 이는 앞서 말했듯이 전공수학과 배치되는 내용이므로 애초에 문제를 이렇게 내지 않는 것이 바람직하다.




2019학년도 수능에서도 비슷한 문제가 출제되었는데, 마찬가지로 [math(g(x))]가 "실수 전체의 집합에서 연속"이라고 했으므로 이는 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 정의됨을 내포하고 있다. 따라서 해설의 논리 ([math(x^2 + ax + 3 \neq 0)])가 성립하는 것. 이 역시도 전공수학의 관점에서 아무런 문제가 없다.


이상을 정리하면 다음과 같다.

• 전공수학에서는 함수가 정의되지 않는 점에서는 함수의 연속 및 불연속을 따지지 않지만, 고등학교 수학에서는 불연속이라고 설명한다.
• "실수 전체의 집합에서 연속인 함수"와 같은 표현은 고등학교 수학에서나 전공수학에서나 같은 것[8]
  실수 전체의 집합에서 정의되고, 모든 실수에서 연속인 함수
  을 의미하므로, 문제가 발생할 여지가 없다.

6. 도함수[편집]

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이므로, 일반형의 경우 [math(f(x)=cx+d,\, g(x)=ax+b)]라고 하면

표준형의 경우 [math(f(x)=k,\,g(x)=x-p)]라고 하면 [math(q)]는 상수이므로



여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 일반형
  • [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0)]
  • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
• 표준형
  • [math(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(x-p)^2}=0)]
  • 그래프가 [math(x)]축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴

나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 일반형
  • [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0)]
  • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[A]
    [math(y)]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.
• 표준형
  • [math(\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(y-q)^2}=0)]
  • 그래프가 [math(y)]축 방향으로 진행하면 기울기가 [math(\infty)]로 발산[A]
    [math(y)]축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 [math(x)]축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.

7. 역도함수[편집]

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다음과 같이 조각적으로 정의된 함수를 생각해보자.
이때, [math(f)]의 도함수는 [math(f'(x)=x^{-1})]로 계산된다. 즉, 분모가 [math(0)]인 [math(x)]가 존재하는 유리함수의 경우, 부정적분이 조각적으로 정의되는 함수가 되는데, 정의역이 서로소인 두 개 이상의 열린구간의 합집합이기 때문이다.[9] 정의역을 열린구간으로 한정한 경우, 위 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.

7.1. 특수한 경우[편집]

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• [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x+a)^{n+1}}=-\dfrac{1}{n(x+a)^{n}}+C\quad (n\in\mathbb{N}))]
• [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x+a}=\ln |x+a|+C)]
• [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{|x|}= {\rm sgn}\,x \ln |x| + C)][10]
  [math({\rm sgn})]은 부호 함수이다.
• [math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = \arctan x + C)]
  • [math( \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x^2+a^2}= \frac{1}{a} \arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C)]
  • [math(\displaystyle \int \frac{x^2 -1}{x^2 +1}{\rm d}x = x - 2\arctan x + C)]
• [math(\displaystyle \int -\frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = {\rm arccot}\, x + C)]
• ]
  • [math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{\mp x^2 \pm a^2} = \begin{cases}\pm \dfrac{1}{a}{\rm arcoth}\!\left(\dfrac{x}{a}\right) +C& \quad (|x|>1)\\ \\ \pm \dfrac{1}{a}{\rm artanh}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C&\quad (|x|<1) \end{cases})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{-x^2 -1}{-x^2 +1}{\rm d}x = \begin{cases}{x - 2\,\rm arcoth}\,x +C&\quad (|x|>1)\\ x-2\,{\rm artanh}\,x+C&\quad (|x|<1) \end{cases})]
• [math( \displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}{\rm d}x=\ln |f(x)|+C)] (단, [math(f(x))]는 다항식)
• [math( A_{n}=\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}})]이면, 점화식 [math( A_{n+1}=\dfrac{1}{2na^{2}}\!\left\{\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)A_{n}\right\})]이 성립한다. (단, [math( n\in\mathbb{N})]이고, [math( a\neq 0)])

(단, [math(C)]는 적분 상수이다.)

7.2. 일반적인 경우[편집]

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주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단, [math( n\in\mathbb{N})], [math( b\neq 0)])

1. 다항함수
2. [math( \dfrac{1}{(x-a)^{n}})]
3. [math( \dfrac{x-a}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})]
4. [math( \dfrac{1}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}})]

1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서 [math( A_{n})]의 점화식을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다.

8. 정적분[편집]

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• [math(\displaystyle\int^{a}_{1}\dfrac{{\rm d}x}{x}=\ln a)]
  • [math(\displaystyle\int^{e}_{1}\dfrac{{\rm d}x}{x}=1)][11]
    [math(e)]는 자연로그의 밑이다.
• [math(\displaystyle \int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = 2\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{2})][12]
  [math(\pi)]는 원주율이다.

9. 기타[편집]

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• 중학교 수학에서 정비례와 반비례를 다루면서 처음 접하게 된다.
• 고등학교 교육과정상 수학의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 미적분에서는 몫의 미분법을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다.
• 미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[13]
  몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.
  , 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 계산 노가다가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 초등함수[14]
  가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.
  와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다.[15]
  수학적으로 모든 유리함수는 분모의 식이 대수학의 기본정리에 의해서 일차식의 곱으로 인수분해되고, 따라서 유리식의 표준 부분분수분해 성질에 의해서 부분분수분해되며, 그 때부터는 모든 항이 적분시 초등함수 형태가 되기 때문.
  따라서 울프램알파 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, 알고리즘을 이용해서 계산한다.
• 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다.
• 푸리에 변환을 하면 부호 함수를 얻을 수 있다.