자기동형수

1. 개요[편집]

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Automorphic number. 주어진 진법에서 아무리 거듭제곱하여도 끝자리가 유지되는 수를 말한다.

2. 정의[편집]

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[math(b)]진법의 [math(k)]자리 자연수 [math(n)]이 자기동형수라는 것은 임의의 자연수 [math(m)]에 대해 [math(n^m \equiv n\left(\text{mod}\,b^k\right))]가 성립함을 의미한다. 사실 [math(m=2)]일 때만 성립해도 모든 자연수에서도 같은 성질이 성립한다.

특히, 0, 1은 모든 진법에서 거듭제곱에 대한 멱등원(idempotent element)이므로 특수하게 다뤄진다.

3. 각 진법에서[편집]

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3.1. 2진법의 경우[편집]

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자명한 경우로, 거듭제곱한 횟수에 상관없이 홀수일 경우 끝자리가 반드시 1이며, 짝수일 경우 끝자리가 반드시 0이다.

3.2. 10진법의 경우[편집]

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각 자리수마다 4개의 자기동형수가 있다. [math(a_1=0,1,5,6)]에서 시작해서 [math(a_{2n} = 3(a_n)^2-2(a_n)^3)]을 반복한 뒤 잘라내면 원하는 길이의 자기동형수를 얻을 수 있다.
0→00→0000(→000)→00000000(→00000,000000,0000000)→...
1→01→0001(→001)→00000001(→00001,000001,0000001)→...
5→25→0625(→625)→12890625(→90625,890625,2890625)→...
6→76→9376(→376)→87109376(→09376,109376,7109376)→...

[math(n^2\equiv n\pmod {10^k})]인 [math(n<10^k)]을 생각하자. [math(n(n-1))]이 [math(10^k)]의 배수임을 알 수 있다. 이때, [math(n)]과 [math(n-1)]은 서로소이므로, 다음의 경우의 수가 있다
* [math(10^k|n)], 이 경우 [math(n=0)]이다.
* [math(10^k|n-1)], 이 경우 [math(n=1)]이다.
* [math(2^k|n, 5^k|n-1)], 이 경우 [math(n=2^{4\cdot5^{k-1}k}\pmod{10^k})]이다.
* [math(5^k|n,2^k|n-1)], 이 경우 [math(n=5^{2^{k-1}k}\pmod{10^k})]이다.

4. 용례[편집]

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이과 망했으면 시리즈에서 볼 수 있는 해당 현상은 76이 10진법의 두 자리 자기동형수이기 때문에 일어난다.