차원 (r20200302판)

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次元
1. 학문별 정의
2. 일상에서 말하는 차원
4. 관련 문서


1. 학문별 정의



1.1. 수학


차원
구분
0차원
1차원
2차원
3차원
n차원
위상



입체
초입체
측도
-
길이
넓이
부피
초부피
유클리드 공간
민코프스키 시공간
측도론


공간의 성질을 나타내는 수로, 보통의 경우에는 공간에서 독립적으로 움직일 수 있는 방향의 개수를 의미한다. 쉽게 생각하면 0차원은 점으로, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 입체로 간주할 수 있다.[1] 시각적으로 표현하면 직교좌표계에 몇 개의 좌표나 축이 필요한지로도 나타낼 수 있다.
일반적으로 유클리드 공간을 비롯한 벡터 공간에서는 기저(basis)의 개수를 말한다. 어찌 보면 벡터 공간 자체가 더 높은 차원의 공간을 추상적으로 생각하기 위해 만들어진 것이다. 6차원, 7차원 이런 공간도 단순히 좌표 6개, 7개의 순서쌍으로 나타나지는 공간일 뿐으로 생각할 수 있다. 물론 선형대수학을 어느 정도 공부해야 확실히 이해할 수 있는 내용이긴 하다. 곡선과 곡면 등의 더욱 일반적 도형, 즉 다양체의 경우에는, 점 부분에서 움직일 수 있는 방향 또는 필요한 좌표의 개수로 생각할 수 있다. 구면이나 클라인의 병 등의 곡면이 3차원이나 4차원에 놓여 있다고 할지라도 2차원 도형으로 간주되는 이유이다.
대개 일상생활에서는 이 정도로 충분하지만, 수학자들이 여기에 해당되지 않는 다른 종류의 공간을 생각할 때는 통상적인 차원의 정의를 제각기 다른 방식으로 일반화시킨 차원을 들고 오기도 한다. 위상수학자들의 르베그 차원, 대수기하학자들의 초월 차수(transcendence degree)나 크럴 차원(Krull dimension), 측도론에서 보는 하우스도르프 차원 등등 쓰임새에 따라 다양한 종류의 차원이 있다. 이 중 하우스도르프 차원은 정수가 아니라 0.63 이런 식으로 양의 실수값을 가질 수 있는 가장 이질적인 녀석인데, 그 정의와 쓰임새는 프랙탈 이론 항목에 소개되어 있다.

1.1.1. 역사


우리가 중,고등 학교 수학 시간에 배우는 기하학을 만든 사람인 유클리드는 0, 1, 2, 3차원에 대해 이렇게 정의했다.

입체의 단면은 면이다. 면의 단면은 선이다. 선의 단면은 점이다.

이 정의는 3->2->1->0차원으로 내려가는 차원의 정의를 사용하고 있다. 이것을 역이용해 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레[2]는 새로운 차원의 정의를 만들었다.

단면이 0차원(점)이 되는 것을 1차원(선)이라 부른다. 단면이 1차원이 되는 것을 2차원(면)이라 부른다. 단면이 2차원이 되는 것을 3차원(입체)이라 부른다. 단면이 3차원이 되는 것을 4차원(초입체)이라 부른다.

즉 0차원의 도형(점)을 1차원의 방향(선)으로 움직이면 선이 생기고 선을 2차원의 방향으로 움직이면 도형이 생기고, 면을 3차원의 방법으로 움직이면 입체가 생긴다. 따라서 3차원의 입체를 4차원의 방향으로 움직이면 4차원의 물체가 생기지 않을까?라고 생각한 것.[3] 이 방법을 사용하면 4차원 이상의 차원을 생각할 수 있고, 기하학에서 사용할 수 있다.

1.2. 이론 물리학


단위의 차원. 위의 개념에서 확장되었다고 할 수 있는데[4], 쉽게 말하면 단위. 좀 더 자세히 말하면 단위의 의미. 미터, 인치, 리(里)의 세 단위는 모두 길이의 단위로서 같은 차원이지만 킬로그램, , 미터의 세 단위는 각각 무게, 시간, 길이의 단위로서 모두 다른 차원이다.
이론 물리학에서는 차원이란 단어를 허구한 날 쓰기에 위의 수학적 차원의 정의에 익숙해져있다가, 6차원 7차원 N차원등의 단어를 들으면 정신이 해당 차원으로 날아가 버린다. 하지만 그냥 단순하게 생각해서 우리가 살고 있는 차원이라고 흔히 말하는 4차원 시공간도 온도, 습도, 등의 물리량을 정의하여 5차원 6차원 등으로 표현하는 것이 가능하다. 물론 각각의 물리량이 독립적이지 않기 때문에 실제로는 큰 의미가 없지만...
다른 차원끼리의 덧셈은 할 수 없는 것으로 정의되는데, 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않는 걸 생각하면 왜 그런지 설명이 될 것이다.
  • $$ 6\mathrm{m} + 36\mathrm{kg}\ =\ ??? $$
  • $$ 3\mathrm{m^2} + 5\mathrm{N} - 985\mathrm{hPa} = ??? $$
다만, 곱하는 경우에는 어느 한 양이 다른 양 동안 가해진 총합[5], 나누는 경우에는 어느 한 양에 대한 다른 양의 변화량[6]으로서 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니다. 오로지 그것이 물리적으로 의미를 가져야만 가치를 인정받을 수 있다. $$\mathrm{m \cdot kg^2}$$ 같은건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예. [7]
보통 가장 기본적인 차원과 단위는 m(길이), kg(질량), s(시간)이다. 이는 SI 단위 자체가 과학적으로 사용하는 표준단위이기 때문이다. 하지만 전문분야에서 사용하는 자연 단위계에서는 또 다른 이야기다.
상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상 편의를 위해서 빛의 속도가 1이 되도록 길이와 시간의 단위를 조정, E=mc²으로 에너지와 질량 사이의 단위 변환이 자주 필요하기 때문에 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 또한 화학이나 양자역학 등에선 kg이 무의미할 만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소 원자의 질량을 12로 놓은 원자단위나, 전자볼트를 사용한다.
'차원'을 가장 잘 설명하고 있는 곳. 네이버 포스트 베스트 댓글도 함께 보자. 원 안의 동전을 빼는 법을 예시로 들고 있는데 나름 알기쉽게 설명되어 있다.
SI 단위를 제외한 도량형은 차원 개념이 빈약하다.[8] 가령 입체각의 단위인 스테라디안은 정의가 넓이/넓이이므로 m2/m2라는 차원으로 생각할 수 있지만, 야드파운드법, 미국 단위계, 척관법에는 아예 대응 단위조차 없다.

2. 일상에서 말하는 차원


사고방식이나 정신 세계의 복잡한 정도를 수학에서 말하는 차원에 빗대어 표현한 것. 차원이 많아지면 측정해야 하는 것이 하나 더 늘어나게 되고, 더 다양한 구조를 띨 수 있게 되며, 하위 차원을 볼 수 있으니 꽤 적절한 비유라고 할 수 있다.
수학에서 말하는 차원대로라면 차원이 높을수록 더 많은 것에 대해 고려하고 더 깊은 생각, 더 기발한 생각을 해야겠지만, 어째서인지 차원의 숫자가 3을 넘어가면 그 사람이 얼마나 비현실적이고 황당한 생각을 하는가를 나타내게 된다. 그래서 흔히 주변을 보지 못하고 무식하게 앞만 보고 나가는 사람을 1차원적이라고 하지만, 황당한 생각을 자주 하는 사람은 4차원 정신세계를 지녔다고 한다. 4차원 캐릭터보다 더 황당하면 5차원, 그보다 더하면 6차원... 이런식으로 표현하지만, 이미 4차원도 충분히 당황스럽기 때문에 5 이상의 숫자는 잘 등장하지 않는다. 다만 4×2=8이어서 그런지, 8차원이나 그 배수 차원의 경우, 다른 차수의 차원에 비해서는 자주 언급되는 편이다.
위 같은 용례 외에도 일반인들과는 비교를 불허하는 먼치킨이 있다면 차원이 다르다는 식으로 사용되기도 한다.

3. 서브컬쳐에서


1번의 뜻보다는 시공간이 아예 다른 세계(=이차원)라는 뜻으로 쓰인다. 작게는 장르소설에 나오는 요정이 사는 세계마계 같은 곳부터 시작해서 좀 더 확장하면 평행세계와 그 변형세계까지 가고 크게는 과학법칙까지 다른 등 아예 딴살림을 차린 세계를 뜻하는 용어로 쓰인다. 여기에 대해서는 플레인 문서 참조.
그리고 우리가 사는 3차원보다 고차원[9]에서 거주하는 존재들도 있는걸로 나온다. 이런 존재들은 우리가 있는 차원의 법칙을 무시하거나, 3차원을 사는 우리들의 관점으로 마법과도 같은 일들을 간단하게 행사하는 신적인 존재들로 나온다. 가령 믹시즈피틀릭, Q(스타 트렉), 비욘더.
2차원 콤플렉스라는 것도 있는데, 2차원상의 인물과 관계된 말이다.

3.1. 마블 코믹스


포켓 디멘션 참조.

3.2. 유희왕


이차원 참조.

3.3. 네이버 웹툰 쿠베라


차원(쿠베라) 참조.

4. 관련 문서


[1] 간혹 점조차도 없는 무(無)의 공간을 -1차원으로 간주하는 경우도 있다. 또한 -1차원 도형은 Null Polytope 라고 불린다.[2] 푸앵카레 추측의 원안자[3] 따라서 4차원의 물체를 3차원의 공간으로 자르면 단면이 3차원의 물체가 된다.[4] 그래프의 축에 가로축 시간, 세로축 이동거리로 하며 축에 단위를 주는것을 생각해보자.[5] 한 단위의 다른 단위로의 적분 개념이기도 하다.[6] 나눠지는 단위의 나누는 단위로의 미분 개념이기도 하다.[7] 다만, 언젠가 의미를 가질 수 있을 가능성까지 무시하면 안된다.[8] 아예 같은 차원임에도 여러 단위가 물려 있다. 단위 간의 간격이 제멋대로인 것은 덤. 심지어 온스 같이 한 단위를 둘 이상의 차원에 돌려쓰는 경우도 있다.[9] 4,5차원 같은