하겐-푸아죄유 법칙

1. 개요[편집]

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독일의 물리학자 고틀리프 하겐과 프랑스의 물리학자 장 푸아죄유가 압력과 뉴턴 유체의 부피 유속에 관한 상관관계를 설명하기 위해 1840년에 발표한 법칙이다.

2. 정의[편집]

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원통형 계에서 뉴턴 유체의 흐름이 층류임을 가정할 때 뉴턴유체의 부피 유속 [math(Q)]는 다음과 같다.



좀더 쉬운 표현으로 쓰자면,



[math(\partial P)]는 압력 변화량, [math(η)]는 유체 점성 밀도이다.

2.1. 유도[편집]

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길이 AB, 반지름이 r인 원통을 가정하자. 원통 양끝에 적용되는 압력 차이가 [math(P \pm \frac{\partial P}{\partial x}Δx)]로 쓸수 있음을 상기하자, 계산 편의상 길이 AB를 L이라고 한다.

위치 A에서의 유체 압력은 [math(\displaystyle P_A=P+\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})],

위치 B에서의 유체 압력은 [math(\displaystyle P_B=P-\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})].

원통 내부에서의 힘의 평형은,
[math(P_{A}ΔA-P_{B}ΔA+F_{shear}=0)] 이므로,[1]

[math(\displaystyle (P+\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})ΔA-(P-\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})ΔA+τΔA’=0.)]

[math(\dfrac{\partial P}{\partial L}ΔL(πr^2)+τ(2πrΔL)=0)], [math(\displaystyle r\frac{\partial P}{\partial L} = 2τ)].

아래의 뉴턴 점성 법칙을 상기하면,

[math(\displaystyle τ=η\dfrac{du}{dr})],

[math(\displaystyle \frac{du}{dr}=\frac{r}{2η}\frac{\partial P}{\partial L})]

[math(\displaystyle \int du = \int \frac{r}{2η}\frac{\partial P}{\partial L}dr)], [math(\displaystyle u=\frac{R^{2}-r^2}{4η}\frac{\partial P}{\partial L})].

아래의 유속의 정의에 의해서,

[math(\displaystyle u= \frac{Q}{A}, Q=\int u dA)]

[math(\displaystyle Q=\int_{0}^{R} \frac{R^{2}-r^2}{4η}\frac{\partial P}{\partial L}2πrdr)].

[math(\displaystyle Q=\frac{2π}{4η}\frac{\partial P}{\partial L}\int_{0}^{R} (rR^{2}-r^3)dr)].

[math(\displaystyle Q=\frac{π}{2η}\frac{\partial P}{\partial L}\frac{r^{2}R^{2}}{4}-\frac{r^4}{4})].

[math(\displaystyle Q=\dfrac{πr^4}{8η}\dfrac{\partial P}{\partial x})]가 정의된다.