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2022 개정 교육과정/수학과/고등학교
2022 개정 교육과정의 고등학교 수학과 (과학 계열) 진로 선택 과목 <고급 미적분>에 대한 문서이다.
‘고급 미적분’은 미적분의 심화된 내용과 추론 방식을 이해하고 탐구하는 과목이다. '고급 미적분'은 미적분을 심화하여 탐구하게 함으로써 미래 사회에 새롭게 나타나게 될 여러 융합 지식 및 기술 분야의 토대가 된다.
‘고급 미적분’을 학습한 학생들은 극좌표와 극곡선, 테일러급수, 미분방정식의 개념을 이해하고 탐구함으로써 자연 및 사회 현상에서 발견한 문제를 수학적으로 모델링하는 문제해결 전략을 습득하고 수학을 실생활이나 타 교과와 연결 지어 사고할 수 있다. 또한 이를 토대로 수학에 대한 흥미를 갖고 수학의 필요성 및 유용성을 인식할 수 있다. ‘고급 미적분’은 자신의 진로와 적성을 고려하여 더욱 심화된 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있다. '고급 미적분'은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라 경제⋅경영학을 포함한 사회과학, 인문학, 예술 및 체육 분야를 학습하는 데 기초가 되며, 나아가 학생이 적성을 발견하고 진로를 설계하는 기반을 제공한다.
학생들은 ‘고급 미적분’의 학습을 통해 수학 지식을 이해하고 수학적 사고 과정에 요구되는 기능을 형성하며 수학의 가치를 인식하고 바람직한 수학적 태도를 갖추어 수학 교과 역량을 함양할 수 있다. 또한 ‘고급 미적분’을 학습하는 과정에서 협력하여 문제를 해결하고 성찰하는 경험을 통해 다른 사람에 대한 포용성을 갖춘 민주 시민이자 인간과 환경의 공존 및 지속가능한 발전을 추구하며 사회적 책임감을 가지고 합리적으로 의사 결정하는 세계 공동체의 일원으로 성장할 수 있다.
‘고급 미적분’의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 수학의 가치를 인식하며 바람직한 수학적 태도를 길러 수학적으로 추론하고 의사소통하며 다양한 현상과 연결하여 정보를 처리하고 문제를 창의적으로 해결하는 수학 교과 역량을 함양한다.
(1) 미적분 지식을 이해하고 활용하여 적극적이고 자신감 있게 여러 가지 문제를 해결한다.
(2) 미적분에 흥미와 관심을 갖고 추측과 정당화를 통해 추론한다.
(3) 미적분에서 활용되는 수학적 사고와 전략에 대해 의사소통하고 수학적 표현의 편리함을 인식한다.
(4) 미적분과 관련된 수학의 개념, 원리, 법칙 간의 연결성을 탐구하고 실생활이나 타 교과에 수학을 적용하여 수학의 유용성을 인식한다.
(5) 목적에 맞게 교구나 공학 도구를 활용하며 자료를 수집하고 처리하여 정보에 근거한 합리적 의사 결정을 한다.
2. 내용 체계 및 성취기준[편집]
- 핵심 아이디어
- 여러 가지 함수의 미적분과 적분을 확장한 이상적분은 다양한 현상을 해석하고 설명하는 데 활용된다.
- 어떤 평면도형은 직교좌표에 비해 극좌표를 사용할 때 더 쉽게 분석된다.
- 급수의 수렴과 발산을 판정하는 데 다양한 급수 판정법이 이용되며, 함수를 다항함수로 근사하는 데 테일러급수가 사용된다.
- 미분방정식으로 나타낸 수학적 모델은 사회 및 자연 현상을 해석하고 설명하는 데 유용하다.
- 지식⋅이해
- 미적분의 활용
- 극좌표와 극곡선
- 급수
- 미분방정식
- 과정⋅기능
- 수학의 성질, 공식, 규칙에 근거하여 값 또는 식을 구하기
- 미적분의 개념 간의 관계를 설명하기
- 미적분의 개념, 원리, 법칙을 활용하여 문제를 해결하기
- 적절한 공학 도구를 이용하여 미분과 적분을 탐구하기
- 직교좌표와 극좌표를 연결하기
- 그래프, 멱급수, 방향장으로 정확하게 표현하기
- 수열과 급수의 수렴 및 발산 판정하기
- 미적분의 개념, 원리, 법칙, 성질을 탐구하기
- 미분방정식을 실생활과 연결하기
- 미분방정식을 활용하여 실생활의 문제를 해결하기
- 가치⋅태도
- 적분을 이상적분으로 확장하는 것에 대한 흥미
- 극좌표를 활용한 수학적 표현에 대한 편리함 인식
- 문제해결 도구로서의 테일러급수, 미분방정식의 유용성 인식
(1) 미적분의 활용
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[12고미01-01]뉴턴의 방법을 설명하고, 이를 활용하여 방정식의 해의 근삿값을 구할 수 있다.
[12고미01-02]쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 이해하고, 이들 간의 관계를 설명할 수 있다.
[12고미01-03]쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 도함수를 구할 수 있다.
[12고미01-04]쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 부정적분을 구할 수 있다.
[12고미01-05]이상적분을 이해하고, 이를 구할 수 있다.
[12고미01-06]미분과 적분을 회전체의 부피와 겉넓이에 대한 문제에 활용하고, 그 유용성을 인식한다.
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- ■ 성취기준 해설
• [12고미01-05] 적분 개념을 이상적분 개념으로 확장하는 것에 대해 흥미를 갖게 한다.
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- ■ 성취기준 적용 시 고려사항
• ‘미적분의 활용’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘근사해, 뉴턴(의) 방법, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수, 이상적분, [math(\sinh x)], [math(\cosh x)], [math(\tanh x)], [math(\sinh ^{-1} x)], [math(\cosh ^{-1} x)], [math(\tanh ^{-1} x)], [math(\displaystyle \int_a^ \infty f(x) dx)], [math(\displaystyle \int_{- \infty}^ a f(x) dx)], [math(\displaystyle \int_{- \infty}^ \infty f(x) dx)]’를 다룬다.
• 뉴턴의 방법의 기하적 의미를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
• 회전체의 겉넓이는 그 단면인 원의 둘레를 적분하여 구할 수 없다는 점에 주의하게 한다.
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(2) 극좌표와 극곡선
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[12고미02-01]극좌표를 이해하고, 직교좌표와 극좌표의 관계를 설명할 수 있다.
[12고미02-02]극곡선의 대칭성을 이해하고, 극방정식을 그래프로 표현할 수 있다.
[12고미02-03]극곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있다.
[12고미02-04]두 극곡선의 교점과 두 극곡선이 이루는 각을 구할 수 있다.
[12고미02-05]극곡선의 길이와 극곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이에 대한 문제를 해결할 수 있다.
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- ■ 성취기준 해설
• [12고미02-01] 극좌표와 직교좌표 위의 점, 식 표현 간의 관계를 다룰 때, 두 좌표계의 연결성을 이해하게 한다.
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- ■ 성취기준 적용 시 고려사항
• ‘극좌표와 극곡선’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘극평면, 극좌표, 극방정식, 극곡선’을 다룬다.
• 극방정식의 그래프 개형을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
• 극좌표를 활용한 수학적 표현과 해석을 다룸으로써 이에 대한 편리함을 인식하게 한다.
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(3) 급수
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[12고미03-01]단조수렴정리를 활용하여 수열의 수렴과 발산을 판정할 수 있다.
[12고미03-02]여러 가지 판정법의 원리를 이해하고, 이를 활용하여 양항급수의 수렴과 발산을 판정할 수 있다.
[12고미03-03]절대수렴과 조건수렴의 뜻을 알고, 교대급수판정법을 활용하여 교대급수의 절대수렴, 조건수렴, 발산을 판정할 수 있다.
[12고미03-04]멱급수와 수렴반경을 이해하고, 이를 구할 수 있다.
[12고미03-05]멱급수의 기본 성질을 이해하고, 여러 가지 함수를 멱급수로 표현할 수 있다.
[12고미03-06]테일러다항식과 테일러급수를 탐구하고 이해한다.
[12고미03-07]테일러급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하고 그 유용성을 인식한다.
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- ■ 성취기준 해설
• [12고미03-07] 테일러급수를 활용하여 [math(\sin 20 \degree)]와 같은 수의 근삿값을 구하고, 함수의 극한을 구하는 과정을 다룰 수 있다.
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- ■ 성취기준 적용 시 고려사항
• ‘급수’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘유계, 상계, 최소상계, 단조수렴정리, 일반항판정법, 적분판정법, 조화급수, [math(p-)]급수, 비교판정법, 극한비교판정법, 비판정법, 근판정법, 절대수렴, 조건수렴, 교대급수, 교대급수판정법, 재배열급수, 멱급수, 수렴반경, 수렴구간, 테일러급수, 매클로린급수, 테일러다항식’을 다룬다.
• 함수의 그래프와 그 테일러다항식의 그래프 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
• 급수의 수렴 판정과 멱급수 및 테일러급수를 이해하는 과정에서 미적분의 유용성을 인식하게 한다.
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(4) 미분 방정식
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[12고미04-01]미분방정식의 뜻을 알고, 방향장을 이용하여 미분방정식의 해를 표현할 수 있다.
[12고미04-02]오일러의 방법을 이용하여 미분방정식의 근사해를 구할 수 있다.
[12고미04-03]특정한 형태의 미분방정식의 해를 구할 수 있다.
[12고미04-04]미분방정식을 활용하여 변화하는 상황을 포함하는 실생활 문제를 해결하고, 그 유용성을 인식한다.
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- ■ 성취기준 해설
• [12고미04-03] 변수분리형 미분방정식, 선형 미분방정식 등 간단한 형태의 미분방정식의 해를 구하는 방법을 다룬다.
• [12고미04-04] 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 미분방정식이 실생활과 연결됨을 이해하게 하고, 미분방정식의 유용성을 인식하게 한다.
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- ■ 성취기준 적용 시 고려사항
• ‘미분방정식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘미분방정식, 방향장, 오일러의 방법, 변수분리형 미분방정식, 선형 미분방정식, 적분인자’를 다룬다.
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