Entwurf 이론
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1. 개요[편집]
Entwurf 이론(Entwurf theory; 초안 이론)은 현재의 일반 상대성 이론이 완성되기 전 아인슈타인이 처음으로 미분 기하학에 기반하여 제시했던 중력 이론의 가명으로, 일반 상대성 이론의 직접적 전신이다. 당시에는 아인슈타인 이론, 아인슈타인-그로스만 이론(Einstein-Grossmann Theory) 등의 이름으로 불렸다.
2. 배경[편집]
아인슈타인은 1912년 중력이 시공간의 기하학적 성질에 따라 결정된다는 아이디어를 얻고, 프라하에서 취리히로 돌아온 후 수학자였던 친구 마르셀 그로스만의 도움을 받아 미분 기하학을 배우고 중력 이론을 완전히 재구성하였다. 둘의 합작 연구는 1913년 『일반화된 상대성 이론과 중력 이론의 초안』(Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation)이라는 이름의 논문을 통해 발표되었다. Entwurf라는 이름은 이 논문의 첫 단어를 따서 후대에 (역사)학자들이 편의상 지은 명칭인데, 대체로 "일반 상대성 이론의 초안"이라는 뜻으로 받아들이면 된다. 아인슈타인 입장에서는 일반 상대성 이론의 완성 단계에서 겪은 과도기적 논문에 불과하지만, 일반 상대성 이론과 독립하여 볼 수 있을 정도로 다른 의미가 있어서 분리하여 다루는 사학자들이 많다.
3. 내용[편집]
Entwurf 이론은 기본적으로 미분 기하학 이론을 바탕으로 한다. 따라서, 물질에 관한 이론의 기본 틀은 지금의 일반 상대성 이론과 대동소이하다. 쉽게 말해서 텐서의 좌표 변환 규칙을 일반화한 다음 일반 편미분을 공변 미분으로 바꾸고, 부피 원소(Volume element)에 [math(\sqrt{-g})]를 곱하면 된다. 그러나 아인슈타인은 중력장을 만드는 방정식, 즉 중력장 방정식과 관련된 문제로 인해 공변 범위를 제한하고, 방정식의 형태를 모조리 그에 맞추어 바꿔야 했다. 상대성 이론이 확장되기는 했으나 완전히 일반화되지는 않은 것이다. 따라서 일반 상대성 이론과 대비해 이 이론에서 눈여겨볼 내용은 아인슈타인이 왜 중력장 방정식의 공변 범위를 제한했는지에 관한 내용이다.
3.1. 구멍 논변[편집]
구멍 논변(Hole Argument)은 Entwurf 이론의 상징과도 같은 존재로, 초기 중력 이론을 연구하던 많은 물리학자, 수학자가 낚였던 부분이기도 하다. 구멍 논변은 기본적으로 방정식이 주어진 물질 분포에 대하여 유일한 해를 내놓아야 한다는 소위 인과율적 논의로부터 비롯되었다. 그 내용은 다음과 같이 아인슈타인의 논문으로부터 인용한다.
아인슈타인은 자신의 구멍 논변을 피하는 좌표계를 고민하다가, 구멍에 자유롭게 좌표를 놓을 수 없는 경직된 좌표 변환, 즉 선형 변환을 떠올린다. 아인슈타인은 중력장 방정식의 공변성을 선형 변환에 한정할 것을 선택하였다.연속체의 유한한 부분 [math(\Sigma)]를 잡아 이 안에서는 물질적 과정이 일어나지 않는다고 하자. [math(\Sigma)] 안에서의 물리적 과정은 기술에 사용되는 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(g_{\mu\nu})]가 좌표 [math(x_{\nu})]에 대한 함수로 주어졌을 때 완전히 결정된다. 이들 함수의 총체를 [math(G(x))]라 하자.
새로운 좌표계 [math(K')]을 도입하여, [math(\Sigma)] 밖에서는 [math(K)]와 일치하고, [math(\Sigma)] 내부에서는 [math(K)]와 달라지도록 하자. 이 때 [math(K')]에 대한 [math(g_{\mu\nu}\,')]는 [math(g_{\mu\nu})](와 그 도함수)와 마찬가지로 모든 곳에서 연속적이라고 가정한다. [math(g_{\mu\nu}\,')]의 총체를 [math(G'(x'))]이라 하자. [math(G'(x'))]와 [math(G(x))]는 동일한 중력장을 기술한다. 만약 [math(g_{\mu\nu}\,')]의 좌표 [math(x_{\nu}\,')]를 [math(x_{\nu})]로 대체하면, 즉 [math(G'(x))]를 형성하면 [math(G'(x))]는 마찬가지로 [math(K)]에 대한 중력장을 나타낸다. 하지만 이는 실제 중력장(즉, 원래 주어진 중력장)과 다르다.
만약, 중력장의 미분 방정식이 모든 곳에서 공변적이라고 가정하면 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]을 만족시킬 때마다 [math(K')]에 대하여 [math(G'(x'))]을 만족시키게 된다. 따라서, [math(K)]에 대하여 [math(G'(x))] 또한 성립해야 한다. 이제, 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]와 [math(G'(x))]라는 두 개의 서로 다른 해가 (정의역 [math(\Sigma)]의 경계에서 일치하더라도) 존재하게 된다. 달리 말해, 이 정의역에서 일어나는 사건들의 과정은 일반 공변적인 미분 방정식에 의해 유일하게 결정될 수 없다.
결과적으로, 중력장 내에서 벌어지는 사건들의 과정을 하나로 확정짓기 위해서는 좌표계의 범위를 한정하여 (위에서 특징지어진) 새로운 좌표 [math(K')]의 도입이 불가능하도록 해야 한다. 정의역 [math(\Sigma)] 내부의 좌표계는 임의적이도록 둘 수 없다.
아인슈타인(1914), 『일반 상대성 이론의 형식적 기초』, D. 중력장의 미분 법칙 §12. 좌표 선택 제한의 필요성에 대한 증명[1]
이후 아인슈타인은 구멍 논변을 버렸지만, 일반 상대성 이론의 인과율에 관한 논의는 이후에도 꾸준히 등장하였고 현재에도 아인슈타인 방정식의 초기값 문제를 해결하는 데에는 공간꼴 초곡면의 1변수 패밀리를 정해주는 작업이 필요하다. 다만, 이 작업은 아인슈타인의 구멍 논변 자체가 아닌 힐베르트가 도입한 구멍 논변이라 할 수 있는 에너지 원리에 가깝다.
3.1.1. 점 일치 논변(point-coincidence argument)[편집]
구멍 논변을 탈출하기 위해서, 아인슈타인은 자신이 제기했던 문제를 메워줄 다른 방법을 찾아야 했다. 그 과정에서 나온 것이 점 일치 논변인데, 이는 Entwurf 이론의 구멍논변처럼 이론 전체에 영향을 가하는 문제는 아니기 때문에 구멍 논변처럼 역사가들의 주목을 끌지는 않았다. 그러나 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 완성하는 과정에서 가장 장애가 되었던 구멍 논변을 스스로 탈출한(이 논변을 찾음으로써 구멍 논변을 버린 것은 아니었다. 그는 괴팅겐의 힐베르트와의 교류 등을 통해서 기존의 방법론이 수학적으로 틀렸음을 먼저 안 뒤 그것을 합리화하는 과정에서 이 대체 논변을 내놓은 것이었다.) 과정을 살펴보는 데에는 중요하다.
이 논변의 핵심은, 시공간 좌표의 값 자체는 물리적인 의미를 일체 담고 있지 않고 있다는 생각으로부터 나온다. 물리세계에서 벌어지는 모든 의미있는 사건은, 어떤 "두" 사건이 시공간 위의 한 점에서 일치하게 되는 상황으로 일반화할 수 있다. (무언가를 인식하기 위해서는 입자, 빛 등으로부터 정보를 받아야 하므로) 이는 한 좌표에서 [math((x^0, x^1, x^2, x^3))]이라는 4개의 실수로 표현될 수 있다. 좌표 변환을 하는 경우, 이는 [math(\bar x^0, \bar x^1, \bar x^2, \bar x^3)]으로 숫자의 표현이 달라지지만, 두 사건의 좌표는 (같은 곳에 있었으므로) 똑같이 좌표 변환을 겪게 되며, 새로운 좌표에서도 두 사건의 좌표는 일치하게 된다.
3.2. 중력장의 정의[편집]
Entwurf 이론의 최대 성과는 메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]를 중력장을 나타내는 양으로 본 것이다. 그러나 메트릭 텐서는 굳이 따지자면 중력장 자체보다는 중력 퍼텐셜에 가까운 개념으로, 일반 상대성 이론에서는 크리스토펠 기호(접속 계수)
[math(\displaystyle \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial g_{\sigma\beta}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\sigma}}\right))]
[1] A. Einstein (1914), 『Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie』, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 1030-1085.
를 중력장 성분으로 본다. 왜냐하면 크리스토펠 기호는 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d \lambda}\frac{dx^{\beta}}{d \lambda} = 0)]
을 만들기 때문이다. 이는 고전 역학의 운동 방정식에 잘 대응된다.
한편, Entwurf 이론에서는 중력장의 성분을 약간 다른 방식으로 정의한다. 먼저, 현재의 스트레스-에너지 텐서 [math(T^{\nu}_{\sigma})]에 대하여
[math(\mathfrak{T^{\nu}_{\sigma}} = T^{\nu}_{\sigma}\sqrt{-g})]
라 정의한다. [math(\sqrt{-g})]가 스칼라가 아니므로 이는 텐서가 아니지만, 여러 상황에서 유용하게 쓰이는 양이다. 이런 식으로 텐서에 [math(\sqrt{-g})]를 곱한 양을 현재는 텐서 밀도(Tensor density)라 부른다. 이 때 에너지 보존법칙
[math(\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial T^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} &= -\Gamma^{\nu}_{\nu\tau}T^{\tau}_{\sigma} + \Gamma^{\tau}_{\sigma\nu}T^{\nu}_{\tau} \\ &= -\frac{1}{2}g^{\nu\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\tau}}T^{\tau}_{\sigma} + \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}T^{\nu}_{\tau} \end{aligned})]
으로부터
[math(\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial \mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} &= \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\nu}}T^{\nu}_{\sigma} + \sqrt{-g}\frac{\partial T^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} \\ &= \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\nu}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} -\frac{1}{2}g^{\nu\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\tau}}\mathfrak{T}^{\tau}_{\sigma} + \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\tau} \\ &= \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\tau}\end{aligned})]
를 얻게 된다. Entwurf 이론에서 아인슈타인은, 이처럼 기존의 에너지 보존 법칙을 선형적으로 변화시키는 양
[math(\displaystyle \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}})]
을 중력장의 성분이라 생각하였다. 이후 아인슈타인은 이것이 Entwurf 이론이 실패한 결정적 이유라 말했는데, 사실 아인슈타인과 그로스만은 처음에 구멍 논변은 생각도 하지 않고 있었으며, 중력장 방정식에 리만 텐서를 삽입하려 하였다. 그런데 리만텐서는 기본적으로
[math(R^{\alpha}_{\,\,\sigma\mu\nu} = \partial_{\mu}\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma} - \partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma} + \Gamma^{\alpha}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma})]
이처럼 크리스토펠 기호에 대한 전개로 표현되지, 아인슈타인이 정의한 중력장에 대해서는 전개되지 않는다. 아인슈타인과 그로스만은 결국 이 때 정의했던 중력장에 대한 해를 찾는 데 실패하고, 다른 중력장 방정식의 가능성을 모색하였다. 하지만 잘 알려져 있듯이 메트릭 텐서의 미분으로 이루어진 (간단한) 텐서는 리만 텐서가 유일하다. 따라서, 아인슈타인은 방정식의 일반 공변성 자체에 오류가 있다는 결론에 이르렀고, 이 과정에서 나온 것이 구멍 논변인 것이다. 결국, 1915년 11월의 일반 상대성 이론 논문에서 아인슈타인은 중력장을 크리스토펠 기호로 다시 정의하는 데 이른다. 이러한 변화는 아인슈타인에게 있어서 자연스러운 것이었다. 이유는 다음 두 가지가 있었다.
- 크리스토펠 기호는 중력장에 대한 물체의 운동 방정식(측지선 방정식)을 직접적으로 유도한다.
- 크리스토펠 기호는 자동으로 기존의 중력장을 포함한다. Entwurf 중력장은 대칭 텐서가 곱해지는 과정에서 크리스토펠 기호가 간단화된 특수 형태인 것이다. 따라서, 크리스토펠 기호는 에너지 보존에 대한 중력장의 영향 또한 표현할 수 있다.(규칙이 조금 복잡해지지만)
이와 같은 이유로, 중력장의 가장 자연스러운 정의는 크리스토펠 기호 [math(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta})]가 제시한다. 참고로, 당시 크리스토펠 기호의 표시는 [math(\begin{Bmatrix} \alpha\beta \\ \mu \end{Bmatrix})]였다. [math(\Gamma)]는 아인슈타인이 "중력장"(Gravitational field)임을 나타내기 위해 사용한 기호로, Entwurf 이론, 일반 상대성 이론에서 정의된 중력장 모두 [math(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta})]라 표시했다. 이 기호는 위 아래를 뒤집어서 기존 기호에 비해 아인슈타인 합 규약을 일관성있게 사용할 수 있다는 장점이 있다.
3.3. 중력장 방정식[편집]
아인슈타인은 구멍논변을 이유로 들어 중력장 방정식의 일반 공변성을 포기하고 좌표 공변의 범위를 줄여서, 중력장 방정식이 선형 변환에 대한 불변성만을 만족시킨다고 가정하고[2] 선형 변환에 대해 불변하는 해밀턴 함수를 만들어 변분법에 따라 중력장 방정식을 유도하였다. 물론 선형변환만으로는 일반 상대성 원리를 만족시킬 수 없으나 아인슈타인은 이로부터 만들어진 방정식이 어디까지 공변성을 가지는지 거꾸로 확인할 수 있으리라 생각했다.
Entwurf 이론의 중력장 방정식은 다음과 같다. 그는 변분법에 의존하여 다음 방정식을 유도하였다.
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta}) = -k(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}))]
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}) = 0)]
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}) = 0)]
[2] 민코프스키가 처음 텐서를 도입할 때 좌표변환을 로렌츠변환에 국한시켜서 텐서의 표현을 한정했던 것과 비슷하다.
이 때, [math(\mathfrak{T^{\nu}_{\sigma}})]는 물질 에너지 텐서(즉 스트레스-에너지 텐서)이며, [math(\mathfrak{t^{\nu}_{\sigma}})]는 중력 에너지 텐서이다. 또한, [math(\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta})]는 크리스토펠 기호가 아니라 Entwurf 이론의 중력장이다.
두번째 식은 에너지 보존법칙을 말한다. 일반적으로 스트레스-에너지 텐서는 공변 발산이 0이지만, 이는 특수 상대성 이론에서의 에너지 보존법칙과 다르다. 여기에 중력 에너지 텐서를 더한다면 전체 에너지 텐서의 발산이 0이라는 수식을 만들 수 있다는 것이 아인슈타인의 발상이었다. 이것을 중력 스트레스-에너지 유사 텐서라 부르는데, 아인슈타인 이후 여러 물리학자들이 초기에 이 개념을 사용하였다. 고전적으로 전체 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지를 더해야 했기 때문에 이는 매우 자연스러운 생각이었다. 하지만 이는 유사 텐서 즉, 텐서가 아니다. 많은 물리학자들의 노력이 있었으나, 국소적으로 완전한 중력 텐서를 만드는 것은 불가능했다. 결국 이 개념은 현재 사용되지 않는다.
여기에서, Entwurf 이론의 중력 에너지 유사 텐서는 다음과 같이 정의된다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{t}^{\nu}_{\sigma} &= -\frac{\sqrt{-g}}{4k}\left(g^{\nu\tau}\frac{\partial g_{\mu\mu'}}{\partial x^{\sigma}}\frac{\partial g^{\mu\mu'}}{\partial x^{\tau}} - \frac{1}{2}\delta^{\nu}_{\sigma}g^{\sigma\tau}\frac{\partial g_{\mu\mu'}}{\partial x^{\sigma}}\frac{\partial g^{\mu\mu'}}{\partial x^{\tau}}\right) \\ &= \frac{\sqrt{-g}}{k}\left(g^{\nu\tau}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}\Gamma^{\mu}_{\sigma\tau} - \frac{1}{2}\delta^{\nu}_{\sigma}g^{\tau\tau'}\Gamma^{\rho}_{\mu\tau}\Gamma^{\mu}_{\rho\tau'}\right) \end{aligned})]
4. 전개[편집]
Entwurf 이론의 중력장 방정식이 완성된 후, 아인슈타인은 친구 미헬레 베소(Michele Besso)의 도움을 받아 일부 중요한 계산을 진행하였다. 그 중 가장 주목할 만한 것은 수성의 근일점 이동에 관한 것이다. 이후 논문에서 Entwurf 이론에 대한 계산값이 간접적으로 알려졌는데, 그 양은 약 백년 당 [math(18'')]로, 당시 측정값이었던 [math(45'')]와 맞지 않는 양이었다. 하지만 아인슈타인은 이것 자체에 크게 흔들리지는 않았다. 근일점 이동량은 매우 작은 것이었으며, 당시 경쟁이론이었던 노르드스트룀, 아브라함의 이론 역시 이것을 충분히 설명하지 못하는 것은 마찬가지였다.
한편, Entwurf 이론은 일반 상대성 이론보다 수학적으로 매우 복잡하다. 선형 변환에 제한된 공변성을 만들기 위해 그는 매우 복잡한 논의와 수식을 할애해야 했다. 아인슈타인은 이 부분을 완성하기 위해 엄청난 공을 들였으나, 사실 그 토대는 굉장히 취약하였고 결국 수학자들의 비판을 피하지 못했다. 레비치비타, 힐베르트가 그 중 가장 주목되는 인물이다. 아인슈타인은 이들의 공격을 방어하려 애썼으나, 다양한 이유로 그 역시 이론에 대한 확신에 금이 가기 시작했고, 결국 1915년 10월에 이르러 중력장 방정식을 완전히 포기한다. 그가 중력장 방정식을 포기한 이유를 종합하자면 다음과 같다.
- 아인슈타인이 제시한 중력장을 유도하는 해밀토니언을 특정하는 조건은, 본래 선형 변환에'만' 공변인 스칼라에만 적용되는 조건을 의도하였으나 특정 스칼라가 선형변환에 대해 불변임을 나타내는 항등식에 불과함이 밝혀졌다. 다시 말해, 일반 공변인 어떤 스칼라도 아인슈타인의 조건을 만족시키므로 라그랑지언을 특정하는 것이 불가능하다. 이는 근본적으로 Entwurf 이론의 중력장 방정식이 유도된 해밀토니언의 근거가 붕괴되면서 방정식 자체가 붕 떠버렸음을 의미한다.
- 선형변환에 대한 공변성 제한은 결과적으로 아인슈타인에게 있어서 매우 불만족스러운 것이었다. 그는 자신의 중력 이론이 일반 상대성 원리를 만족시켜야 한다고 생각했는데, 자신이 만든 중력장 방정식은 등속 원운동 좌표계를 허용하지 않았다. 아인슈타인이 미분 기하학을 도입하는 근거가 되어주었던 등속 원운동 좌표계(회전하는 원판)가 허용되지 않는다는 것은 앞뒤가 맞지 않았다.
- 수성의 근일점 이동을 충분히 설명하지 못한 것 또한, 결국 앞의 두 근거가 맞물려 아인슈타인이 중력장 방정식을 포기한 이유가 되어주었다.
2년의 노력이 거의 허사로 돌아간 아인슈타인에게는 상당히 절망스러운 상황이었으나, 사실 그에게는 퇴로가 있었다. 연구 초기에 중력장의 잘못된 정의로 포기한 일반 공변성, 그리고 중력장 방정식이 바로 그것이다. 1915년 11월 프로이센 과학 아카데미에서의 정기 커뮤니케이션에서 아인슈타인은 그 때의 중력 이론을 다듬어 세상에 공개하게 되는데, 이것이 바로 일반 상대성 이론이다.
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