SIR 모형

1. 개요[편집]

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전염병의 확산 추이를 시뮬레이션하기 위해 고안된 수학적 모델이다. 한 집단의 개체들을 S, I, R 3개의 그룹으로 나누어 그룹간 개체들의 이동량을 시뮬레이션하여 전염병의 확산 추이를 살펴보기 때문에 이런 이름이 붙었으며, 여기서 S는 Susceptible(감염 대상군), I는 Infectious(감염군), R은 Recovered(회복군)를 의미한다.

2. 상세[편집]

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일반적으로, 대상이 되는 집단의 개체 수를 [math(N)]으로 보며, 독립변수는 당연하게도 시간 [math(t)]이다. 즉, 각각의 종속 변수가 시간에 따른 함수 [math(S(t))], [math(I(t))], [math(R(t))]로 나타내어지며, 이들의 합은 [math(N)]인 것. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

[math(S(t)+I(t)+R(t) = N)]

직관적으로 생각하기에는 이렇게 인구 수로 변수 설정을 하고 모델링에 들어가는 것이 자연스럽지만, 이후에 이어질 계산에 있어서 인구 수보다는 인구 비례를 쓰는 것이 더 간단한 경우가 많기 때문에 SIR 모델에선 인구 비례를 사용하는 경우도 많다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{cases} s(t) = \frac{S(t)}{N} \\ i(t) = \frac{I(t)}{N} \\ r(t) = \frac{R(t)}{N} \\ s+i+r=1 \end{cases})]

SIR 모형은 다음과 같은 가정에 기반한다.

1. 출생과 이민을 무시한다. 즉, S 그룹에는 아무도 추가되지 않으며, 이 숫자가 변하는 유일한 방법은 I로 옮겨가는 것, 즉, 감염되는 것이다.
2. [math(S(t))]의 변화율은 감염자와 감염대상자 사이의 접촉량에 따라 달라진다. 예컨대 감염자와 감염대상의 평균 접촉시간이 3시간이면, 감염률은 1/3이다.
3. 감염자들은 감염 기간에 따라 고정된 부분만큼 회복된다. 예컨대 감염기간이 4일이면, 매일 현재 감염인구의 25%가 회복되는 것으로 본다.