최근 변경문서 보기수정 내역 각 (버전 비교) [include(틀:다른 뜻1, other1=수학에서 다루는 각 외의 뜻, rd1=각(동음이의어))] [include(틀:평면기하학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[角]] / angle }}} 각은 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이를 뜻하는 한자어다. '각지다', '[[사각지대]]'(死角地帶), '[[사각턱]]' 등의 예가 있다. [[수학]]에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다. 순우리말은 [[모]]. 초등학교 3ㆍ4학년 때 배우며, 중1 때도 나온다. == 정의 == [[수학]]적으로는 [[반직선]]과 반직선이 맞붙었을 때 [[꼭짓점]] 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다. 기호는 [[°]]을 쓴다. 보통 [[기하학]]적으로 다루는 각은 [[60진법|육십분법]][*A [math(1)]회전을 [math(360)]등분하고 [math(\degree)](도) 단위를 이용하여 [math(\dfrac1{360})]회전을 [math(1\degree)]로 정의하는 것.]을 기준으로 [math(0\degree \sim 360\degree)]까지이며, [math(360\degree)]가 넘어가면[* 원이 [[콤팩트성|옹골집합]]이므로.] 다시 [math(0\degree)]부터 세어나간다고 보면 된다. === 고등학교 과정에서 === >고정되어 있는 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]와 같은 위치에 있던 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 점 [math(\mathrm O)]를 중심으로 회전하게 되면 각 [math(\angle\mathrm{POX})]가 생성되는데, 여기서 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 시초선, [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 동경이라 한다. 이때 동경 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 시초선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다. 이런 [[정의]]를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는 [[콤팩트성|각의 범위가 한정되어있기 때문이다]]. 그래서 위와 같이 [[해석적 연속|'''회전량'''이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며]], 이 정의에 따르면 음의 각과 [math(360\degree)]를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히 [[삼각함수]]에서 음의 각이나 [math(360\degree)]를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 [math(30\degree)], [math(390\degree)], [math(-330\degree)] 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||[math(0\degree\le\theta_0\le360\degree)]인 각 [math(\theta_0)]와 정수 [math(n)]에 대하여[br][math(\theta=360\degree\times n+\theta_0)] || === 대학 과정에서 === 내적을 먼저 정의하고, 그로부터 각도를 정의하게 된다. ==== [anchor(각변위)]각 변위 ==== [include(틀:문서 가져옴, title=각속도, version=131)] 본 문단에서는 3차원 공간 좌표계로 일반화한 각 변위에 대하여 벡터로 다룰 수 있는지의 여부를 논할 것이다. 어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math({\bf\hat n}=a{\bf\hat x}+b{\bf\hat y}+c{\bf\hat z})]를 고려해보자. [[파일:namu_각속도_1111.png|width=180&align=center]] 이때, 위 그림과 같이 [math(\bf\hat n)]을 축으로 [math(\theta)](단위는 [[라디안|[math(\rm rad)]]]. 단 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})])만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\bf\hat n)]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다. 초기 벡터 [math(\bf r)]이 나중 벡터 [math(\bf r')]으로 변했다고 할 때, 이는 사실상 [math(\bf\hat n)]을 법선 벡터로 갖는 평면의 성분만 [math(\theta)]만큼 회전한 것이므로 다음과 같은 방법을 통해 [math(\bf r')]을 구할 수 있다. [math(\bf r)]과 [math(\bf r')]은 각각 [math(\bf\hat n)]에 나란한 성분 [math(\bf r_\parallel)]과 [math(\bf\hat n)]에 수직한 성분 [math(\bf r_\perp)], [math(\bf r'_\perp)]의 합, 즉 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\bf r &= \bf r_\parallel + r_\perp \\ \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp\end{aligned})] || 이다. 이때, [math({\bf r_\parallel} = {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]이므로 [math({\bf r_\perp} = {\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]으로 나타낼 수 있고, 필요한 것은 [math(\bf r_\perp)]에 대하여 회전 변환을 적용하여 [math(\bf r'_\perp)]로 만드는 것 뿐이다. [math(\bf r_\perp)]에 [math(\bf\hat n)]을 앞쪽에 크로스곱으로 곱하면 [math(\bf r'_\perp)]의 [math(\sin\underline\theta)] 방향의 벡터가 얻어지는데 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r_\perp &= \bf\hat n\bm\times\{r-(r\bm\cdot\hat n)\hat n\} \\ &= \bf\hat n\bm\times r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\bm\times\hat n \\ &= \bf\hat n\bm\times r\end{aligned})] || 로 간단하게 나타낼 수 있고 그 크기는 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| &= |{\bf\hat n}||{\bf r_\perp}|\sin\frac\pi2 \\ &= |{\bf r_\perp}|\end{aligned})] || 로서 [math(\bf r_\perp)]의 크기와 같다. [math(\bf r'_\perp)]를 성분별로 분해해서 나타내보면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\bf r'_\perp} = |{\bf r'_\perp}|\cos\underline\theta\dfrac{\bf r_\perp}{|{\bf r_\perp}|} + |{\bf r'_\perp}|\sin\underline\theta\dfrac{\bf\hat n\bm\times r_\perp}{|{\bf\hat n\bm\times r_\perp}|})] || 인데 [math(|{\bf r'_\perp}| = |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| = |{\bf r_\perp}|)]이므로 약분되어 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r'_\perp &= \bf r_\perp \cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf\{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \end{aligned})] || 따라서 [math(\bf r')]은 다음과 같이 '''로드리게스 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)'''으로 표현할 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp \\ &= \bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n + \{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf(\cos\underline\theta)r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)(r\bm\cdot\hat n)\hat n + (\sin\underline\theta)\hat n\times r\end{aligned})] || 크로스곱의 삼중곱 공식 [math({\bf a\bm\times(b\bm\times c)} = {\bf(a\bm\cdot c)b} - {\bf(a\bm\cdot b)c})]를 적용하면 [math({\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n} = {\bf-\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r}))]이므로 다음과 같이 크로스곱만으로 나타낼 수도 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\bf r' = r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r)] || 한편, 위의 벡터 연산은 [math({\bf r} = r_x{\bf\hat x} + r_y{\bf\hat y} + r_z{\bf\hat z})]이라 놓으면 다음과 같이 행렬을 이용해서도 나타낼 수 있는데 우선 크로스곱의 경우 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r &= \begin{vmatrix} \bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ a & b & c \\ r_x & r_y & r_z \end{vmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}br_z-cr_y \\ cr_x-ar_z \\ ar_y-br_x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix}\end{aligned})] || 이므로 [math(K({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix})]이라 놓으면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}{\bf r}\end{aligned})] || 이고, [math(|{\bf\hat n}|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 1)]임을 참고하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}K^2({\bf\hat n}) &= \begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a^2-1 & ab & ac \\ ab & b^2-1 & bc \\ ac & bc & c^2-1 \end{pmatrix} \end{aligned})] || 이므로 [math(I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라 놓으면 다음과 같이 벡터의 원소로 나타낸 회전 행렬을 얻을 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta) = (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -c\sin\underline\theta & b\sin\underline\theta \\ c\sin\underline\theta & \cos\underline\theta & -a\sin\underline\theta \\ -b\sin\underline\theta & a\sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix})] || 여담으로 [math(K^3({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{pmatrix} = -K({\bf\hat n}))]이다. [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라는 표기에서 알 수 있듯이, [math(\underline\theta)]에만 의존하는 2차원 평면상에서의 회전 변환과 달리 3차원 공간에서는 회전축의 단위 벡터 [math(\bf\hat n)]에도 의존하기 때문에, 각 변위는 일반적으로 '''교환 법칙이 성립하지 않아 벡터로 취급할 수 없다.''' 즉 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) \ne {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}))] || 단 [math({\bf\hat n}_1 = {\bf\hat n}_2)]일 때, 그러니까 '''회전축이 변하지 않는다면 사실상 2차원 평면상의 회전변환과 동일하기 때문에 교환법칙이 성립해서 벡터로 취급할 수 있다.''' ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}))] || 최종적으로 회전 변환에 의한 변위 [math({\bf r'} - {\bf r} = {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n},\,\underline\theta){\bf r})]은 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' - r &= (1-\cos\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{(1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}\bf r\end{aligned})] || 로 나타낼 수 있다. 이제 무한소 회전을 고려해보자. [math({\bf r'} - {\bf r})]은 회전이 일어나는 평면에 대한 현의 벡터 [math(\Delta\bf l)]이나, 무한소 회전으로 인한 현의 미소 길이를 모두 더하면 이는 곧 호의 길이를 적분하는 과정과 동일하다. [math(\underline\theta)]에서 [math({\rm d}\underline\theta)]만큼 변한 상황을 구하기 위해 [math({\bf r'} - {\bf r})]을 [math(\underline\theta)]에 대해 전미분하고 [math(\underline\theta \to 0)] 극한을 취해서 호의 무한소 변화량만을 나타내는 [math({\rm d}{\bf l})]을 구하면[* 이는 [math(\cos\underline\theta \approx 1)], [math(\sin\underline\theta \approx \underline\theta)]로 근사하는 과정과 정확히 같다.] ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \rm d{\bf l} &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}{\rm d}(\bf r' - r) \\ &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}\{(\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\cos\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\hat n\bm\times r\} \\ &= {\rm d}\underline\theta\bf\hat n\bm\times r \\ &= K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta \end{aligned})] || 이다. 따라서 무한소 회전일 때에는 [math({\bf r'} = {\bf r} + K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta)]이므로 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta))]를 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta) = I + K({\bf\hat n}){\rm\,d}\underline\theta)]로 나타낼 수 있는데, [math({\bf\hat n}_1 \ne {\bf\hat n}_2)]인 두 회전변환의 교환법칙 여부를 따져보면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &= \{I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1}\}\{I + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2}\} \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + K({\bf\hat n}_1)K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] || 마지막 식에서 우변의 제4항은 미소 각 변위의 곱이 포함된 항이기 때문에 0으로 근사할 수 있으며 결과적으로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &\approx I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &\approx {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1})\end{aligned})] || 가 되어 회전축이 변하는 경우라도 '''벡터로 근사할 수 있게 된다!''' 좀 더 정확하게는 앞서 미소 회전을 구했던 방법과 마찬가지로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r - r} &= \{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) - I\}{\bf r} \\ &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r} \end{aligned})] || 에서 회전 변환 [math({\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}))]를 각도의 수치에 대하여 전미분하고 [math(\underline{\theta_1}\to0)], [math(\underline{\theta_2}\to0)]의 극한을 취해서 얻어진다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2})\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) - I\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left[{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} - I\right]} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\left[{\left\{(\sin\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\cos\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} + {\left\{(\sin\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\cos\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}\right]} \\ &= K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1})\right\}} \\ \therefore {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) + I \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] || 다시 [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\underline\theta{\bf\hat n\bm\times r})]로 돌아와서 식을 곱씹어보면, [math(\bf\hat n)]는 단위벡터이며 [math({\rm d}\underline\theta{\bf\hat n})]는 크기가 [math({\rm d}\underline\theta)]인 벡터라고 볼 수 있으므로 이를 [math({\rm d}\bm{\underline\theta})], 즉 '''각 변위 벡터'''로 나타내면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}})] || 로 나타낼 수 있다. ==== [[쌍곡선]]과의 관계 ==== [[복소평면]], [[오일러 공식]], [[쌍곡선 함수]]와의 연결고리를 통해 각은 [[쌍곡선]]과 두 직선이 이루는 도형의 넓이와 연결된다. == 단위 == * 아래 표에는 소숫점 이하 5자리까지 구한 근삿값을 기재하였다. * [[원주율|[math(\pi \approx 3.14159)]]]이다. || '''구분''' || '''호도법''' || '''육십분법'''[*A] || '''그레이드'''[* 원의 둘레를 400등분한 각도로 '그레이드'를 쓴다.] || || 호도법 || [math(\mathbf{1.00000\,rad})]|| [math(\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree)]|| [math(\dfrac{200^\mathrm g}\pi \fallingdotseq 63.66198^\mathrm g)]|| || 육십분법 || [math(\dfrac\pi{180}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01745\,\mathrm{rad})]|| [math(\boldsymbol{1.00000\degree})]|| [math(\dfrac{1^\mathrm g}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^\mathrm g)]|| || 그레이드 || [math(\dfrac\pi{200}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01570\,\mathrm{rad})]|| [math(0.90000\degree)]|| [math(\mathbf{1.00000^g})]|| 각의 크기를 '''각도'''(角度)라고 한다. 왜 굳이 직각이 100이 아닌 90인지 궁금할 수도 있는데, 1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다. * 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설 * 이 경우 별들은 북극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다. * [[60진법]]을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설 * 이 시스템은 후에 그리스의 과학자 [[아리스타르코스]]와 [[히파르코스]]에게 채용되어 그리스의 천문학, 수학에 널리 퍼진 것으로 추정된다. 이 밖에도 인도의 [[리그베다 경전]]에는 1회전을 360등분하는 것에 대한 구절이 나오며, 수의 특성만 보더라도 360은 1과 360을 제외하고도 무려 '''22'''개에 달하는 많은 [[약수(수학)|약수]]를 갖는다. 1~10까지의 수 중 360이 나눠떨어지지 않는 수는 [[7]]뿐이며 고대 [[나눗셈]] 계산에도 적당히 사용하기 편했던 수였음을 엿볼 수 있다. 육십분법에서 [[0과 1 사이의 수|[math(0\degree)]와 [math(1\degree)] 사이의 각]]을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다. * 시각 표기처럼 [math(')](분)과 [math('')](초)를 써서 표현하는 방법. [math(60''=1')]이고 [math(60'=1\degree)]이다. * 십진법 표기에 기반하여 오로지 [math(\degree)]만을 이용하여 나타내는 방법. 예를 들어 [math(314)]도 [math(15)]분 [math(9)]초는 [math(314\degree\,15'\,9'')][* 이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면 [[행담도 휴게소]]는 북위 [math(36\degree\,56'\,32.3'')], 동경 [math(126\degree\,48'\,30.4'')] ([math(36\degree\,56'\,32.3''\,{\rm N}~126\degree\,48'\,30.4''\,{\rm E})])에 있다. [[https://www.google.co.kr/maps/place/36%C2%B056'32.3%22N+126%C2%B048'30.4%22E/@36.9484594,126.812143,14.5z/data=!4m5!3m4!1s0x0:0x0!8m2!3d36.942317!4d126.808449|#]] ]로 나타내며 십진법 표기로 나타내면 [math(\left(314+\dfrac{15}{60}+\dfrac9{3600}\right)\degree = 314.2525\degree)]이다. 참고로 [[국제표준화기구]]는 ISO 31에서 십진법 표기를 권장하고 있다. 십진법 표기에서 소수점 아래 자리를 분초 표기로 환산하려면 60을 곱해서 정수 부분을 덜어나가는 방식을 쓰면 된다. 앞선 [math(314.2525\degree)]를 예로 [math(1\degree = 60')], [math(1' = 60'')]이므로 [math(0.2525\degree = 0.2525\times1\degree = 0.2525\times60' = 15.15')]에서 정수 부분 15가 분의 값이며 [math(0.15' = 0.15\times1' = 0.15\times60'' = 9'')]에서 초의 값이 9가 된다. 다만 위의 예는 우연히 맞아떨어지는 케이스에 속하며 순환소수로 나타나는 경우도 많이 존재한다.[* 대표적으로 [[파섹]]의 정의인데, [[연주시차]]가 [math(1'' = 0.0002 \overline{7}\degree)]이 되는 거리로 정의했었다. 2015년 이후에는 [[천문단위]]의 [math(648\,000/\pi)]배로 정의하는데, 기존 정의로는 거리를 계산하는 과정에서 [[환원 불능]](casus irreducibilis)이 되었기 때문이다.] 같은 방식으로 [math(3.14\degree)]를 분초 표기로 환산하면 [math(3.14\degree = 3\degree + 0.14\times60' = 3\degree + 8.4' = 3\degree\,8' + 0.4\times60'' = 3\degree\,8'\,24'')]가 된다. [[부채꼴]]에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 [[라디안|호도법]] 표기도 있다. 이 밖에도 직각을 [math(100)]등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드([math(^{\rm g})])[* 영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데, [[국제표준화기구|ISO]]가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.]라는 단위도 있다. 즉 [math(1^{\rm g} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}\,{\rm rad})]이다. 그레이드를 쓰면 60도나 120도와 같은 각도가 66.666..., 133.333... 등 십진법 상에서는 순환소수로 나타나게 되어서 원을 3a/b(a,b는 정수)등분 한 각을 나타내기 불편해진다. [[척관법]]에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. [[구고현의 정리]]나 유씨구고술요도해 같이 [[특수각]] 비슷한 개념은 있었던 것 같지만. 즉, '[[역삼각함수|이러이러한 비율로 변의 길이를 맞추면 이만큼의 경사(각도)를 얻을 수 있다]]' 정도로 적당히 써먹는 수준이었던 것 같다. [[도로]]나 [[철도]]에서는 [[백분율]], [[퍼밀|천분율]]로 각도([[경사도]])를 나타낸다. 각각 [[삼각비|100m, 1km의 거리당 높이의 비율]]로, 흔히 쓰이는 도로 [[단위 변환|환산]]하려면 [[역삼각함수]]를 취해야 한다. === [[차원(물리량)|차원]] === 호도법의 경우 단위[* '비에 무슨 단위가 있나?'하고 생각할 수 있지만 수학 외 분야에서는 매우 중요하다. [[퍼센트]] 역시 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율을 나타낸 물리량으로 단위가 없지만 전체가 [math(100)]이라는 것을 나타내기 위해 [math(\%)]를 단위로서 붙여준다. 이를 전문용어로는 '[[무차원량|차원이 없다]]'고 한다. 물리학에서는 [math(\rm rad)]이 진동수와 각진동수를 구분하기 위한 아주 중요한 단위로 쓰인다.]로는 [math(\rm rad)](라디안)을 쓰지만 어디까지나 '각'임을 명시하기 위한 것으로 수학 분야에서는 대부분 생략한다. 각도의 단위로 도([math(\degree)]), 라디안([math(\rm rad)]), 그레이드([math(^{\rm g})]) 등이 있지만 이들은 모두 [[퍼센트]]와 마찬가지로 [[차원(물리량)|차원]]이 없으며, 본디 각도란 '회전'(turn)을 단위로하는 계에서 '1회전'에 대한 상댓값인데 '회전'이라는 단위는 '[[셈 측도|개수]]'처럼 이산적인 물리량으로 간주하기 때문에 [[무차원량|무차원(dimensionless)]]의 물리량으로 약속한다.[* 보통 이산적인 물리량([[셈 측도]])은 독립체(entity)로서의 성질이 분명하여 별도의 도구 없이도 셀 수 있기 때문에 차원을 부여하지 않는다. 각도의 경우는 단위가 이산적일 뿐 연속량(continuous quantity)적인 특징을 지녀 별도의 도구를 이용하여 측정해야하며, 이에 따라 연속량인데 차원이 없는 독특한 성질을 지닌다. 이와는 성질이 정반대인 것이 [[몰(단위)|몰]]을 단위로 하는 물질량(amount of substance)인데, 물질량은 정의에 따르면 '입자의 개수'를 의미하므로 이산적이지만 물질의 입자가 워낙에 작아 일상적으로 쓰기에 그 수가 너무 커 연속량으로 간주하여 [math(\sf N)]의 차원을 갖는 물리량으로 약속되어있다.] 이를테면 직각, 즉 [math(\rm 90\degree = \dfrac\tau4\,rad = \dfrac\pi2\,rad = 100^g)]라는 것은 곧 '[math(\dfrac14)]회전'과 같고[* '회전'을 단위로 했을 때의 값과 [math(\tau)]를 썼을 때의 값이 일치하기 때문에 일부 물리학자들은 원주율을 나타내는 상수로 [math(\pi)]를 폐지하고 [math(\tau = 2\pi)]를 써야한다고 주장하기도 한다. [[새 원주율]] 참조.] 각도가 무차원의 물리량이라는 것을 보다 엄밀하게 보여주는 개념이 바로 [[호도법]]이며, 도와 그레이드는 호도법의 값에 각각 [math(\dfrac{180\degree}\pi)], [math(\rm \dfrac{200^g}\pi)]를 곱한 것으로 이해할 수 있다. == 이름이 붙은 각 == 각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다. || '''각 ([math(\boldsymbol\theta)])''' ||<-2> '''명칭''' || || [math(0\degree<\theta<90\degree)] ||<|3> 철각(凸角)[br]열각(劣角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각] || 예각(銳角) || || [math(\theta=90\degree)] || 직각(直角) || || [math(90\degree<\theta<180\degree)] || 둔각(鈍角) || || [math(\theta=180\degree)] ||<-2> 평각(平角) || || [math(180\degree<\theta<360\degree)] ||<-2> 요각(凹角)[br]우각(優角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각] || || [math(\theta=360\degree)] ||<-2> 주각(周角) || === [[특수각]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=특수각)] [[직각]]처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고. == [[입체각]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=입체각)] 각을 [[3차원]]으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조. == 여담 == 주로 변수로서의 각을 표시할 때는 [[그리스 문자]], 특히 그 중에서도 [[세타]]([math(\theta)])가 자주 쓰인다. 도형의 꼭짓점으로서의 각은 [[로마자]] 대문자를 사용한다. 각의 크기를 재는 도구를 [[각도기]]라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다. [[스케이트보드]], [[BMX]] 등에서 일반각의 크기를 그대로 기술명으로 쓰기도 한다. 가령 1260의 경우 [[https://youtu.be/ypccK00QOqg|공중에서 [math(1260\degree)](=3.5회전)를 도는 기술]]이다.[* 5050은 예외로, [math(5050\degree)]를 도는 기술이 아니라 바퀴축 두 개로 기물을 긁는 기술이다.] [[유치원의 하루]]에서 이하루 선생님이 앉아서 몸을 기울여 예각, 직각, 둔각을 가르쳐 주는 장면이 나와서 덧글에는 유치원때 벌써부터 각도를 배우냐며 놀라는 반응이 나왔다. == 특수한 용법 == === 군대에서 === [[파일:external/pds14.egloos.com/a0109941_498af0542b552.jpg]] --걷는 것도 직각! [[직각식사|밥 먹는 것도 직각]]! 옷주름도 직각! [[자폭|박격포 쏘는 것도, 수류탄 던지는 것도 직각!]]-- 규율과 상관의 지시에 따라 엄격하고 조정된 상황을 유지하는 걸 '각 잡는다' 라고 한다. 생활상의 다양한 잡동사니를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다. 군대가 각잡기를 중시하는 이유는 여러 설이 있지만 겉으로 보여지는 군인의 단정함과 위압감을 살리고, [[군기]]를 확립, 장비의 정돈과 사용 편리성 향상, 사고 예방 등이 있다. 위에 나온 만화처럼 이불과 옷을 직각으로 정리해두는 건 단정함을 위함이다. 넓게 보아 [[제식훈련]]의 여러 자세들도 군인의 위압감과 마음가짐을 보여주려는 각잡기다. [[직각식사]]와 직각보행은 군기 확립 의도에서 한다. 그러나 직각식사는 다 큰 성인들로 하여금 음식을 칠칠 흘리게 하여 음식을 낭비하고 식사 시간만 늘려서 실용적이지 않고 군기 잡는데도 별 도움이 안되는 [[똥군기]]의 일환이다. 다른 각잡기들도 병사의 경우 대부분 일이병 때나 시키지, 상병장이 되면 검열과 훈련 때 외에는 각 잡으라는 터치도 하지 않을만큼 느슨해진다. 계급에 따라 달라진다 = 반드시 모든 군인이 해야 한다는게 아니다는 말로, 즉 군대 내 여러 각잡기는 [[부조리]]와 [[악습]]의 요소가 적지 않다. 그렇다고 입대해서 각 잡으라는 간부에게 여기에 적혀있는 대로 "각잡기는 똥군기에서 유래된 것이 많다던데요?" 같은 소리를 하면 군생활이 매우 힘들어질 것이다. 순탄한 군생활을 위해서는 눈치껏 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 [[갈굼]]의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다. 이와 비슷한 개념은 해외 군대에서도 존재하는 모양으로, [[미군]]에서는 우리말로 '각'이 들어갈 법한 자리에 [[스퀘어|square]]라는 표현이 들어가는 경우가 많다. 예컨대, 옷이나 모포를 갠 모습이 각이 잡혀 있다면 squared away라고 하며, [[직각식사]]도 본래 [[웨스트포인트]]의 전통악습이었던 square meal을 거의 그대로 가져온 것이다.[* 단, 각잡고 부동자세로 서 있는 모습은 ramrod straight등의 단어로 따로 표현하기도 한다.] === [[각(유행어)|유행어]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=각(유행어))] 대개 [[접미사]]처럼 쓰인다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[라디안]] * [[°]] * [[경사도]] * [[철도의 구배]] [[분류:도형]][[분류:한자어]][include(틀:다른 뜻1, other1=수학에서 다루는 각 외의 뜻, rd1=각(동음이의어))] [include(틀:평면기하학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[角]] / angle }}} 각은 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이를 뜻하는 한자어다. '각지다', '[[사각지대]]'(死角地帶), '[[사각턱]]' 등의 예가 있다. [[수학]]에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다. 순우리말은 [[모]]. 초등학교 3ㆍ4학년 때 배우며, 중1 때도 나온다. == 정의 == [[수학]]적으로는 [[반직선]]과 반직선이 맞붙었을 때 [[꼭짓점]] 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다. 기호는 [[°]]을 쓴다. 보통 [[기하학]]적으로 다루는 각은 [[60진법|육십분법]][*A [math(1)]회전을 [math(360)]등분하고 [math(\degree)](도) 단위를 이용하여 [math(\dfrac1{360})]회전을 [math(1\degree)]로 정의하는 것.]을 기준으로 [math(0\degree \sim 360\degree)]까지이며, [math(360\degree)]가 넘어가면[* 원이 [[콤팩트성|옹골집합]]이므로.] 다시 [math(0\degree)]부터 세어나간다고 보면 된다. === 고등학교 과정에서 === >고정되어 있는 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]와 같은 위치에 있던 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 점 [math(\mathrm O)]를 중심으로 회전하게 되면 각 [math(\angle\mathrm{POX})]가 생성되는데, 여기서 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 시초선, [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 동경이라 한다. 이때 동경 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 시초선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다. 이런 [[정의]]를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는 [[콤팩트성|각의 범위가 한정되어있기 때문이다]]. 그래서 위와 같이 [[해석적 연속|'''회전량'''이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며]], 이 정의에 따르면 음의 각과 [math(360\degree)]를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히 [[삼각함수]]에서 음의 각이나 [math(360\degree)]를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 [math(30\degree)], [math(390\degree)], [math(-330\degree)] 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||[math(0\degree\le\theta_0\le360\degree)]인 각 [math(\theta_0)]와 정수 [math(n)]에 대하여[br][math(\theta=360\degree\times n+\theta_0)] || === 대학 과정에서 === 내적을 먼저 정의하고, 그로부터 각도를 정의하게 된다. ==== [anchor(각변위)]각 변위 ==== [include(틀:문서 가져옴, title=각속도, version=131)] 본 문단에서는 3차원 공간 좌표계로 일반화한 각 변위에 대하여 벡터로 다룰 수 있는지의 여부를 논할 것이다. 어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math({\bf\hat n}=a{\bf\hat x}+b{\bf\hat y}+c{\bf\hat z})]를 고려해보자. [[파일:namu_각속도_1111.png|width=180&align=center]] 이때, 위 그림과 같이 [math(\bf\hat n)]을 축으로 [math(\theta)](단위는 [[라디안|[math(\rm rad)]]]. 단 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})])만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\bf\hat n)]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다. 초기 벡터 [math(\bf r)]이 나중 벡터 [math(\bf r')]으로 변했다고 할 때, 이는 사실상 [math(\bf\hat n)]을 법선 벡터로 갖는 평면의 성분만 [math(\theta)]만큼 회전한 것이므로 다음과 같은 방법을 통해 [math(\bf r')]을 구할 수 있다. [math(\bf r)]과 [math(\bf r')]은 각각 [math(\bf\hat n)]에 나란한 성분 [math(\bf r_\parallel)]과 [math(\bf\hat n)]에 수직한 성분 [math(\bf r_\perp)], [math(\bf r'_\perp)]의 합, 즉 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\bf r &= \bf r_\parallel + r_\perp \\ \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp\end{aligned})] || 이다. 이때, [math({\bf r_\parallel} = {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]이므로 [math({\bf r_\perp} = {\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n})]으로 나타낼 수 있고, 필요한 것은 [math(\bf r_\perp)]에 대하여 회전 변환을 적용하여 [math(\bf r'_\perp)]로 만드는 것 뿐이다. [math(\bf r_\perp)]에 [math(\bf\hat n)]을 앞쪽에 크로스곱으로 곱하면 [math(\bf r'_\perp)]의 [math(\sin\underline\theta)] 방향의 벡터가 얻어지는데 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r_\perp &= \bf\hat n\bm\times\{r-(r\bm\cdot\hat n)\hat n\} \\ &= \bf\hat n\bm\times r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\bm\times\hat n \\ &= \bf\hat n\bm\times r\end{aligned})] || 로 간단하게 나타낼 수 있고 그 크기는 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| &= |{\bf\hat n}||{\bf r_\perp}|\sin\frac\pi2 \\ &= |{\bf r_\perp}|\end{aligned})] || 로서 [math(\bf r_\perp)]의 크기와 같다. [math(\bf r'_\perp)]를 성분별로 분해해서 나타내보면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\bf r'_\perp} = |{\bf r'_\perp}|\cos\underline\theta\dfrac{\bf r_\perp}{|{\bf r_\perp}|} + |{\bf r'_\perp}|\sin\underline\theta\dfrac{\bf\hat n\bm\times r_\perp}{|{\bf\hat n\bm\times r_\perp}|})] || 인데 [math(|{\bf r'_\perp}| = |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| = |{\bf r_\perp}|)]이므로 약분되어 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r'_\perp &= \bf r_\perp \cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf\{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \end{aligned})] || 따라서 [math(\bf r')]은 다음과 같이 '''로드리게스 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)'''으로 표현할 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp \\ &= \bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n + \{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf(\cos\underline\theta)r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)(r\bm\cdot\hat n)\hat n + (\sin\underline\theta)\hat n\times r\end{aligned})] || 크로스곱의 삼중곱 공식 [math({\bf a\bm\times(b\bm\times c)} = {\bf(a\bm\cdot c)b} - {\bf(a\bm\cdot b)c})]를 적용하면 [math({\bf r} - {\bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n} = {\bf-\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r}))]이므로 다음과 같이 크로스곱만으로 나타낼 수도 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\bf r' = r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r)] || 한편, 위의 벡터 연산은 [math({\bf r} = r_x{\bf\hat x} + r_y{\bf\hat y} + r_z{\bf\hat z})]이라 놓으면 다음과 같이 행렬을 이용해서도 나타낼 수 있는데 우선 크로스곱의 경우 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r &= \begin{vmatrix} \bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ a & b & c \\ r_x & r_y & r_z \end{vmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}br_z-cr_y \\ cr_x-ar_z \\ ar_y-br_x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix}\end{aligned})] || 이므로 [math(K({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix})]이라 놓으면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}{\bf r}\end{aligned})] || 이고, [math(|{\bf\hat n}|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 1)]임을 참고하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}K^2({\bf\hat n}) &= \begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a^2-1 & ab & ac \\ ab & b^2-1 & bc \\ ac & bc & c^2-1 \end{pmatrix} \end{aligned})] || 이므로 [math(I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라 놓으면 다음과 같이 벡터의 원소로 나타낸 회전 행렬을 얻을 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta) = (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -c\sin\underline\theta & b\sin\underline\theta \\ c\sin\underline\theta & \cos\underline\theta & -a\sin\underline\theta \\ -b\sin\underline\theta & a\sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix})] || 여담으로 [math(K^3({\bf\hat n}) = \begin{pmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{pmatrix} = -K({\bf\hat n}))]이다. [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라는 표기에서 알 수 있듯이, [math(\underline\theta)]에만 의존하는 2차원 평면상에서의 회전 변환과 달리 3차원 공간에서는 회전축의 단위 벡터 [math(\bf\hat n)]에도 의존하기 때문에, 각 변위는 일반적으로 '''교환 법칙이 성립하지 않아 벡터로 취급할 수 없다.''' 즉 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) \ne {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}))] || 단 [math({\bf\hat n}_1 = {\bf\hat n}_2)]일 때, 그러니까 '''회전축이 변하지 않는다면 사실상 2차원 평면상의 회전변환과 동일하기 때문에 교환법칙이 성립해서 벡터로 취급할 수 있다.''' ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}) = {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}))] || 최종적으로 회전 변환에 의한 변위 [math({\bf r'} - {\bf r} = {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n},\,\underline\theta){\bf r})]은 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \bf r' - r &= (1-\cos\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{(1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}\bf r\end{aligned})] || 로 나타낼 수 있다. 이제 무한소 회전을 고려해보자. [math({\bf r'} - {\bf r})]은 회전이 일어나는 평면에 대한 현의 벡터 [math(\Delta\bf l)]이나, 무한소 회전으로 인한 현의 미소 길이를 모두 더하면 이는 곧 호의 길이를 적분하는 과정과 동일하다. [math(\underline\theta)]에서 [math({\rm d}\underline\theta)]만큼 변한 상황을 구하기 위해 [math({\bf r'} - {\bf r})]을 [math(\underline\theta)]에 대해 전미분하고 [math(\underline\theta \to 0)] 극한을 취해서 호의 무한소 변화량만을 나타내는 [math({\rm d}{\bf l})]을 구하면[* 이는 [math(\cos\underline\theta \approx 1)], [math(\sin\underline\theta \approx \underline\theta)]로 근사하는 과정과 정확히 같다.] ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \rm d{\bf l} &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}{\rm d}(\bf r' - r) \\ &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}\{(\sin\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\cos\underline\theta{\rm\,d}\underline\theta)\hat n\bm\times r\} \\ &= {\rm d}\underline\theta\bf\hat n\bm\times r \\ &= K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta \end{aligned})] || 이다. 따라서 무한소 회전일 때에는 [math({\bf r'} = {\bf r} + K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta)]이므로 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta))]를 [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,{\rm d}\underline\theta) = I + K({\bf\hat n}){\rm\,d}\underline\theta)]로 나타낼 수 있는데, [math({\bf\hat n}_1 \ne {\bf\hat n}_2)]인 두 회전변환의 교환법칙 여부를 따져보면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &= \{I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1}\}\{I + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2}\} \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + K({\bf\hat n}_1)K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] || 마지막 식에서 우변의 제4항은 미소 각 변위의 곱이 포함된 항이기 때문에 0으로 근사할 수 있으며 결과적으로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &\approx I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &\approx {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1})\end{aligned})] || 가 되어 회전축이 변하는 경우라도 '''벡터로 근사할 수 있게 된다!''' 좀 더 정확하게는 앞서 미소 회전을 구했던 방법과 마찬가지로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r - r} &= \{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) - I\}{\bf r} \\ &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r} \end{aligned})] || 에서 회전 변환 [math({\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}))]를 각도의 수치에 대하여 전미분하고 [math(\underline{\theta_1}\to0)], [math(\underline{\theta_2}\to0)]의 극한을 취해서 얻어진다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2})\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) - I\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left[{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} - I\right]} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\left[{\left\{(\sin\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\cos\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\sin\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}} + {\left\{(\sin\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K^2({\bf\hat n}_2) + (\cos\underline{\theta_2}{\rm\,d}\underline{\theta_2})K({\bf\hat n}_2)\right\}}{\left\{I + (1-\cos\underline{\theta_1})K^2({\bf\hat n}_1) + (\sin\underline{\theta_1})K({\bf\hat n}_1)\right\}}\right]} \\ &= K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1})\right\}} \\ \therefore {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) + I \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] || 다시 [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\underline\theta{\bf\hat n\bm\times r})]로 돌아와서 식을 곱씹어보면, [math(\bf\hat n)]는 단위벡터이며 [math({\rm d}\underline\theta{\bf\hat n})]는 크기가 [math({\rm d}\underline\theta)]인 벡터라고 볼 수 있으므로 이를 [math({\rm d}\bm{\underline\theta})], 즉 '''각 변위 벡터'''로 나타내면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}})] || 로 나타낼 수 있다. ==== [[쌍곡선]]과의 관계 ==== [[복소평면]], [[오일러 공식]], [[쌍곡선 함수]]와의 연결고리를 통해 각은 [[쌍곡선]]과 두 직선이 이루는 도형의 넓이와 연결된다. == 단위 == * 아래 표에는 소숫점 이하 5자리까지 구한 근삿값을 기재하였다. * [[원주율|[math(\pi \approx 3.14159)]]]이다. || '''구분''' || '''호도법''' || '''육십분법'''[*A] || '''그레이드'''[* 원의 둘레를 400등분한 각도로 '그레이드'를 쓴다.] || || 호도법 || [math(\mathbf{1.00000\,rad})]|| [math(\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree)]|| [math(\dfrac{200^\mathrm g}\pi \fallingdotseq 63.66198^\mathrm g)]|| || 육십분법 || [math(\dfrac\pi{180}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01745\,\mathrm{rad})]|| [math(\boldsymbol{1.00000\degree})]|| [math(\dfrac{1^\mathrm g}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^\mathrm g)]|| || 그레이드 || [math(\dfrac\pi{200}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01570\,\mathrm{rad})]|| [math(0.90000\degree)]|| [math(\mathbf{1.00000^g})]|| 각의 크기를 '''각도'''(角度)라고 한다. 왜 굳이 직각이 100이 아닌 90인지 궁금할 수도 있는데, 1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다. * 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설 * 이 경우 별들은 북극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다. * [[60진법]]을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설 * 이 시스템은 후에 그리스의 과학자 [[아리스타르코스]]와 [[히파르코스]]에게 채용되어 그리스의 천문학, 수학에 널리 퍼진 것으로 추정된다. 이 밖에도 인도의 [[리그베다 경전]]에는 1회전을 360등분하는 것에 대한 구절이 나오며, 수의 특성만 보더라도 360은 1과 360을 제외하고도 무려 '''22'''개에 달하는 많은 [[약수(수학)|약수]]를 갖는다. 1~10까지의 수 중 360이 나눠떨어지지 않는 수는 [[7]]뿐이며 고대 [[나눗셈]] 계산에도 적당히 사용하기 편했던 수였음을 엿볼 수 있다. 육십분법에서 [[0과 1 사이의 수|[math(0\degree)]와 [math(1\degree)] 사이의 각]]을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다. * 시각 표기처럼 [math(')](분)과 [math('')](초)를 써서 표현하는 방법. [math(60''=1')]이고 [math(60'=1\degree)]이다. * 십진법 표기에 기반하여 오로지 [math(\degree)]만을 이용하여 나타내는 방법. 예를 들어 [math(314)]도 [math(15)]분 [math(9)]초는 [math(314\degree\,15'\,9'')][* 이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면 [[행담도 휴게소]]는 북위 [math(36\degree\,56'\,32.3'')], 동경 [math(126\degree\,48'\,30.4'')] ([math(36\degree\,56'\,32.3''\,{\rm N}~126\degree\,48'\,30.4''\,{\rm E})])에 있다. [[https://www.google.co.kr/maps/place/36%C2%B056'32.3%22N+126%C2%B048'30.4%22E/@36.9484594,126.812143,14.5z/data=!4m5!3m4!1s0x0:0x0!8m2!3d36.942317!4d126.808449|#]] ]로 나타내며 십진법 표기로 나타내면 [math(\left(314+\dfrac{15}{60}+\dfrac9{3600}\right)\degree = 314.2525\degree)]이다. 참고로 [[국제표준화기구]]는 ISO 31에서 십진법 표기를 권장하고 있다. 십진법 표기에서 소수점 아래 자리를 분초 표기로 환산하려면 60을 곱해서 정수 부분을 덜어나가는 방식을 쓰면 된다. 앞선 [math(314.2525\degree)]를 예로 [math(1\degree = 60')], [math(1' = 60'')]이므로 [math(0.2525\degree = 0.2525\times1\degree = 0.2525\times60' = 15.15')]에서 정수 부분 15가 분의 값이며 [math(0.15' = 0.15\times1' = 0.15\times60'' = 9'')]에서 초의 값이 9가 된다. 다만 위의 예는 우연히 맞아떨어지는 케이스에 속하며 순환소수로 나타나는 경우도 많이 존재한다.[* 대표적으로 [[파섹]]의 정의인데, [[연주시차]]가 [math(1'' = 0.0002 \overline{7}\degree)]이 되는 거리로 정의했었다. 2015년 이후에는 [[천문단위]]의 [math(648\,000/\pi)]배로 정의하는데, 기존 정의로는 거리를 계산하는 과정에서 [[환원 불능]](casus irreducibilis)이 되었기 때문이다.] 같은 방식으로 [math(3.14\degree)]를 분초 표기로 환산하면 [math(3.14\degree = 3\degree + 0.14\times60' = 3\degree + 8.4' = 3\degree\,8' + 0.4\times60'' = 3\degree\,8'\,24'')]가 된다. [[부채꼴]]에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 [[라디안|호도법]] 표기도 있다. 이 밖에도 직각을 [math(100)]등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드([math(^{\rm g})])[* 영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데, [[국제표준화기구|ISO]]가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.]라는 단위도 있다. 즉 [math(1^{\rm g} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}\,{\rm rad})]이다. 그레이드를 쓰면 60도나 120도와 같은 각도가 66.666..., 133.333... 등 십진법 상에서는 순환소수로 나타나게 되어서 원을 3a/b(a,b는 정수)등분 한 각을 나타내기 불편해진다. [[척관법]]에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. [[구고현의 정리]]나 유씨구고술요도해 같이 [[특수각]] 비슷한 개념은 있었던 것 같지만. 즉, '[[역삼각함수|이러이러한 비율로 변의 길이를 맞추면 이만큼의 경사(각도)를 얻을 수 있다]]' 정도로 적당히 써먹는 수준이었던 것 같다. [[도로]]나 [[철도]]에서는 [[백분율]], [[퍼밀|천분율]]로 각도([[경사도]])를 나타낸다. 각각 [[삼각비|100m, 1km의 거리당 높이의 비율]]로, 흔히 쓰이는 도로 [[단위 변환|환산]]하려면 [[역삼각함수]]를 취해야 한다. === [[차원(물리량)|차원]] === 호도법의 경우 단위[* '비에 무슨 단위가 있나?'하고 생각할 수 있지만 수학 외 분야에서는 매우 중요하다. [[퍼센트]] 역시 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율을 나타낸 물리량으로 단위가 없지만 전체가 [math(100)]이라는 것을 나타내기 위해 [math(\%)]를 단위로서 붙여준다. 이를 전문용어로는 '[[무차원량|차원이 없다]]'고 한다. 물리학에서는 [math(\rm rad)]이 진동수와 각진동수를 구분하기 위한 아주 중요한 단위로 쓰인다.]로는 [math(\rm rad)](라디안)을 쓰지만 어디까지나 '각'임을 명시하기 위한 것으로 수학 분야에서는 대부분 생략한다. 각도의 단위로 도([math(\degree)]), 라디안([math(\rm rad)]), 그레이드([math(^{\rm g})]) 등이 있지만 이들은 모두 [[퍼센트]]와 마찬가지로 [[차원(물리량)|차원]]이 없으며, 본디 각도란 '회전'(turn)을 단위로하는 계에서 '1회전'에 대한 상댓값인데 '회전'이라는 단위는 '[[셈 측도|개수]]'처럼 이산적인 물리량으로 간주하기 때문에 [[무차원량|무차원(dimensionless)]]의 물리량으로 약속한다.[* 보통 이산적인 물리량([[셈 측도]])은 독립체(entity)로서의 성질이 분명하여 별도의 도구 없이도 셀 수 있기 때문에 차원을 부여하지 않는다. 각도의 경우는 단위가 이산적일 뿐 연속량(continuous quantity)적인 특징을 지녀 별도의 도구를 이용하여 측정해야하며, 이에 따라 연속량인데 차원이 없는 독특한 성질을 지닌다. 이와는 성질이 정반대인 것이 [[몰(단위)|몰]]을 단위로 하는 물질량(amount of substance)인데, 물질량은 정의에 따르면 '입자의 개수'를 의미하므로 이산적이지만 물질의 입자가 워낙에 작아 일상적으로 쓰기에 그 수가 너무 커 연속량으로 간주하여 [math(\sf N)]의 차원을 갖는 물리량으로 약속되어있다.] 이를테면 직각, 즉 [math(\rm 90\degree = \dfrac\tau4\,rad = \dfrac\pi2\,rad = 100^g)]라는 것은 곧 '[math(\dfrac14)]회전'과 같고[* '회전'을 단위로 했을 때의 값과 [math(\tau)]를 썼을 때의 값이 일치하기 때문에 일부 물리학자들은 원주율을 나타내는 상수로 [math(\pi)]를 폐지하고 [math(\tau = 2\pi)]를 써야한다고 주장하기도 한다. [[새 원주율]] 참조.] 각도가 무차원의 물리량이라는 것을 보다 엄밀하게 보여주는 개념이 바로 [[호도법]]이며, 도와 그레이드는 호도법의 값에 각각 [math(\dfrac{180\degree}\pi)], [math(\rm \dfrac{200^g}\pi)]를 곱한 것으로 이해할 수 있다. == 이름이 붙은 각 == 각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다. || '''각 ([math(\boldsymbol\theta)])''' ||<-2> '''명칭''' || || [math(0\degree<\theta<90\degree)] ||<|3> 철각(凸角)[br]열각(劣角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각] || 예각(銳角) || || [math(\theta=90\degree)] || 직각(直角) || || [math(90\degree<\theta<180\degree)] || 둔각(鈍角) || || [math(\theta=180\degree)] ||<-2> 평각(平角) || || [math(180\degree<\theta<360\degree)] ||<-2> 요각(凹角)[br]우각(優角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각] || || [math(\theta=360\degree)] ||<-2> 주각(周角) || === [[특수각]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=특수각)] [[직각]]처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고. == [[입체각]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=입체각)] 각을 [[3차원]]으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조. == 여담 == 주로 변수로서의 각을 표시할 때는 [[그리스 문자]], 특히 그 중에서도 [[세타]]([math(\theta)])가 자주 쓰인다. 도형의 꼭짓점으로서의 각은 [[로마자]] 대문자를 사용한다. 각의 크기를 재는 도구를 [[각도기]]라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다. [[스케이트보드]], [[BMX]] 등에서 일반각의 크기를 그대로 기술명으로 쓰기도 한다. 가령 1260의 경우 [[https://youtu.be/ypccK00QOqg|공중에서 [math(1260\degree)](=3.5회전)를 도는 기술]]이다.[* 5050은 예외로, [math(5050\degree)]를 도는 기술이 아니라 바퀴축 두 개로 기물을 긁는 기술이다.] [[유치원의 하루]]에서 이하루 선생님이 앉아서 몸을 기울여 예각, 직각, 둔각을 가르쳐 주는 장면이 나와서 덧글에는 유치원때 벌써부터 각도를 배우냐며 놀라는 반응이 나왔다. == 특수한 용법 == === 군대에서 === [[파일:external/pds14.egloos.com/a0109941_498af0542b552.jpg]] --걷는 것도 직각! [[직각식사|밥 먹는 것도 직각]]! 옷주름도 직각! [[자폭|박격포 쏘는 것도, 수류탄 던지는 것도 직각!]]-- 규율과 상관의 지시에 따라 엄격하고 조정된 상황을 유지하는 걸 '각 잡는다' 라고 한다. 생활상의 다양한 잡동사니를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다. 군대가 각잡기를 중시하는 이유는 여러 설이 있지만 겉으로 보여지는 군인의 단정함과 위압감을 살리고, [[군기]]를 확립, 장비의 정돈과 사용 편리성 향상, 사고 예방 등이 있다. 위에 나온 만화처럼 이불과 옷을 직각으로 정리해두는 건 단정함을 위함이다. 넓게 보아 [[제식훈련]]의 여러 자세들도 군인의 위압감과 마음가짐을 보여주려는 각잡기다. [[직각식사]]와 직각보행은 군기 확립 의도에서 한다. 그러나 직각식사는 다 큰 성인들로 하여금 음식을 칠칠 흘리게 하여 음식을 낭비하고 식사 시간만 늘려서 실용적이지 않고 군기 잡는데도 별 도움이 안되는 [[똥군기]]의 일환이다. 다른 각잡기들도 병사의 경우 대부분 일이병 때나 시키지, 상병장이 되면 검열과 훈련 때 외에는 각 잡으라는 터치도 하지 않을만큼 느슨해진다. 계급에 따라 달라진다 = 반드시 모든 군인이 해야 한다는게 아니다는 말로, 즉 군대 내 여러 각잡기는 [[부조리]]와 [[악습]]의 요소가 적지 않다. 그렇다고 입대해서 각 잡으라는 간부에게 여기에 적혀있는 대로 "각잡기는 똥군기에서 유래된 것이 많다던데요?" 같은 소리를 하면 군생활이 매우 힘들어질 것이다. 순탄한 군생활을 위해서는 눈치껏 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 [[갈굼]]의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다. 이와 비슷한 개념은 해외 군대에서도 존재하는 모양으로, [[미군]]에서는 우리말로 '각'이 들어갈 법한 자리에 [[스퀘어|square]]라는 표현이 들어가는 경우가 많다. 예컨대, 옷이나 모포를 갠 모습이 각이 잡혀 있다면 squared away라고 하며, [[직각식사]]도 본래 [[웨스트포인트]]의 전통악습이었던 square meal을 거의 그대로 가져온 것이다.[* 단, 각잡고 부동자세로 서 있는 모습은 ramrod straight등의 단어로 따로 표현하기도 한다.] === [[각(유행어)|유행어]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=각(유행어))] 대개 [[접미사]]처럼 쓰인다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[라디안]] * [[°]] * [[경사도]] * [[철도의 구배]] [[분류:도형]][[분류:한자어]]Loading...