문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 극한 (문서 편집) [include(틀:다른 뜻)] * '몬스터 헌터 4G'의 극한 상태 - [[광룡 바이러스]] * 가정교사 히트맨 리본의 등장인물 사사가와 료헤이의 말버릇 - [[사사가와 료헤이]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[極]][[限]] / limit}}} [[수학]]에서, 어떤 양이 일정한 규칙에 따라 어떤 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 그 값. 예를 들면, [[함수#s-1.6.1|일변수 함수]] [math(f\left(x\right))]에서 극한은 다음과 같이 쓴다. ||<#fff,#000> I. [math(x)]가 한없이 [math(a)]에 가까워질 때 [math(f\left(x\right))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)].[* 추가적인 전제 조건엔 좌극한과 우극한의 개념이 선행돼야 한다. [math(\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x))](좌극한)과 [math(\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x))](우극한)이 같아야 극한값이 존재한다고 말할 수 있다. ] {{{#gray ([[2015 개정 교육과정]] 교과 [[수학Ⅱ(2015)|‘수학Ⅱ’]]에서의 정의) }}} I. [math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f (x ) } = L \overset{\mathsf{def}}{\iff} & \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ \ {\sf s.t.}\ \forall x\in D , ( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon ) \end{aligned} )] {{{#gray (자세한 내용은 [[엡실론-델타 논법]] 문서 참고.)}}} || 위에서 ‘정의 Ⅰ.’은 [[수학교육학]]적인 면에서 학생들의 직관적인 이해를 돕기 위한 편의상의 정의이다.[* 이러한 이유에서 [[미국]], [[중국]], [[일본]]은 고등학교 때 공통 과정에서 극한을 배우지 않고, 미적분에 관한 공식이나 계산법만 익힌다(대신에 다항함수 외에 초월함수도 다룬다). 선택과목 교육과정을 따른다면 극한을 배우는 과정이 따로 존재하기는 한다.] 실제 [[수학]]적인 정의는 ‘[[엡실론-델타 논법|정의 Ⅱ.]]’와 같다. 또한 ‘정의 Ⅰ.’에 부가적인 유의 사항을 일러둔다면, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L)]에서, ‘[math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))]가 [math(L)]은 아니지만 [math(L)]에 한없이 가까운 값’으로 착각하는 경우가 있으나[* '한없이 가까워진다'는 내용이 학생들로 하여금 '계속 특정 숫자 [math(a)]에 다가가는 동적인 개념'으로 오해하게 만든다. 또는 '0.000...1정도의 차이는 있지 않을까?'라는 생각을 유발시킨다.] 극한값 자체는 [math(L)]과 완전히 같다.[* 수학에서 등호는 함부로 주지 않는다. 좌변과 우변은 완벽히 같다.] [math(f\left(x\right))]의 극한값을 그렇게 '''정의'''한 것이기 때문이다. 즉, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))] 라는 식의 값[* 저 식 자체가 그냥 하나의 특정한 [[실수(수학)|실수]]이다. [math(x)]가 [math(a)]로 갈 때의 [math(f(x))]의 목푯값' 정도로 생각하면 고등과정에선 편하다.] 은 더도 덜도 아닌 정확히 [math(L)]이다. 극한값이 한없이 다가가는 것이 아니라, 극한값은 그대로 있고, 함숫값 [math(f(x))]가 고정된 극한값에 한없이 다가가는 것이다.[* 간혹 극한값을 근삿값이라고 설명하는 경우가 있는데, 이는 학생들의 이해를 돕기 위한 설명일 뿐 수학적으로 옳은 설명은 아니다. 극한값 자체는 근삿값이 아닌 정확한 값이다. 이것은 항상 성립하는 원리이다. 연속함수의 경우 함숫값과 극한값이 같기 때문에 이 원리랑 다르다고 생각할 수도 있지만, 여기서 말하는 함숫값은 "x를 극한으로 보낼 때의 함숫값"을 말하는 것이므로 연속함수의 경우에도 이 원리는 성립한다.] 그리고 모든 극한값은 그 점에의 함숫값과 항상 같지 않아도 되며, [[특이점#s-2.1|그 점에의 함숫값이 없을 수도 있다]]. 즉 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x))]와 [math(f(a))]의 값이 항상 같을 필요는 없다. [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 뿐 무조건 [math(x=a)]인 것은 아니라는 뜻이다. 만일 두 값이 같은 경우를 함수 [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이라고 한다. 예컨대 [math(\displaystyle {\lim_{x \to 2}}\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{x-2})]에서 분모와 분자를 약분할 수 있는 것도 바로 이런 정의 덕분이다. [math(x)]가 [math(a)]에 가까워지는 중에 [math(f\left(x\right)=L)]이 되는 경우가 있어도 무방하다. [[미분]]은 그래프의 두 점을 이은 직선의 기울기가 [math(\Delta y / \Delta x)]인데,[* 변화율을 의미한다. 반대로 생긴 [[라플라시안|라플라스 연산자]]와 헷갈리지 말 것.] 이때 "[math(x)]의 변화량이 한없이 작아지면 어떨까?"라는 생각으로부터 [math(\displaystyle \lim_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x})] 라고 정의하게 됐다. == 정의 == === [[엡실론-델타 논법]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=엡실론-델타 논법)] === [[수열의 극한]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=수열의 극한)] === [[초실수체|비표준 해석학]]에서의 정의 === 엡실론-델타 논법이 나온 이래, 무한소라는 존재는 별 주목을 받지 못하게 되다가, 다시 150년 후인 20세기 후반에 아브라함 로빈슨, Detlef Laugwitz 등의 수학자가 실수에서 성립하는 1차 논리 문장으로 표현 가능한 명제는 모두 그대로 성립하면서 무한소와 무한대를 포함하는 수체계인 [[초실수체|초실수]]라는 엄청난 물건을 가지고, 비표준 해석학이란 것을 만들었다. 비표준해석학에서는 엡실론-델타 논법 대신 무한소를 이용하여 해석학의 정리들을 똑같이 증명할 수 있다. 비표준 해석학에서 극한을 어떻게 정의하는지 알기 위해서는 '''확장원리'''와 '''전달원리'''에 대해 알아야 하는데, 쉽게 얘기해서 확장원리는 실함수 [math(f)]의 자연스러운 확장인 초실함수 [math(f^{*})]가 존재한다는 것이고, 전달원리란 쉽게 얘기해서, 실수에 대해 [math(f)]가 만족하는 [[술어 논리|1차 논리]]로 표현 가능한 명제는 초실수에 대해 [math(f^{*})]도 만족한다는 것이다. 예를들어, 삼각함수 [math(\sin x,\:\cos x)]에 대해, 확장원리에 따라 자연스러운 확장인 초실함수 [math(\sin^{*}x, \cos^{*}x)]가 존재해서, 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x)]에 대해 [math(-1\leq\sin^{*}x\leq1)], [math(\cos^{*2}x+\sin^{*2}x=1)] 등의 명제가 참이라는 것이다. '''표준부분원리'''란, 임의의 유한 초실수[math(a)]에 대해 [math(a={\rm st}(a)+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math({\rm st}(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다는 것이다.[* 임의의 실수에 대해 실수의 소수부분과 정수부분의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 것과 비슷한 논리이다.] 여기서, [math({\rm st}(a))]를 [math(a)]의 표준부분이라 하는데, [math(a)]에 무한히 가까운 실수이다. 이 때, 일변수 실함수 [math(f)]의 [math(x\to c)]로의 극한은 다음과 같이 정의된다.[* 물론 이 정의는 엡실론-델타 논법과 완벽히 동치이다.] > 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)][* 한 쪽 극한에 대해서 생각할 필요가 있을 때에는, '임의의 무한소' 대신 '임의의 양(음)의 무한소'에 대해로 바꾸면 된다.]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다. 비슷하게, [math(x\to\infty)]일 때와 [math(x\to-\infty)]일 때의 극한은 > 임의의 양의 무한대 [math(H)]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=-\infty)]이다. > 임의의 음의 무한대 [math(H)]에 대해 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty)]이다. 예를 들어서 [math(\sin x)]는 임의의 실수 [math(x\neq 0)]에 대해, [math(|\sin x|<|x|)]가 성립해서, 확장원리와 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x\neq 0)]에 대해 [math(|\sin^{*}x|<|x|)]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(-|\epsilon|<\sin^{*}\epsilon<|\epsilon|)]이 성립하고, [math(0={\rm st}(-|\epsilon|)\leq {\rm st}(\sin^{*}\epsilon)\leq {\rm st}(|\epsilon|)=0)] 이므로, [math(\lim\limits_{x\to 0}{\sin x}=0)]이다. [math(f)]가 대수 함수라면 더 간단한데, 예를 들어서 [math(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}})]일 때, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(f^{*}(\epsilon)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^{2}})]은 양의 무한대이므로, [math(\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{1}{x^{2}}=\infty)]이다. [math(f)]가 디리클레 함수라면 어떨까. 즉, [math(x\in \mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=1)]이고, [math(x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=0)]일 때, 유리수 [math(r)]로의 극한이 발산한다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. > 확장원리와 전달원리에 의해 [math(x)]가 초유리수이면 [math(f^{*}(x)=1)], [math(x)]가 초무리수이면 [math( f^{*}(x)=0)]이다. 자연수 [math(n)]이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해, [math(r[math(a)]가 [math(X)]의 극한점들의 집합 [math(\Omega)]의 원소이고 [math(Y)]는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)[* 하우스도르프 공간이란 어떤 위상이 주어졌을 때, 이 위상에서 정의되는 집합이 있을 때, 그 집합에서 아무렇게나 두 원소를 골라도, 두 원소중 하나만을 포함하는 서로소인 열린집합을 항상 취할 수 있는 성질을 지닌 위상공간의 총칭이다. 다른 표현으로는 서로 다른 임의의 점은 반드시 서로소 근방을 취할 수 있다. 라고 할 수 있다. [math(T_2)]공간이라고도 한다.]일 때 [math( \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L)]이라고 함은 [math(L)]의 임의의 근방(neighbourhood) [math(V)]에 대해 [math(a)]의 빠진 근방(punctured neighbourhood) [math(U)]가 존재해 [math(f\left(U\cap \Omega\right) \subseteq V)]가 성립하는 것이다. == 수렴과 발산 == * [[수렴]]: 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 됐다는 의미로 사용한다. 즉 [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 [math(f\left(x\right))]도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻. * [[발산]][* 똑같이 해석학에서 다루는 [[델(연산자)|발산 연산자]] [math(\nabla \cdot \mathbf{A})]와는 다르다.]: 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 즉, 어느 한 점으로도 모이지 않는다는 뜻. 함숫값이 무한히 커지면, 양의 무한대로 발산, 함숫값이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지면 음의 무한대로 발산이라 한다. > [math(\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty, \quad \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty)] * 진동: 수열을 좌표평면에 표시하면 지그재그를 그리는 특징이 있다. 대표적으로 [math(y=\sin x)], [math(y=\cos x)], [math(x - \lfloor x \rfloor)] 등이 있다. 진동도 발산의 일종이다. 단, 함수가 지그재그를 그린다고 반드시 진동 (발산)인 것은 아니다. 예를 들어 등비수열 [math((-\frac{1}{2})^n)]의 경우, 양과 음의 값이 교대로 나타나지만 n이 무한대로 갈 때 절댓값이 점점 작아져서 0에 수렴한다. === [[점근선]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=점근선)] == 성질 == 고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학 [[해석학(수학)|해석학]]에서는 저걸 모두 증명한다. 공식의 증명은 [[엡실론-델타 논법]]을 이용해 스스로 해 보거나 대학 해석학 교재를 참고하자. 덤으로 이야기하자면, [[병리적 함수|모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 실수 함수]]가 존재한다.[* 물론 [[초등함수]]는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다. [[바이어슈트라스 함수]]라고 하며, 일반적으로 [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\!\cos\left(b^{n}\pi x\right))]라고 정의한다.[br](단, [math(0 함수 [math( f, g, h )]가 [math( x \neq c )]인 점 [math( c )]를 포함하는 열린구간에 있는 모든 [math( x )]에 대해 [math( g \left( x \right) \leq f \left( x \right) \leq h \left( x \right) )]이고 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ g \left( x \right) } = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ h \left( x \right) } = L)]이면, [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ f \left( x \right) } = L)]이다. === 예시 1 === * 알다시피 [math(\displaystyle \cos \left(\frac{1}{x}\right) )]은 [math( 1 )]보다 작고 진동한다. 그렇다면 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} )]의 극한값을 구해 보자. * 모든 [math(x(\neq0))]에 대해 [math(-1 \leq \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1)]이다. 또한 [math(x^2)]을 모든 식에 곱해도 부등호의 변화가 없으므로 [math(-x^2 \leq x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2)]이다. [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{-x^2} = 0 = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2})]이므로 조임 정리에 의해 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} = 0)]이다. == [[로피탈의 정리]](l'Hôpital's rule) == [include(틀:상세 내용, 문서명=로피탈의 정리)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기