문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 도플러 효과 (문서 편집) [include(틀:고전역학)] [include(틀:천문학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Doppler effect}}} 파원에서 나온 [[파동]]의 진동수가 실제 진동수와 다르게 관측되는 현상. 1842년, 크리스티안 도플러(Christian Doppler)가 제안한 물리 현상이다. 일상적인 예로 앰뷸런스가 사이렌을 켜고 달려가는 상황을 생각해 보자. 관찰자인 '나'는 이 사이렌 소리를 정지 상태에서 가만히 듣고 있다. 그러면 앰뷸런스가 가까이 올 때는 높은 소리가 들리다가 관찰자를 지나 멀어져가기 시작하면 소리가 낮아진다. 이때 [[소리]]는 파동의 일종인데 높은 소리는 진동수가 높고 낮은 소리는 진동수가 낮다. 따라서 '나'는 앰뷸런스가 가까이 올 때 소리의 진동수는 실제보다 높아진 것같이 느끼고 멀어져 갈 때는 실제보다 낮아진 것처럼 느껴진다. 하지만 이는 상대적인 효과이며 실제 앰뷸런스를 운전하고 있는 운전자의 입장에서는 항상 동일한 진동수로 관측된다. 이와 같이 파동의 진동수가 왜곡되는 현상을 도플러 효과라고 한다. [[http://www.youtube.com/watch?v=imoxDcn2Sgo|이곳]]에서 동영상을 시청해보고, 사이렌이 관찰자에 다가올 때와 멀어질 때의 사이렌의 높낮이를 비교해보자. == 발생 원인 == 파원이 움직이고 있을 때, 파동의 진행방향이 같으면 파원과 파동 간의 [[상대속도]]가 상쇄되어 파장이 짧아진다. 반면 파원과 파동이 서로 반대로 갈 때는 상대속도가 보강, 파장은 벌어진다. 이 상태에서 관측자는 이렇게 변형된 파장을 감지하는데, 파동이 전달되는 '''속도'''는 일정하므로 짧은 파장은 높은 진동수, 긴 파장은 낮은 진동수를 관측하게 된다. [[파일:namu_도플러효과_1.png|width=450&align=center]] 이러한 도플러 효과는 소리뿐만 아니라 모든 파동에 적용된다. 즉, 어떤 파원이 다가오고 있을 때 정지한 관찰자는 파동의 파장이 실제보다 짧게 느껴지고, 파동원이 멀어지면 정지한 관찰자는 파동의 파장이 실제보다 길게 느껴진다. 또한 파원이 멈춰있더라도 관측자가 움직이면 파동과 관측자 사이의 상대속도가 달라져 그에 따라 관측하는 진동수도 달라진다. 다만 전자기파의 경우 [[특수 상대성 이론]] 때문에 위와 같은 설명이 적용되지 않으며, 다른 방식으로 발생 원리를 설명해야 한다. 도출되는 식도 역학적 파동과는 약간 다르다. 자세한 내용은 [[상대론적 도플러 효과]] 참조. == 유도 == 매질에 대한 파원의 속도를 [math(v_{\rm S})], 매질에 대한 관측자의 속도를 [math(v_{\rm O})], 정지한 매질에서의 파동 속도를 [math(v)]라 하자. 쉬운 유도를 위해 해당 문단에서 매질은 정지한 상태를 사용한다. === 관측자가 움직일 때 === 이 경우 관측자는 동일한 파장 [math(\lambda)]를 관측하게 될 것이나, 자신의 속도로 인하여 파동의 속도가 달라지게 된다. 이때 관측하는 속도는 자신에 대한 파동의 상대 속도 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(v'=v-v_{\rm O})]}}} 따라서 관측하게 되는 파동의 진동수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v'|}{\lambda} \\&= \frac{|v-v_{\rm O}|}{{|v|}/{f}} \\ &=\left| \frac{v-v_{\rm O}}{v} \right|f \end{aligned})]}}} 파원에 다가갈 때는 진동수는 본 진동수보다 크고, 파원에서 멀어질 때는 진동수는 본 진동수보다 작다. === 음원이 움직일 때 === 이 경우 관측자는 파장의 속력 [math(v)]는 같으면서 다른 파장 [math(\lambda ')]를 관측한다. 쉽게 이해하기 위해 아래의 그림을 참조해보자. [[파일:namu_도플러효과_2.png|width=230&align=center]] 파면 [math(\rm A)]가 형성되어 있는 상태에서 파원 [math(\rm S)]는 한 주기 [math(T)]동안 [math(v_{\rm S})]로 이동한다. 파면 [math(\rm A)]는 파원이 [math(\rm S')]으로 이동하게 되면 파원이 정지했다고 했을 때 파면 [math(\rm B)]가 될 것이다. 한편, [math(\rm S')]에 이동했을 때 파면 [math(\rm C)]는 파면 [math(\rm A)]가 파원의 이동방향으로 [math(v_{\rm S}T)]만큼 이동한 것이다. 즉, 이 상태에서 새로운 파장은 [math(\lambda'=\overline{\rm EF})]가 된다. 이 파장을 구해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \lambda'&=\overline{\rm S'F}-\overline{\rm S'E} \\&=(\overline{\rm SF}-\overline{\rm SS'})-\overline{\rm S'E} \\&=2vT-v_{\rm S}T-vT \\&=(v-v_{\rm S})T \end{aligned})]}}} 그러나 일반적인 상황에서는 음수일 수 있어 절댓값을 씌운다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \lambda'&=|v-v_{\rm S}|T \end{aligned})]}}} 이다. 따라서 관측자가 관측하는 진동수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v|}{\lambda'} \\&=\frac{|v|}{|v-v_{\rm S}|}\frac{1}{T} \\&=\left|\frac{v}{v-v_{\rm S}} \right| f \end{aligned})]}}} 파원이 다가올 때 진동수는 본 진동수보다 크고, 파원이 멀어질 때, 진동수는 본 진동수보다 작다. === 관측자 및 파원 모두 움직일 때 === 이 경우는 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'&=\left|\frac{v-v_{\rm O}}{v-v_{\rm S}} \right| f \end{aligned})]}}} 따라서 파원에 대한 파동의 상대 속도와 관측자에 대한 파동의 상대 속도의 비임을 알 수 있다. 흔히 교과서에서는 [math(v)], [math(v_{\rm S})], [math(v_{\rm O})]를 속도로 쓰지 않고, 속력으로 쓰곤 하는데, 이 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v| \pm |v_{\rm O}|}{|v| \mp |v_{\rm S}|}f \end{aligned})]}}} 이다. 이때, 부호의 선택은 아래의 표를 따른다. || || [math(\boldsymbol +)] || [math(\boldsymbol -)] || || '''분자''' || 관측자가 파원에 접근할 때 || 관측자가 파원에서 후퇴할 때 || || '''분모''' || 파원이 관측자에서 후퇴할 때 || 파원이 관측자에 접근할 때 || == 대칭성 == [[상대성 원리]]에 의해 모든 관성 좌표계에서 물리 법칙은 동등해야 한다. 두 좌표계를 준비하는데, 매질은 음원에 대하여 정지해있다고 가정하자. 파동의 속도가 [math(+v)]인 상황에서 좌표계 [math(O)]는 음원에 대하여 정지해있고, 관측자가 [math(+v')]의 속도로 움직인다고 하자. 좌표계 [math(O')]에 대해선 관측자에 대하여 정지해있고, 음원이 [math(-v)]의 속도로 움직이는 상황이라 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'(O)&=\frac{v-v'}{v}f \\ f'(O')&=\frac{v}{v+v'}f \end{aligned})]}}} 일반적으로 [math(f'(O) \neq f'(O'))]이다. 언뜻 봐서는 상대성 원리에 부합하지 않는 것 처럼 보인다. 그러나 이 문제는 [math(O')]에서 매질의 운동을 고려하지 않았기 때문에 생긴 것이다. 이 경우 매질은 [math(-v)]로 움직이는 것으로 보인다. 따라서 좌표계 [math(O')]에서는 음파의 속력이 [math(v)]가 아닌 [math(v-v')]이 된다. 이것을 [math(f'(O'))]에 대입하면 [math(f'(O) = f'(O'))]이다. 즉, 매질의 움직임까지 생각해줘야 함을 뜻한다. 이 사실은 [math(O)]에 대하여 [math(+u)]로 움직이는 좌표계 [math(O'')]에서 성립한다. 이때 매질의 속도는 [math(-u)], 음파의 속도는 [math(v-u)] 관측자의 속도는 [math(v'-u)], 음원의 속도는 [math(-u)]이기 때문에 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \begin{aligned} f''(O)&=\frac{(v-u)-(v'-u)}{(v-u)-(-u)}f\\&=\frac{v-v'}{v}f\\&=f'(O) \end{aligned} \end{aligned})]}}} == 매질의 운동 == 윗 문단의 좌표계 [math(O)]의 상황에서 매질이 [math(+u)]의 속도를 가진다고 하자. 이때, 파동 속도를 유지한 채 도플러 효과를 적용하려면 매질과 함께 움직이는 좌표계 [math(O')] 즉, [math(O)]에서 [math(+u)]로 움직이는 좌표계를 생각한다. 여기서 관측자의 속도는 [math(v'-u)], 음원의 속도는 [math(-u)]가 된다. 또한 이 두 속도는 매질에 대한 상대 속도이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'(O')&=\frac{v-(v'-u)}{v-(-u)}f=\frac{(v+u)-v'}{v+u}f \end{aligned})]}}} 허나, [math(O)]에서 직접 적용하려면, 음파의 속도는 [math(v+u)], 음원의 속도는 [math(+u)], 관측자의 속도는 [math(+v')]임을 이용하여야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} f'(O)&=\frac{(v+u)-v'}{(v+u)}f \end{aligned})]}}} 여기서도 마찬가지로 [math(f'(O)=f'(O'))]을 얻는다. 그러나 빛은 '''오로지 파원과 관측자 사이의 상대 속도로만 결정된다.''' [[상대론적 도플러 효과]] 참고. 이는 '''빛의 매질은 없다'''는 이야기를 암시한다. 위의 논의는 다음을 얻는다. 1. 매질이 운동할 때는 매질의 속도 또한 고려해줘야 한다. 1. 정지한 매질의 파동의 속도를 그대로 적용하려면 매질과 같이 움직이는 좌표계에서 도플러 효과를 적용하여야 한다. 1. 매질이 움직이는 상황에서 도플러 효과를 그대로 적용하려면 파동의 원래 속도와 매질의 속도를 합성한 속도를 사용하여 도플러 효과를 적용하여야 한다. === 예 === ||그림과 같이 [math(v_{2})]의 속력으로 운동하는 벽에 다가가는 주파수 [math(f_{0})]의 음파를 발생시키고 [math(v_{1})]의 속력으로 운동하는 음파 발생기가 있다. 바람이 [math(u)]의 속력으로 불고 있을 때, 음파 발생기가 측정한 벽에 반사된 음파의 진동수 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle f=\frac{v+u+v_{1}}{v+u-v_{2}}\frac{v-u+v_{2}}{v-u-v_{1}}f_{0} )] }}} 로 주어진다. (단, [math(v_{2}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기