문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 등차수열 (문서 편집) [include(틀:이산수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[等]][[差]][[數]][[列]] / arithmetical sequence(progression)}}} [math(1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,\cdots)]처럼 연속한 두 항의 차가 일정한 [[수열]]을 '''등차수열'''이라고 한다. 연속한 두 항에서, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 '''공차'''(common difference, [[公]][[差]])라고 한다. 일반적으로 등차수열의 첫째 항을 [math(a)], 공차를 [math(d)]로 표기한다. 첫째 항은 '''초항'''([[初]][[項]])이라고도 하며, 문자 [math(d)]는 difference의 머리글자이다. 등차수열은 연속한 두 항의 차가 일정하므로, '''[[계차수열]]의 [[일반항]]이 상수식(공차)'''인 수열이다. == [[일반항]] == 수열 [math(\{a_{n} \})]이 공차가 [math(d)]인 등차수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음의 [[점화식]]이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(a_{k+1}-a_k=d)]}}} 이에 따라 등차수열 [math(\{a_n\})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [[수열의 귀납적 정의#s-2.1.1]] 문서를 참고하라. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(a_n=a+(n-1)d)]}}} 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 [[일반항]]을 정할 수 있다. == 등차중항 == [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등차수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 '''등차중항'''이라고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\begin{aligned} b-a&=c-b \; \to \; b=\dfrac{a+c}{2} \end{aligned})]}}} 곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 '''나머지 두 항의 [[산술평균]]'''이다. 예를 들어 등차수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등차중항은 [math(a_7={(a_6+a_8)}/2)]이다. == [[함수]]로 해석하기 == 등차수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 좌표평면에 [math((n,\, a_n))]을 나타내면 다음과 같다. [[파일:namu_등차수열_1_수정_NEW.png|width=200&align=center]] 각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등차수열의 일반항은 '''일차식'''으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 '''일직선상에 있다.''' 나아가, 각 점을 이은 직선의 기울기는 공차와 같다. 이렇게 보면, 등차수열의 일반항은 '''자연수만을 정의역으로 하는 [[일차함수]]'''이다. 나아가, 등차수열의 연속한 세 항에 대하여, 등차중항을 나타내는 점은 나머지 두 항을 나타내는 점을 이은 선분을 [math(\boldsymbol {1:1})]'''로 내분하는 점'''이다. 이에 따라 [math(a_n)]에서 원래 [math(n)]은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다. * 등차수열 [math(a_n=n+4)]에 대하여 * [math(a_5)]와 [math(a_6)]의 평균은 [math(a_{5.5}=5.5+4=9.5)] * [math(a_8)]과 [math(a_9)]의 평균은 [math(a_{8.5}=8.5+4=12.5)] * 위 두 값의 차는 [math(a_{8.5}-a_{5.5}=(8.5-5.5)d=3\cdot1=3(=12.5-9.5))] == 성질 == 등차수열 [math(\{a_n\})]과 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여 * [math(a_{k+m}-a_k=md)] * [math(a_k+a_l=a_{k\pm m}+a_{l\mp m})] ([[복부호 동순]]) * 특히, [math(a_k+a_{k+2}=2a_{k+1})] ([[등차중항]]) 특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등차수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등차수열의 합을 구하는 문제로 자주 나온다. {{{#!folding [예제] ----- ||'''[문제]''' ---- 등차수열 [math(\{a_{n}\})]이 [math(a_{5}+a_{7}=14)]를 만족시킬 때, [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{11}a_k)]의 값을 구하시오. || || [math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{11} a_k&=(a_1+a_{11})+(a_2+a_{10})+(a_3+a_9)+(a_4+a_8)+(a_5+a_7)+a_6\\&=\dfrac{11(a_5+a_7)}2=77\end{aligned})] || }}} == [[극한]] == 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로 {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\; &(d>0)\\&a\; &(d=0)\\-&\infty\; &(d<0)\end{aligned}\end{cases})]}}} == 등차수열의 합 == 등차수열의 합은 '''첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값'''인데, 그 이유는 다음과 같다. [math(S_{n})]을 구할 때 첫째 항부터 [math(n)]번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. [math(a_{n}=l)]이라 하면, [math(l=a+(n-1)d)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. ||<:>[math(\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&a+d&+&a+2d&+&\cdots&+&a+(n-2)d&+&a+(n-1)d&\\ + & S_{n}&=&l&+&l-d&+&l-2d&+&\cdots&+&l-(n-2)d&+&l-(n-1)d&\\ \hline &2S_{n}&=&(a+l)&+&(a+l)&+&(a+l)&+&\cdots&+&(a+l)&+&(a+l) \\ & &=& n(a+l) \end{matrix})] || [math(S_{n})]에 대하여 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle S_n=\dfrac{n(a+l)}{2} )]}}} 각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 [math(a)]와 [math(l)]은 [math(n)]에 관한 '''일차식'''이 되므로 [math(S_n)]은 '''이차식'''이다. [math(l=a+(n-1)d)]를 사용하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]}}} 한편, 수열의 합 공식으로 유도하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a+(k-1)d\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (dk-d+a)\\&=\dfrac{n(n+1)}2d+(a-d)n\\&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n \\ &=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2}\\&=\dfrac{n( a+l )}{2}\end{aligned})]}}} === 공식(합 → 일반항) === 여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(a_n={S_n}'-\dfrac12d)]}}} 쉽게 말해 [math(S_n)]을 [[미분]]한 뒤 [math(S_n)]의 최고차항의 계수를 빼면 [math(a_n)]이라는 것이다. 주의할 점은 [math(S_n)]이 '''첫째 항'''부터 [math(n)]번째 항까지 더한 값이며, '''등차수열'''의 합이라는 것이다. [math(S_n)]이 '''첫째 항'''부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 '''미분이 아니다.''' 미분이란 본디 [[접선]]의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라는 말이다. === [[함수]]로 해석하기 === 등차수열의 합 역시 함수로 생각할 수 있는데, {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n\end{aligned})]}}} 에 대하여 좌표평면에 [math((n, \, S_n))]을 나타내면 다음과 같다. [[파일:namu_등차수열_2_수정.png|width=235&align=center]] 각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, [math(S_n)]좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 '''이차식'''으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 '''이차함수의 그래프 위에 있다.''' 이렇게 보면, 등차수열의 합은 '''자연수만을 정의역으로 하는 상수항이 0인 [[이차함수]]'''이다. === 제2항부터 등차수열인 경우 === 앞서 밝혔듯이 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d\;(ad\neq 0))]의 합은 {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]}}} 이기 때문에 [math(S_n)]은 '''상수항이 없는 이차식'''이다. 그렇다면 [math(S_n)]이 '''상수항이 있는 이차식'''이면 어떨까? * '''[math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn})]이면''' * [math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 1)})] * '''[math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn+c\;(c\neq 0)})]이면''' * [math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 2)})] * [math(a_1=S_1)] 전자와 후자를 비교해 보자. [math(a_n=S_n-S_{n-1})]이므로 뒤에 [math(+c)]가 붙든 안 붙든 [math(a_n=2an+b-a)]로 똑같은 값이 된다. 그러나 [math(S_0)]이란 정의되지 않기 때문에 [math(\boldsymbol{a_n=S_n-S_{n-1}})]'''로 [math(\boldsymbol{a_1})]을 구할 수가 없고, [math(\boldsymbol{a_1=S_1})]임을 이용'''해야 한다. 따라서 [math(a_1)]의 값은 [math(S_1)]과 마찬가지로 [math(c)]만큼의 차이가 나며, [math(a_2)]부터는 모든 항이 같다. 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자. ||<|2> [math(S_n=n^2+n)] || [math(a_1(=S_1))] || [math(a_2)] || [math(a_3)] || [math(a_4)] || [math(\cdots)] || || [math({\color{red} 2})] || [math(4)] || [math(6)] || [math(8)] || [math(\cdots)] || ||<|2> [math(S_n=n^2+n+{\color{red} 1})] || [math(a_1(=S_1))] || [math(a_2)] || [math(a_3)] || [math(a_4)] || [math(\cdots)] || || [math({\color{red} 3})] || [math(4)] || [math(6)] || [math(8)] || [math(\cdots)] || [math(a_n)]의 다른 모든 항은 같고 [math(a_1)]만이 1의 차이가 나므로 [math(S_n)] 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. === 등차수열의 합의 최대·최소 === 앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 [math(S_n)]은 '''이차식'''이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 [math(S_n)]은 '''자연수만을 정의역으로 하는''' 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다. * '''[math(\boldsymbol{S_n})]이 감소하다가 증가''' * [math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 음수이다가 양수가 됨 * 공차가 양수 * 최솟값이 존재 * 최댓값은 존재하지 않음 * '''[math(\boldsymbol{S_n})]이 증가하다가 감소''' * [math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 양수이다가 음수가 됨 * 공차가 음수 * 최댓값이 존재 * 최솟값은 존재하지 않음 * '''[math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 증가''' * 공차가 양수 * 최솟값은 [math(S_1)] * 최댓값은 존재하지 않음 * '''[math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 감소''' * 공차가 음수 * 최댓값은 [math(S_1)] * 최솟값은 존재하지 않음 * '''[math(\boldsymbol{S_n})]이 일정''' * 모든 항이 0, 공차도 0 * 최솟값과 최댓값은 모두 0 공차가 양수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 양수이므로 그래프가 아래로 볼록하고, 공차가 음수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 음수이므로 그래프가 위로 볼록하다. '''실수 전체를 정의역으로 하여''' [math(S_n)]의 그래프를 그리면, 최댓값 혹은 최솟값이 존재하는 경우에 한하여 [math(x)]좌표가 자연수이고 꼭짓점과의 [math(y)]좌표의 차가 가장 작은 점의 [math(y)]좌표가 등차수열의 합의 최댓값 혹은 최솟값이 된다. == 활용 == [include(틀:상세 내용,문서명=원리합계)] == 기타 == * [math(a_n)]이 등차수열이면 0이 아닌 상수 [math(k)]에 대하여 [math(k^{a_n})]은 [[등비수열]]이다. * 초등학교 때 [[뛰어 세기]]를 통해 같은 수를 반복적으로 더하는 조작을 체득하고, 이를 밑바탕으로 하여 [[2015 개정 교육과정]]에 따라 고2 이상에서 [[수학Ⅰ(2015)|수학Ⅰ]]에서 등차수열을 배운다. * 등차수열의 합 공식을 유도하는 과정에 대한 에피소드가 유명하다. [[독일]]의 [[수학자]] [[카를 프리드리히 가우스]]가 어릴 적에 '1부터 100까지 다 더하라'는 선생의 지시에 이 아이디어를 떠올리고 금방 5050이라고 답했다고 한다. * 좌표평면에서 [[이차함수]]의 그래프 위의 점들을 이은 [[다각형]]에 대하여, 꼭짓점의 개수와 좌우 양끝 점의 [math(x)]좌표가 고정되어 있을 때 다각형의 넓이가 최대가 되려면 다각형의 모든 꼭짓점의 [math(x)]좌표가 '''등차수열'''을 이루어야 한다. 특히, [[삼각형]]에 대해서는 양끝 점이 고정되어 있을 때 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 나머지 한 점의 [math(x)]좌표는 양끝 점의 [math(x)]좌표의 '''[[평균]]'''이다. 이에 대한 자세한 설명은 [[다항함수/공식#s-3.1]] 참고. == 관련 문서 == * [[산술평균]] * [[일차함수]] * [[이차함수]] * [[등비수열]] * [[조화수열]] * [[뛰어 세기]] [[분류:수열]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기