문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 레이놀즈 수송 정리 (문서 편집) [include(틀:유체역학)] [목차] == 개요 == 레이놀즈 수송 정리(RTT,Reynolds transport theorem)는 물질 (시간) 도함수(material derivative 또는 material time derivative)와 물리량으로 표현되는 유체의 유동에서 자연법칙을 따르는 연속체 시스템(system)과 이것의 시공간속에서의 제어체적(CV,control volume) 변화량이 서로 동등한 관계에서 유효하게 해석될수있다는것을 보여준다.[* Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME I\], Osborne Reynolds, 1900[[https://archive.org/details/papersonmechanic01reynrich/page/n8/mode/1up?view=theater]]][* Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME II\], Osborne Reynolds, 1901[[https://archive.org/details/papersonmechanic02reynrich/page/n8/mode/2up]]][*가 Papers on mechanical and physical subjects \[VOLUME III\], Osborne Reynolds, 1903[[https://archive.org/details/papersonmechanic03reynrich/page/n7/mode/2up]] SECTION II The General Equations of Motion of any Entity p9][* Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]] 7.4 ENERGY EQUATION IN ACCELERATED SYSTEM] 제어체적(CV,control volume 또는 검사체적)은 자유물체도(Free Body Diagram)와 같이 물리적 법칙들이 선택적으로 제어될 수 있다고 이해할수있다. 레이놀즈 수송 정리(RTT)의 이러한 접근방법은 라그랑주가 발전시킨 라그랑지 시스템(Lagrangian system)과 오일러 방법(Eulerian method)의 미분방정식을 사용하는 제어체적((Eulerian control volume)의 정교한 결합이다.[* Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]] P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.1][* Joseph Louis Lagrange, Méchanique analytique 1788 Chez la veuve Desaint [[https://books.google.co.kr/books/about/M%C3%A9chanique_analytique.html?id=HTEVAAAAQAAJ&redir_esc=y]]] === 1903년 레이놀즈 수송 정리 === 1903년 오스본 레이놀즈의 레이놀즈 수송 정리 표현식은 아래와 같다.[*가 ] ||<:> [math(\overbrace{\dfrac{d}{dt}\left[\sum (QdS)\right]}^{\large①}=\overbrace{\sum \left( dS\dfrac{dQ}{dt} \right)}^{\large②} + \overbrace{\displaystyle \iiint \left(\dfrac{d}{dx}\overline{u}Q + \dfrac{d}{dy}\overline{v}Q +\dfrac{d}{dz}\overline{w}Q\right) dx\,dy\,dz}^{\large③})] || * [math({\large①}=\dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right))]: 질량 보존법칙, 일-에너지 정리 등 자연법칙을 따르는 이상 연속체(ideal continuum)인 계(system) * [math({\large②}=\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]: 자연법칙으로부터 일정부분 독립된 제어체적(control volume, CV) * [math({\large③})]: 제어체적의 제어표면(control surface, CS) 이때 [math( F_T =F_F \left(\textsf{유체 유속}\right) - F_B\left(\textsf{경계 유속}\right) )]이고 [math( \overline{u}=F_x, \overline{v} = F_y , \overline{w} = F_z , dxdydz = dS)]에서[* Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]] P250 CHAPTER 8. DIFFERENTIAL ANALYSIS,8.2 Mass Conservation, (Part I) Integral Analysis P162 CHAPTER 5. MASS CONSERVATION 5.3Continuity Equation] || [math(\begin{aligned}\displaystyle \iiint\left( \dfrac{d}{dx}\overline{u}Q+ \dfrac{d}{dy}\overline{v}Q +\dfrac{d}{dz}\overline{w}Q \right)dx\,dy\,dz& = \dfrac{\partial}{\partial x}Q F_x + \dfrac{\partial}{\partial y}QF_y +\dfrac{\partial}{\partial z}QF_z\\& = \int F_{T} \cos\theta Q\,dA\end{aligned} )] || 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align:center" [math( \dfrac{d}{dt} \left(\displaystyle \int Q dS\right) = \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\displaystyle \int Q dS\right) + \displaystyle \int F_{T} \cos\theta Q\,dA )]}}} === 레이놀즈 수송 정리의 벡터 계산 === || [[파일:fluid_mechanics_RTT_1.svg|width=400]] || || 검사 체적의 경계면으로 흐르는 유체 || 벡터 계산(vector calculus)에서 레이놀즈 수송 정리(RTT) 표현식은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align:center" [math( \begin{aligned}\dfrac{d}{dt} \left(\int Q dS\right) &= \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int F_{T} \cos\theta Q\,dA \\&= \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) + \int \overline{F}\cdot \overline{N} Q\,dA\end{aligned})]}}} === 레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식 === 우선 비압축성 [[뉴턴유체]] 또는 이상유체를 자유물체도(Free Body Diagram)에서 전제하고 제어체적(CV)을 [[발산정리]]에서 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) )]으로부터 미분을 적분으로 정리하면 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\int Q dS\right) = \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS )] [math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^1 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^2 + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^3 + \cdots + \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \right)^n )] 따라서 우변의 첫번째 항을 취하면 [math( \displaystyle \int_{S} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS = \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) dS \;\; -\; (1))] 제어표면(CS,control surface)은 [math( \int F_{T} cos\theta QdA = \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) \;\; -\; (2) )] [math( (1) + (2))]는 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) =0 )]이므로 [math( Q = \rho \text{(밀도)} )]로 정리해보면 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\rho \right) + \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\rho F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\rho F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\rho F_z \right) =0 )] 레이놀즈 수송 정리의 일반 밀도 방정식(general density equation)을 얻을수있다. 한편 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left(Q F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(QF_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(QF_z \right) \right) =0 )]에서 [math( \dfrac{\partial}{\partial t} \left( Q \right) + \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right)Q =0 )]이고 [math( \left( \dfrac{\partial}{\partial x}\left( F_x \right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(F_y \right) +\dfrac{\partial}{\partial z}\left(F_z \right) \right) = F \cdot \nabla )] 이므로 [[연속방정식]](continuity equation) 을 얻을수있다 따라서 [math( \dfrac{\partial Q}{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right)Q =0 )] 이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)의 [[오일러 방정식#s-3|오일러 방정식]]이다. [math( Q )]를 정리하면 [math( \dfrac{\partial }{\partial t} + \left( F \cdot \nabla \right) =0 )] 이것은 물질 시간 도함수(material time derivative)이다. == 물질 시간 도함수 == === 1903년 물질 시간 도함수 === 1903년 오스본 레이놀즈의 물질 시간 도함수 표현식 [math( \dfrac{d}{dt} ({}_p Q_1 ) = - \dfrac{d}{dt} \left( {}_pQ_2 + \& c \right) )] 이 방법은 1903년 [[오스본 레이놀즈]](Osborne Reynolds)가 그의 저서 (직역:기계 및 물리적 주제에 관한 논문 제3권)에서 사용하였다.[*가 ] === 물질 시간 도함수와 발산 === 물질[math( (m) )]의 시간에 따른 변화량[math( m(t + \Delta t) )]와 시공간 좌표계[math( (t,x,y,z) )]에서 [math( m = m(t,x,y,z) )]를 편미분하면 [math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} dx + \dfrac{\partial m}{\partial t}dy + \dfrac{\partial m}{\partial t}dz )]이고 물질의 이동 거리[math( (L) )]을 추가해보면 [math( L dt= L_{x,y,z} dt)]이므로 [math( dm = \dfrac{\partial m}{\partial t} dt + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y}dt + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z}dt )] [math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) dt )]이고 [math( \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} L_{x} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{y} + \dfrac{\partial m}{\partial t}L_{z} \right) = L \cdot \nabla m \; )] [math( \nabla m)]에서 [math( \nabla )] 는 기울기 벡터(gradient vector),[math( L \cdot \nabla )]에서 [math( \cdot \nabla )] 는 발산(divergence)이다. 따라서 [math( dm = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) dt )] [math( \dfrac{dm}{dt} = \left( \dfrac{\partial m}{\partial t} + L \cdot \nabla m \right) )] 물질[math( (m) )]을 정리해보면 물질 시간 도함수 [math( \dfrac{d}{dt} = \left( \dfrac{\partial }{\partial t} + L \cdot \nabla \right) = \dfrac{D}{Dt} )]을 얻을수있고 [[발산 정리]]를 조사할수있다. == RTT 아이디어 == >[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] is put for the quantity within a space S enclosed by the surface s at the instant considered, >[math( \sum({}_oQ \delta S) )] is the quantity enclosed at a previous instant. >[math( \sum({}_pQ \delta S) )] is the quantity which has been produced within s during the interval, and >[math( \sum({}_cQ \delta S) )] is the quantity which has crossed the surface inwards during the interval. >Then [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )] >is a complete expression for the Axiom [*가 ] >[math( \sum(Q \delta S) = \iiint Qdxdydz )] 은 고려되는 순간 표면 s로 둘러싸인 공간 S내의 물리량으로, >[math( \sum({}_oQ \delta S) )]는 이전 순간에 포함되어있었던 물리량입니다. >[math( \sum({}_pQ \delta S) )]는 간격[math( (t+ \delta t) )] 동안 s 내에 생겨난 물리량이고, >[math( \sum({}_cQ \delta S) )]는 간격 동안 표면을 안쪽으로 교차한 물리량입니다. >그런 다음 [math( \sum(Q \delta S) = \sum({}_oQ \delta S) + \sum({}_pQ \delta S)+\sum({}_cQ \delta S) )] >은 이러한 공리의 완전한 표현식입니다. || [[파일:fluid_mechanics_RTT_2B.svg|width=400]] || == 관련 문서 == * [[베르누이 방정식]] * [[나비에-스토크스 방정식]] * [[TNB 프레임]] * [[뇌터 정리]] * [[코시 스트레스 텐서]] [[분류: 유체역학 ]] [[분류: 물리학 ]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기