문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 뫼비우스 변환 (문서 편집) == 개요 == '''Möbius Transformation''' [[뫼비우스의 띠]]로 유명한 독일의 수학자 아우구스트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)가 만들었다. [[뫼비우스 함수 |뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)]]의 다른 이름인 Möbius Transform과 헷갈리지 말자. 확장된 복소 평면(extended complex plane)을 [math(\overline{\mathbb{C}})]으로 쓸 수 있고, 이를 [math(\mathbb{C} \cup \{ \infty \})]로 정의하자. 여기서 [math(\mathbb{C})]는 복소평면이다.[* 참고로 복소평면이라는 말에 주의해야 한다. 1799년 노르웨이 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)이 복소수를 직교좌표(Cartesian coordinate)에 나타내었고, 그 방법의 기능적 훌륭함 덕분에 오랫동안 복소평면이라는 말이 내려온 것이지, 사실은 복소평면은 기하학적인 도형이 아니라 무한대를 제외한 모든 복소수가 포함된 집합으로 이해해야 한다.][* 즉, 복소수는 실수부와 허수부를 가질 뿐 실제로는 1개의 숫자다. 각종 풀이의 아이디어는 벡터에서 따올 수 있겠지만, 함부로 원소 2개인 벡터와 동일하게 취급해서는 안된다. 복소수의 곱셈 연산이 벡터와 다르기 때문이다. 벡터로 치면 복소수의 곱은 회전변환과 확대변환을 동시에 행하는 것. 물론 복소수도 [[에르미트 내적]](Hermitian inner product)을 이용해 벡터처럼 비슷하게 내적을 할 수 있다. 엄연히 복소평면은 복소수상에서 벡터구조를 유지하는 상태이기에 가능한 일이다.][* 편각과 절대값을 이용한 기술로는, 다음과 같다.[br][math(\overline{\mathbb{C}}=re^{i\theta}, -\pi<\theta<\pi, 0 \leq r \in \mathbb{R}^{+}\cup\{0\}\cup\{\infty\})]. 즉 원래 절대값은 0 이상의 양의 실수값이므로 유한한 크기를 지녀야 하는데 여기에 무한원점을 도입하여 무한대의 크기를 허용한 것이다.] 이 때 뫼비우스 변환은 다음과 같은 형태를 가진다. [math(f(z)= (az+b)/(cz+d))] (이 때, [math(ad\neq bc)]이다.)[* [math(ad=bc)]라면, [math(f(z)=\frac{a}{c})]로 깔끔하게 약분되어버리는 상수함수가 되어버린다.] 그리고 뫼비우스 변환은 확장된 복소 평면에서 [[복소수]]를 하나 가져와 다른 확장된 복소 평면으로 던지는, 즉 [math(f:\overline{\mathbb{C}}\rightarrow \overline{\mathbb{C}})]인 [[사상(수학)|사상]]이다. [[베른하르트 리만]](Bernhard Riemann)이 고안한 리만 구(Riemann Sphere)를 이용해 뫼비우스 변환은 [[https://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY|동영상]]과 같이 시각화 될 수 있다. 뫼비우스 변환이 리만 구의 [[자기동형사상]]임을 잘 보여준다. [[분류:해석학(수학)]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기