문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 복소평면 (문서 편집) [include(틀:해석학·미적분학)] [include(틀:대수학)] [목차][[파일:90-Degree_Rotations_in_the_Complex_Plane.png|align=right]] [clearfix] == 개요 == '''복소평면'''([[複]][[素]][[平]][[面]], Complex plane)은 [[복소수]]의 집합 [math(\mathbb{C})]를 좌표평면 [math(\mathbb{R}^{2})]에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. '''가우스 평면, 복소수 평면'''이라고도 하며, [[프랑스]]에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 '''아르강의 그림(Argand Diagram)'''[* 책에 따라 '''아르강 도표'''라고 번역한 경우도 있다.][* 플랑 다흐겅 'plan d'Argand' 그러나 물론 프랑스에서도 '복소평면'에 해당하는 'plan complexe' 플랑 꽁플렉스 가 정식 표현이다.]이라고 한다. [[실직선]]이 [[실수(수학)|실수]]에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다. == 교육 과정 == * 국내에서는 6차 교육과정까지 [[수학 II]] '삼각함수와 복소수' 단원에서 복소평면을 배웠으나 빠졌다가 현재는 [[고급 수학1]]로 부활했다. --그러나 일반고에서 고급 수학1을 배울 일은 없다.-- [* [[2015 개정 교육과정]]을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야 하는 수학 과목이 '수학 1·2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학1를 배우는 건 하늘의 별 따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학1를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다. 다만 학교 간 [[공동교육과정]]을 통하여 원하는 사람은 개설된 고등학교로 가서 들을 수 있게 하기도 한다. 아니면 일부 고등학교에서 방학 때 [[계절학기]]로 열어주기도 한다.] *[[일본]]에서는 이과생들이 [[수학Ⅲ]]에서 배우고 있으며[* 그래서 [[대학입학공통테스트|일본 대학 입시]]를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서 보거나 학원을 다녀야 한다.] 2022년 4월부터는 [[수학C]]에서 배우게 될 예정이다. *[[호주]]에서는 대학 입시에 복소평면 부분이 역삼각함수 등과 함께 입시에 나온다. *[[영국]]에서는 GCE [[A Level]]에서 심화수학 Core 1에서 다루고, International [[A Level]]에서 순수심화수학 1, 2에서 다룬다.[* 물론, 두 과정 전부 복소수 및 복소 평면 계산에서 끝내지 않고, 오일러 공식, root of unity, 드무아브르 공식과 삼각함수의 이항정리도 다룬다.] == 다색 복소평면 == ||<#FFFFFF> [[파일:Weierstrass_elliptic_function_P.png|width=333]] || || [[바이어슈트라스 타원 함수]] [math(\wp)]의 그래프 || {{{+1 Domain coloring}}} 복소수 관련 자료 가운데 이런 알록달록한 그림을 볼 때도 있는데, 이게 복소함수의 그래프이다. 보통 [[명도#明度]]는 함숫값의 크기([[절댓값#s-3]])를 나타내며[* [math(0)]은 시꺼멓게 표현되며 [math(\pm \infty)]는 허옇다.], [[휴#s-3|색도]]는 [[편각]]을 나타낸다. 편각을 나타내는 색의 기준점을 정하는 방법은 학자에 따라 몇 가지가 존재한다. 편각이 가질 수 있는 값의 범위가 일반적인 것처럼 [math(0)]과 [math(2\pi)] 사이일 때는, 양의 실수를 색의 기준점인 [[빨간색]]으로 잡고 음의 실수는 그 보색인 [[청록색]]이 되는 방식이 많이 쓰인다.[* 다색 복소평면의 편각을 읽을 때 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|[math(x^3 = \pm1)]]]를 익혀 두면 쉽다. 각각 빨강: [math(1)], 노랑: [math(-\overline\omega)], 초록: [math(\omega)], 청록: [math(-1)], 파랑: [math(\overline\omega)], 자홍: [math(-\omega)]의 편각이다(단, 이때 [math(\omega=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2})]).][* 다른 방식 중 하나를 [[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Complex_log_domain.svg|여기]]서 볼 수 있다. 편각이 가지는 값의 범위가 [math(-\pi)]부터 [math(+\pi)]까지로 주어져있으며, 음의 실수가 기준점으로서 [[마젠타]]색에, 양의 실수는 보색인 [[초록색]]에 배당됐다. 일반적으로 편각 범위의 끝값은 색의 기준점으로서 빨강 계열의 [[원색]]으로 나타내고, 그래서 반대로 중앙값은 [[보색]]으로 시원한 계열 원색이 되는 경향이 있는 듯.] == 평면과 복소수의 대응법 == 복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 [math(x+iy)]를 [math(\left(\Re (x+iy), \Im(x+iy)\right) = \left(x,y\right))]에 대응시키면 이는 일대일 대응이 되고 벡터공간 구조를 보존해준다. [math(i)]는 [math(\left(0,\,1\right))]에, [math(1)]은 [math(\left(1,\,0\right))]에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다. [[노름(수학)#s-5.2.1|해당 점과 원점과의 거리]]는 해당 복소수의 [[절댓값]]이 된다. == 덧셈 관련 == === 덧셈의 기하적 표현 === 언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 [math(\mathbb{C})]를 [math(\mathbb{R}^{2})]에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다. 예를 들어, 두 복소수 a+bi,c+di를 더하면 복소평면에서는 두 위치벡터[* (0,0)에서 그 점으로 향하는 벡터] (a.b),(c,d)의 합이므로 평행사변형법을 써서 구할 수 있다. === 켤레 === 복소수 [math(z)]의 켤레복소수 [math(\bar{z})]는 [math(z)]의 x축 대칭이다. === 실수, 순허수 === 실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다. == 곱셈 == === 극분해, 극좌표 변환 === 직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 '''극분해'''(polar decomposition) 라고 한다. [math(\displaystyle z = a+bi = r (\cos \theta + i \sin \theta), r=\sqrt{\Re(z)^{2}+\Im(z)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \theta = \arctan \left({b}\over{a} \right) )][* [math(\arctan)]은 [[역삼각함수|역탄젠트 함수]]를 뜻한다. [math(\arctan\left(\dfrac yx\right))] 대신 [math(\operatorname{atan2}(y,\,x))]라는 함수를 쓰기도 한다.] 엄밀하게는 [math(\theta)] 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다. 위 식에서 r 은 양의 실수이기에, [math(\dfrac{z}{r}=c+is)]([math(c=\dfrac{a}{r})], [math(s=\dfrac{b}{r})]는 실수)라 할 때, [math(\left|\dfrac{z}{r}\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1)]이다. 따라서 실수 [math(\theta)]가 존재하여 [math(c=\cos \theta)], [math(s=\sin \theta)]이다. 이걸 그대로 [[오일러의 공식]] ([math(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta)])에 적용하면 아래의 결과가 나온다. [math( z = a+bi=r \cdot e^{\theta i} )] 여기서, [math(r)]은 [math(0)]과 [math(z)] 사이의 거리, [math(\theta=\angle z)]이다. 즉, [math(z)]를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다. === 곱셈의 기하학적 표현 === 허수 [math(i)]의 곱셈은 '''시계 반대 방향으로의 90° 회전'''이다. 이를 이용해서 [[음수(수학)|음수]]끼리의 곱셈이 왜 양수가 되는지 설명하는 데 쓸 수도 있다. 극분해된 두 복소수 [math(z_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i})]와 [math(z_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i})]의 곱은 [math(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i})]이다. 즉, 절댓값이 각각 [math(r_1)]과 [math(r_2)], 편각이 각각 [math(\theta_1)]과 [math(\theta_2)]인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 [math(r_{1}r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2})]이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다. 복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, [math( z^2, z^3)]이나 좀 더 일반화해서 [math( z^n )] 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다. [[분류:대수학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기