문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 서수(수학) (문서 편집) [include(틀:수학기초론)] [목차][[분류:집합론]] == 개요 == '''서수'''([[序]][[數]], ordinal) 또는 '''순서수'''([[順]][[序]][[數]])란, 집합의 원소에 순서를 [[잘 정의됨|"잘" 주기 위해서]] 고안된 개념이다. 예를 들어서, 총원 30명인 반이 있다고 해보자. 그럼 각 학생들에게 1번부터 30번까지 하나씩 번호가 주어질 것이다. 그러면 선생님은 이 번호를 가지고, 학생들을 순서대로 심부름을 시킨다든지, 발표를 시킨다든지 할 수 있을 것이다. 물론, 유한집합 또는 가산 무한집합에 순서를 주는 것은 자연수만으로도 충분하지만, 수학에는 원소가 자연수의 개수보다 많은 집합도 얼마든지 있으므로, 이들 집합의 원소에 순서를 주는 것은 자연수만으로는 부족하다. 따라서 __자연수를 포괄하면서, 순서가 "잘" 주어진__ 어떤 수체계가 필요하다. 이를 서수라고 한다. 서수는 [[게오르크 칸토어]]에 의해 처음 정의되었으며 현대 집합론에서는 보통 [[존 폰 노이만]]의 방식을 따라서 정의된다. 폰 노이만의 방식대로 정의하면 서수는 추이적(transitive) 집합이며, 포함 관계에 대해 정렬적인 집합이다. 모든 정렬적 집합은 이 서수 중 하나와 동형임이 증명되어있고 따라서 서수를 정렬 순서의 대표자로 사용할 수 있다. == 정의 == 순서를 "잘" 줬다는 것은, 물론 정렬 순서를 말한다. 아래의 두 성질, 1. Trichotomi: 임의의 [math(x,\:y)]에 대하여, [math(x>y,\:x=y,\:x\aleph_{0})]지만, 서수는 [math(2^{\omega}=\omega)]가 된다는 점이다.[* 그런데 기수와 서수의 성질로 인해 [math(\aleph_0+1=\aleph_0)]이지만 [math(\omega+1>\omega)]라는 다소 직관과는 동떨어진 결론을 얻는다.] ==== 비가산 무한서수 ==== 모든 가산 무한 서수의 집합을 고려하자. 이 집합의 서수를 [math(\omega_{1})]라고 할 수 있는데, 대각선논법과 비슷한 논리를 통하면, 이 서수는 그 가산 무한 서수와 1대 1로 대응되지 않는다는 것을 보일 수 있다. 즉, [math(\omega_{1})]는 비가산 무한서수가 되며, 수학적으로 이 서수가 최소의 비가산 무한서수라는 것이 알려져 있다. 또한, [math(\omega_{1}=\aleph_{1})]이다. === 극한서수 === [math(\alpha=\beta+1)]를 만족하는 순서수 [math(\beta)]가 존재하지 않는 순서수 [math(\alpha)]가 극한서수다. 그 외에도 여러가지 더 다양한 추가정의들이 있는데, 쉽게 말하자면, [math(0, \omega, \omega2, ...)] 처럼 따름서수들의 프로토타입들이 바로 극한서수다. === 따름서수 === [math(\alpha=\beta+1)]를 만족하는 순서수 [math(\beta)]가 존재하는 순서수 [math(\alpha)]가 따름서수다. 그 외에도 여러가지 더 다양한 추가정의들이 있는데, 쉽게 말하자면, [math(1, 2, ..., \omega+1, \omega+2, ..., \omega2+1, \omega2+2, ..., ...)] 처럼 극한서수로부터 정의되는 순서수가 따름서수다. ==== 홀순서수 ==== [math(\alpha=2\beta+1)]를 만족하는 순서수 [math(\beta)]가 존재하는 순서수 [math(\alpha)]가 홀순서수다. 그 외에도 여러가지 더 다양한 추가정의들이 있는데, 쉽게 말하자면, [math(1, 3, ..., \omega+1, \omega+3, ..., \omega2+1, \omega2+3, ..., ...)] 처럼 극한서수로부터 홀수번째로 따라오는 순서수가 홀순서수다. ==== 짝순서수 ==== [math(\alpha=2\beta+1)]를 만족하는 순서수 [math(\beta)]가 존재하지 않는 순서수 [math(\alpha)]가 짝순서수다. 그 외에도 여러가지 더 다양한 추가정의들이 있는데, 쉽게 말하자면, [math(2, 4, ..., \omega+2, \omega+4, ..., \omega2+2, \omega2+4, ..., ...)] 처럼 극한서수로부터 짝수번째로 따라오는 순서수가 짝순서수다. == 연산 == 기존의 덧셈, 곱셈, 지수는 초한서수를 다루도록 정의되어있지 않기 때문에, 연산도 다시 정의해주어야 한다. 이것이 중요한 이유는 초한서수에서는 '''교환법칙이 성립하지 않기 때문이다.''' 예를 들어, [math(5+\omega)]는 [math(\omega+5)]가 아닌 [math(\omega)]와 같다. === 덧셈 === 1. [math(\alpha+0=\alpha)] 2. [math(\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\})] 3. [math(\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1)] 4. [math(\alpha+\beta=\displaystyle\bigcup_{\gamma<\beta}(\alpha+\gamma))] ([math(\beta)]가 극한서수인 경우) 3번까지는 자연수에서의 덧셈과 정의가 같다. 또한 2번과 3번을 묶어 다음과 같이 나타낼 수도 있다. *[math(\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)\cup\{\alpha+\beta\})] 예를 들면 [math(\omega^2+\omega^2)]는 [math(\{\omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\cdots\}\cup\{\omega^2+\omega,\omega^2+\omega+1,\omega^2+\omega+2,\cdots\}\cup\{\omega^2+\omega2,\omega^2+\omega2+1,\omega^2+\omega2+2,\cdots\}\cup\cdots)]으로 정의된다. 그런데 이는 [math((\omega^2+\omega)\cup(\omega^2+\omega2)\cup(\omega^2+\omega3)\cup\cdots)]라고도 나타낼 수 있다. 위에서 예로 든 [math(5+\omega)]는 정의에 따라 [math(\{5+1,5+2,5+3,\cdots\})]이다. 그런데 이것은 [math(\omega=\{1,2,3,\cdots\})]에서 앞의 [math(1,2,3,4,5)]를 제외한 것일 뿐이다.[* 또는 각 원소에 5를 더했다고도 해석할 수 있다. 둘이 같다는 것엔 변함없다.] 유한 개의 원소가 빠진다 한들 모든 자연수 이후에 나온다는 순서는 변하지 않으므로 둘은 동일한 서수이다. 이와는 달리, [math(\omega+5)]는 모든 자연수가 나온 다음에도 5번을 더 가야 나오는 순서이므로 더 크다. 교환법칙과는 달리 결합법칙은 성립한다. 때문에 [math((\omega+1)+\omega=\omega+(1+\omega)=\omega+\omega)]가 성립한다. === 곱셈 === === 지수 === [각주]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기