문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 일반화 좌표계 (문서 편집) [include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == [[해석역학]]에서 계를 편하게 설명하기 위해 설정하는 좌표계이다. == 구속 조건과 자유도 == 고등학교 물리를 갓 배우기 시작한 학생이 있다고 해 보자. [[등가속도 운동]]을 어느정도 풀 수 있게 되었고, 이제 뉴턴 역학의 [math(\mathbf{F}=m \mathbf{a})]를 배우려고 한다. 이 뉴턴 2법칙은 아주 쉬운 개념이다. 그냥 힘은 질량 곱하기 가속도라는 공식은 초등학생도 이해할 수 있을 만큼 쉽다. 직선 상에서 [math( m = 3 \, \rm{kg} )], [math( a = 2 \, \rm{m/s^2} )]일 때, 힘은 몇 뉴턴(N)인가? 라는 문제를 못 푸는 사람은 없을 것이다. 하지만 이 학생이 수능 킬러 문제를 풀 수는 없다. [math(\mathbf{F}=m \mathbf{a})]를 배웠다고 해도 '''구속력'''(constraint force)이 고려되지 않았기 때문이다. 예를 들어, 도르래 문제는 그냥 [[중력]]만 작용하는 [[자유낙하]] 운동으로 풀면 안 된다. 왜냐하면 줄의 '''[[장력]]'''이 '''구속력'''으로 작용하여 두 물체의 위치를 맞춰주기 때문이다. 이렇게 '''줄의 길이가 일정'''하게 맞춰지는 것을 '''구속 조건'''(constraint)이라고 한다. 마찬가지로 경사면에서의 운동의 경우, 중력뿐만 아니라 '''[[수직항력]]'''이 '''구속력'''으로 작용하여 물체가 '''경사면 위'''에서만 움직이게 되는데, 이렇게 물체가 경사면 위에서만 움직일 수 있다는 조건이 '''구속 조건'''이다. 원운동에서 물체가 '''원 궤도'''라는 구속 조건에서 움직이게 하는 구속력은 '''[[구심력]]'''이다. || '''운동''' || '''구속력''' || '''구속 조건''' || ''' 자유도 ''' || || 도르래 || 장력 || 한 물체가 내려가면 다른 물체는 같은 만큼 올라간다. || 1 || || 경사면 || 수직 항력 || 물체는 경사면 위에서만 운동한다. || 1 || || 원운동 || 구심력 || 물체는 원 궤도 위에서만 운동한다. || 1 || 구속 조건식이 하나씩 늘어날 때마다 [[자유도]]는 1씩 줄어들게 된다. '''자유도'''란 "차원"이랑 비슷한 개념인데, 물체의 운동을 표현하기 위해 필요한 변수의 개수이다. 예를 들어 평면 위에서 운동하는 입자는 x,y좌표로 위치를 나타낼 수 있으므로 자유도는 2이다.[* 열·[[통계역학]]에서는 회전 운동까지 고려해서 자유도를 늘리기도 하지만, 여기서 회전이나 진동은 고려하지 않는다.] 그런데 원운동이라는 구속 조건이 추가된다면 자유도는 1이 된다. 이제는 원에서 돌아간 [[각도]] 하나의 변수만 있으면 원운동에서의 위치를 나타낼 수 있기 때문이다. 아니면 지구 상에 있는 생명체의 위치는 위도, 경도, 고도로 나타낼 수 있으므로 자유도는 3이다. 그런데 그 생명체가 땅을 파거나 날아다닐 수 없어서 고도가 지면에 고정된다면 자유도는 2가 된다. 이런 생명체가 다섯 마리 있으면 각 생명체의 위도, 경도가 각각 5쌍 필요하므로 자유도는 10이다. 따라서, 3차원에서 [math( n )]개의 입자와 [math( m )]개의 구속 조건이 있다면 자유도는 [math( 3n-m )]가 된다. 참고로, 뉴턴 역학에서 이런 문제를 풀려면 구속력을 생각해야 되는데 구속력을 계산하는 것은 어렵다. 그런데 놀랍게도 라그랑주 역학에서는 구속력을 생각할 필요가 전혀 없고 구속 조건만 있으면 문제가 풀리게 된다![* 보통은 그렇다. 라그랑주 역학에서 라그랑지언에는 [[퍼텐셜 에너지]]가 포함되어 있기 때문에, 이는 [[보존력]]만 취급하게 된다. 따라서 [[마찰력]]과 같은 비보존력은 라그랑주 역학으로 풀기 힘들어진다.] 따라서 라그랑주 역학에서는 문제를 "어렵게" 만드는 요인은 그냥 구속 조건 뿐인데, 구속 조건은 일반화 좌표계로 아주 쉽게 풀 수 있다. '''일반화 좌표계'''란 자유도가 [math( s )]인 계를 [math( s )]개의 좌표로 표현할 수 있는 좌표계이다. 예를 들어, 3차원의 입자가 xy평면 위의 원 [math( x^2 + y^2 = R^2 )] 위에서 운동한다고 하자. 이때, 구속 조건은 다음과 같이 2개이다. || (1) 입자는 xy평면 위에서 운동한다. 즉, [math( z=0 )] (2) 입자는 원 [math( x^2 + y^2 = R^2 )] 위에서 운동한다. ([math( R )]은 상수) || 따라서, 이 물체의 자유도는 1이다. 그러면 이 물체는 단 하나의 일반화 좌표로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 x축에서 돌아간 각도 [math( \theta )] 하나만 있으면 이 물체의 위치는 정해진다. 이때, 좌표 [math( \theta )]를 '''일반화 좌표'''라고 한다. 이것을 시간으로 미분한 [math( \dot{\theta} )]는 '''일반화 속도'''라고 한다. 입자의 좌표 [math( x,y,z )]를 일반화 좌표 [math( \theta )]로 표시하는 것은 쉽다. || [math( \displaystyle x = R \cos \theta, y = R \sin \theta, z=0 )] || 시간으로 미분하면 입자의 속도도 일반화 좌표로 쓸 수 있다. || [math( \displaystyle \dot{x} = - \dot{\theta} R \sin \theta, \dot{y} = \dot{\theta} R \cos \theta, \dot{z}=0 )] || 보통 일반화 좌표는 알파벳 x 대신에 q를 써서 [math( q_j )]로, 일반화 속도는 [math( \dot{q} _j )]로 표시한다. 일반적으로, 위의 예시처럼 자유도 [math( s )]인 계의 입자의 좌표 [math( x_{a,i} )]는 [math( s)]개의 일반화 좌표 [math( q_j )]와 시간 [math( t )]의 함수로 표현할 수 있다. == [[라그랑주 역학#일반화 운동량|일반화 운동량]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=라그랑주 역학, 앵커=일반화 운동량)] [[분류:물리학]][[분류:역학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기