문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 0.999…=1 (문단 편집) === 엄밀한 증명 === 다행히도 [math(0.999\cdots=1)]이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 대학교 기초 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다. [math(0.999\cdots)]과 같은 표기를 쓰기 전에 일단 '[[무한소수]]'라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 자연수 [math(n)]에 대하여 수열 [math(\{a_n\})] 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 [math(0.999\cdots)]라고 한다면 [math(a_1 = 0.9,\,a_2 = 0.99,\,a_3 = 0.999,\,\cdots)]이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 [[극한]]으로써 정의된다. 간단히 설명하자면, [math(a_n)]의 극한이 [math(a)]라는 것은 [[엡실론-델타 논법|어떤 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여, [math(n)]이 어떤 자연수 [math(N)]보다 크면 [math(a_n)]과 [math(a)]의 차이가 [math(\varepsilon)]보다 작아지는 자연수 [math(N)]이 존재한다는 것, 달리 말하자면 [math(N)]을 [math(\varepsilon)]의 함수 [math(N(\varepsilon))]으로 나타낼 수 있음]]을 의미한다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다'라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않고도 [math(a_n)]가 [math(a)]로 무한히 접근할 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다. 첫 번째 문제는 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값이 존재하는지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇인지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 자연수 [math(n)]에 대해 [math(a_n)]보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수'와 같다. 이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 [math(A=\{a_n \mid n\in\mathbb{N}\})]이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 예를 들어 '[math(10)]'은 임의의 [math(a_n)]보다 크거나 같으므로 이 집합의 상계이다. [[실수(수학)|실수]]의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum = least upper bound)[* [math(x)]가 상계이고 [math(a < x)]인 모든 [math(a)]에 대해서 [math(a)]가 상계가 아니라면 [math(x)]는 상한이다.]은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수밖에 없도록 만든 개념이라서 그렇다. 이는 하한(infimum = greatest lower bound)도 마찬가지. 자세한 것은 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Least-upper-bound_property|링크]]를 참조. 그다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. [[단조 수렴 정리]](monotone convergence theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 [[유계]]이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다. 이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, 수열 [math(\{a_n\})]이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 집합 [math(A)]의 상한 [math(c)]로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 [math(\varepsilon)]이 존재하여 아무리 [math(N)]을 키워도 [math(N)]보다 큰 [math(n)]이 존재하여 [math(c)]과 [math(a_n)]의 차이가 [math(\varepsilon)]보다 커야 한다. [math(a_n)]은 단조증가수열이기에 [math(a_n < c - \varepsilon)]이라면 모든 [math(m\le n)]에 대해 [math(a_m < c - \varepsilon)]을 만족한다. 집합 [math(S = \{k \mid a_k < c - \varepsilon \})]를 가정하자. [math(S)]는 자연수의 집합이고 [math(S)]의 상한이 없기에 [math(S = N)]이 된다. 즉 모든 [math(a_n)]에 대해 [math(a_n < c - \varepsilon)]이다. 하지만 그럴 경우, [math(c)]가 집합 [math(A)]의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜냐하면 [math(c-0.5\varepsilon)]라는 수는 [math(c)]보다 작으면서도 [math(\{a_n\})]의 상계가 될 수 있기 때문이다. 이는 [math(c)]가 상한이라는 정의와 모순된다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값이 존재하며 그 값은 집합 [math(A)]의 상한과 같다. 이제 모든 증명이 끝났다. [math(\begin{aligned}a_n=1-\dfrac1{10^n}=0.\overbrace {999\cdots 9}^n\end{aligned})]이라고 하자. 그러면 집합 [math(A)]의 상한은 [math(1)]이다. 따라서 [math(0.999\cdots=1)]이다. [[엡실론-델타 논법|본 항목 서두에서 언급]]한 충분히 큰 자연수 [math(N(\varepsilon))]역시 [math(N(\varepsilon) = \left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil = -\lfloor\log_{10}\varepsilon\rfloor)][* [math(\lceil x \rceil)]은 천장 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]은 바닥 함수라고 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.[br][math(\begin{aligned}\lfloor x\rfloor&=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\} \\ \lceil x\rceil&=\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}\end{aligned})][br]바닥 함수는 흔히 말하는 [[최대 정수 함수|가우스 기호]]와 같은 함수로, 소수점 아래를 버리는 함수이며, 천장 함수는 반대로 소수점 아래를 정수로 올리는 함수다.]같은 형태로[* 부등식을 만족하는 [math(N)]을 구하는 것이기 때문에 [math(N(\varepsilon))]이 단 하나로 정해지는 건 아니다. 이를테면 [math(N(\varepsilon)=\left\lceil\log_{10}\dfrac2\varepsilon\right\rceil)]라고 놓아도 똑같은 과정을 거쳐 [math(\dfrac1{10^n}<\dfrac\varepsilon2)]이 얻어지므로 [math(|a_n-1|<\varepsilon)]을 만족한다.] 항상 존재하는 것을 알 수 있는데, 천장 함수의 정의에 따라 [math(N(\varepsilon)=\left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil\ge\log_{10}\dfrac1\varepsilon)]이고 [math(n>N)]이면 [math(10^n>10^N\ge10^{\log_{10}\frac1\varepsilon} = \dfrac1\varepsilon \Rightarrow \dfrac1{10^n}<\dfrac1{10^N}\le\varepsilon)]이므로 [math(|a_n-1| = \dfrac1{10^n}<\varepsilon)]을 만족한다. 따라서 충분히 큰 양수 [math(N)]은 [math(N = \left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil)]처럼 [math(\varepsilon)]의 함수 형태로서 존재함을 알 수 있으며 따라서 [math(n\to\infty)]의 극한, 즉 [math(0.999\cdots=1)]이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기