문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 0.999…=1 (문단 편집) === 교육과정상의 문제 === 현재 한국 중등교과의 순환소수 도입에서 [math(0.999\cdots=1)]의 문제를 논하는 것은 금기시되고 있다. 교육부 및 평가원의 2015 개정 교육과정 고시[* [[https://www.moe.go.kr/boardCnts/view.do?boardID=141&boardSeq=60747&lev=0&searchType=null&statusYN=W&page=20&s=moe&m=040401&opType=N|여기서]] 확인 가능. 수학과는 별책 8]에는 대놓고 "유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않는다."라고 교수학습 유의사항에 명시되어 있다. 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있는 경우는 [math(XXX.XX999\cdots)] 같은 꼴이 유일하기 때문에, 이건 누가 봐도 이 문제를 저격한 것이다. 그 다음 항목이 바로 "순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로 다룬다"이다. 순환소수의 개념이 상당히 느슨하게 다루어지고 있지만, 소수가 나오는 수준을 생각하면 이게 맞는다. 초등교과에서 제기된 소수의 나눗셈에 대한 의문을[* 초등 6학년까지의 소수의 나눗셈에서는 유한자리까지만 계산하고 나머지는 근삿값 처리하고, 무한한 자릿수를 언급하는 것은 금지된다.] 조금이나마 풀어주면서 한편으로는 [[실수(수학)|실수]]에 대한 도입 역할로서 무한소수를 소개하는 정도에 그쳐야 하는데, 이런 상황에서 극한이니 뭐니 하며 만리장성을 쌓으려 들면 바로 [[수포자]]를 양산하는 악순환이 시작된다. 실제로 1960년대~1970년대 즈음에 아동·청소년의 인지능력이나 심리적 발달주기 따위는 알 바 아니라는 듯이 오로지 학술적 엄밀함만을 강조하는 본질주의적 수학교육이 유행했으나 결과적으로 수포자만 늘어났던 전례가 있다.[* 이를 새수학운동 내지는 수학교육 현대화 운동, 현대수학운동이라 칭한다. 자세한 사연은 [[스푸트니크 쇼크]], [[니콜라 부르바키]], [[제3차 교육과정]] 참조. ] 이런 교육학적 고찰도 없이 [math(0.999\cdots=1)]에 대한 오해의 원인을 무작정 교사들이 멍청하다거나 엄밀한 정의를 가르치지 않는 교육과정이 틀려먹었다고 단순하게만 주장하는 것은 비판이라기보다는 부당하고 모욕적인 '비난'에 가깝다. 문제는 이 [math(0.999\cdots)]의 존재를 생각하지 않으면서 오개념이 발생하는 위험이다. 대부분의 사람들이 극한의 정의에만 매몰되어 [math(0.999\cdots=1)]에 불편함을 느끼는 심리적인 이유를 간과하는데, 바로 '''수의 [[기수법]] 표현이 유일하다는 고정관념'''이다. 사실 [math(0.999\cdots=1)]을 보면 바로 '어 생각해보니 그러네'라는 소리가 나오긴 하지만, 이 점을 생각하지 않는다면 이건 [math(0.999\cdots=1)]을 알고 있는 사람도, 심지어 수학 전공자들도 가끔씩 착각하는 오개념이다. 또한 저 식은 유한소수 표현이랑 순환소수 표현이 같아질 수 있다는 것을 의미하기도 하며 '''애초에 유한소수라는 개념이 특정 [[진법#s-1]]에서 소수점 아래에서 끝에 오는 [math(\bf0)]은 생략한다는 인위적인 약속에 의해 생겨난 작위적인 개념'''이며 '''소수점 아래에서 특정 자리수 이후로 [math(\bf0)]이 반복되는 무한 소수를 다르게 부르는 것'''에 불과하다.[* 대표적인 예로 [math(\dfrac18=0.125)]같이 10진법에서 유한소수로 보이는 소수도 9진법에서는 [math(0.\dot1_{(9)})]인 무한소수이자 10진법이라도 0.125 뒤에 0이 무한이 붙는 게 된다.] 즉 '''유한소수와 순환소수는 칼같이 나누어 질 수 있는 게 아니고, 실수의 하위분류는 더더욱 아니다.''' 수의 표현과 수의 차이를 엄밀히 구분하지 못하는 것은 추상성이 충분히 발달하지 못한 초/중등 과정에서 흔히 발생하는 오개념 중 하나이다. 하지만 [math(0.999\cdots=1)]은 상기한 오개념들의 '유일한' 반례이기 때문에, [[10진법]] 외의 진법을 배우지 않는 한 이것만 없으면 모든 실수를 소수표현으로 유일하게 나타내고, 유한소수/순환소수의 분류 기준을 엄밀히 세우는 것이 그럴듯해 보이는 착각을 준다. 이런 상황에서 기존의 고정관념을 지키고자 한다면 [math(0.999\cdots=1)]을 부정하기 위해 이상한 논리를 만들어내게 되는 것이다. 상기 증명 항목의 세로셈법 계산을 '끝없이 계산하는 것' 혹은 순환소수의 표기를 [[급수(수학)|무한급수]] 개념으로 대체함에 따라 직관적으로 '무한히 계산하는 것', '다가가는 수' 등으로 오해하게 된 것도 한몫한다. '[math(\cdots)]'과 같은 표기를 쓰는 이유는 단지 [math(0.\dot9)], [math(0.\overline9)] 같이 순환마디를 명시하는 표기를 쓰지 않으면 10진법 체계에서 해당 값을 정확하게 나타낼 수 없기 때문(표기상의 문제)에 불과하며, '''\'한없이 다가가가는 중' 혹은 '[[무한 루프|끝없이 계산 중]]'이라는 것을 의미하는 게 아니다.''' 이는 수직선([[실직선]])을 이용해서 도식화하면 더 명확해지는데 [math(\dfrac{0.999\cdots}9 = 0.111\cdots = 0.\dot1 = \dfrac19)]이며 이는 수직선상에 구간 [math([0,1])]을 [math(9)]등분하는 점 중 가장 작은 값의 '''고정된 점'''이다. [math(0.999\cdots = 9\times0.111\cdots)]는 앞선 점보다 원점에서 [math(9)]배 떨어진 고정된 지점이며, 그 값은 정확하게 [math(9\times\dfrac19 = 1)]로, '다가가는 수' 혹은 '한없이 가까워지는 것'이 아님이 명확하게 드러난다. 즉 유한소수와 순환소수를 수의 '표현'이 아니라 '수' 자체로 간주하는 사고방식, [[기수법]] 표현의 유일성에 대한 정확하지 못한 언급, 유리수가 유한소수와 순환소수로 분류된다는 뉘앙스를 주는 서술방식 이들 모두가 [math(0.999\cdots=1)]에 대한 오해에 기여한다고 볼 수 있다. 이상적인 중등 수학 교사라면 항상 [math(0.999\cdots)]을 염두에 두며 오해의 소지가 있는 이런 표현들을 피하면서도, 한편으로는 수준 밖 내용을 끌어들이지 않기 위해 [math(0.999\cdots)]에 대한 언급 자체를 되도록 피해야 하며, 만약 혹시 모를 학생이 [math(0.999\cdots)]을 물어본다면 '''학생의 수준 내에서''' 정확하게 설명해 줄 수 있어야 한다. 물론 현실에서는 그런 거 깔끔하게 씹는 참고서가 넘쳐나며 그런 참고서를 본 학생들의 수학교사를 향한 질문도 매년 반복된다. 하지만 이런 질문에 슬기로운 대처와 썩 만족스럽지 못한 반응을 보이는 학생에 대한 적절한 지도는 막 처음으로 모의수업을 해보는 사범대생과 중등교원임용 수험생부터 오랜 경력의 정교사에 이르기까지 늘 고민과 시행착오를 반복하며 자신만의 교육철학을 정립해야 하는 교사들의 숙명이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기