문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 5차원 (문단 편집) === 5차원 이상 정다포체의 성질 === [[단체(기하학)|단체]](simplex), [[초입방체]](hypercube), 또는 [[정축체]](orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 5차원 이상의 유클리드 공간에서는 존재하지 않는다. (n-1)입방체 벌집 외의 다른 정규 벌집은 6차원 이상의 공간에서 존재하지 않는다. 심지어 3차원이나 4차원처럼 오목한 정다포체조차 5차원 이상에선 존재하지 않는다. 5차원에서 정이십사포체에 대응하는 {3,4,3,3}과 {3,3,4,3}은 유클리드 타일링이 되며 정백이십포체에 대응하는 {5,3,3,3}과 정육백포체에 대응하는 {3,3,3,5}는 쌍곡이 된다. 심지어 꼭지점이 [[정백이십포체]]인 {3,5,3,3}이나 초입체가 [[정육백포체]]인 {3,3,5,3} 역시 꼭짓점이나 초입체가 쌍곡이다. 특히 7차원[* 이는 정수 차원일 때 기준이며, 실수로 확장시키면 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]으로, 대략 6.2360681차원 이다.] 이상에서는 오각형 계열 중에서 입방체{5,3,...,3}를 계승한 경우 한정으로 이포각이 다시 측정되지만, 면이나 꼭짓점 도형이 논콤팩트여서 그렇다 오각입방체는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.2360681 차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다.[* 가운데가 5각형이 들어간 경우는 6차원에서도 이포각 측정이 가능한 것도 있다. {3,5,3,3,3}과 {3,5,3,5/2,5}, {3,5,3,3,5/2}은 6차원 도형이지만 이포각이 측정 가능하지만 {3,3,5,3,3}, {3,3,5,3,5/2}, {5/2,3,3,5,5/2}, {3,3,5/2,5,3}, {3,3,3,5,3} 따위는 6차원에서 측정이 불가능하다. 적어도 n-2차원 이하에서 쌍곡이 시작해야 가능하다.] 마찬가지로 육각형 계열도 3차원에서 유클리드 벌집이 되어서 4차원에서는 이포각이 무한으로 발산하고, 육각입방체 한정으로 5차원에서 이포각이 0도가 되며, 다시 이포각을 측정할 수 있게 된다. 반면에 육각정축체는 3차원에서 이포각이 180°가 되며, 그 이후로는 모두 더이상 측정이 불가능해진다. 그리고 6차원 단체는 5차원 단체 7개로, 6차원 입방체는 5차원 입방체 12개로, 6차원 정축체는 5차원 단체 64개로 만들어진다. 따라서 각 차원에 해당하는 볼록 정다포체가 3종류밖에 없다.[* 5차원 이상의 공간에서 존재하는 정다포체는 각각 n차원 정(n+1)포체(=단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2^^n^^포체(=정축체)이다.] 4차원 이하의 [[반초입방체]]는 [[정다포체]]이지만, 5차원 이상의 반초입방체는 정다포체가 아니다.[* [[2차원]]: [[선분]], [[3차원]]: [[정사면체]], [[4차원]]: [[정십육포체]]] 5차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 4차원 다양체(4변수함수)가 그려지듯이 n차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 n-1차원 다양체(n-1변수함수)가 그려진다고 한다. 5차원부터는 [[반초입방체]]라는 새로운 개념의 도형이 생긴다. 무한차원까지 존재하며 n-demihypercube로 불린다. 참고로 5차원 단체와 정축체, 입방체의 면적은 다음과 같다. {3,3,3,3}(5-단체) ||꼭지점(vertex, 0차원)||6개|| ||모서리(edge, 1차원)||15개|| ||면(face, 2차원)||[[정삼각형]] 20개|| ||포(cell, 3차원)||[[정사면체]] 15개|| ||초입체(4차원)||[[정오포체]] 6개|| ||쌍대||자기자신|| 높이 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{5}a)] 총 모서리 길이(total edge length) = [math(15a)] 총 면적(total surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)] 겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}a^3)] 초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{16}a^4)] 초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{480}a^5)]≈0.0036a^^5^^ 외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{6}a)] 모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)] 면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)] 입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{12}a)] 내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{30}a)] {4,3,3,3}(5-입방체) ||꼭지점(vertex, 0차원)||32개|| ||모서리(edge, 1차원)||80개|| ||면(face, 2차원)||[[정사각형]] 80개|| ||포(cell, 3차원)||[[정육면체]] 40개|| ||초입체(4차원)||[[정팔포체]] 10개|| ||쌍대||5-정축체|| 총 모서리 길이(total edge length) = [math(80a)] 총 면적(total surface area) = [math(80a^2)] 겉부피(surcell volume) = [math(40a^3)] 초겉부피(bulk) = [math(10a^4)] 초초부피 = [math(a^5)] 외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{2}a)] 모서리접5-초구의 반지름 = [math(a)] 면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)] 입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)] 내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)] {3,3,3,4}(5-정축체) ||꼭지점(vertex, 0차원)||10개|| ||모서리(edge, 1차원)||40개|| ||면(face, 2차원)||[[정삼각형]] 80개|| ||포(cell, 3차원)||[[정사면체]] 80개|| ||초입체(4차원)||[[정오포체]] 32개|| ||쌍대||5-입방체|| 총 모서리 길이(total edge length) = [math(40a)] 총 면적(total surface area) = [math(20\sqrt{3}a^2)] 겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{20\sqrt{2}}{3}a^3)] 초겉부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{3}a^4)] 초초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{30}a^5)]≈0.0471a^^5^^[* 정팔면체의 초부피의 정확히 1/10배와 같다.] 외접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)] 모서리접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)] 면접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)] 입체접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)] 내접5-초구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{10}a)] {3,4,3,3}, {3,3,4,3}, {4,3,3,4} 이렇게 3개는 초초부피가 무한대로 발산하게 된다. 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 비율은 다음과 같다. {3,4,3,3} 1:12:32:24:3 {3,3,4,3} 3:24:32:12:1 {4,3,3,4} 1:4:6:4:1저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기