문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 5차원 (문단 편집) ====# 쌍곡 #==== {5,3,3,3}과 {3,3,3,5}은 5차원 이상에서 쌍곡이 되기에 6차원 이상에서도 당연히 논콤팩트가 되어 사라지며 쌍곡이지만 작성해보도록 한다. 5차원에서는 오각입방체, 오각정축체 모두 반지름이 마이너스 허수가 나온다. 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2이라는 오일러 공식을 이용하면 3차원과 5차원 쌍곡은 몇포체인지 추정값을 알 수 있다 한다.[* 3차원에는 면-모서리+꼭지점=2라는 공식으로 알 수 있는데 음수가 나온다. 예를 들어 {7,3}이 -12면체이거나 {3,7}이 -28면체인 등. 반면 4차원, 6차원 등 짝수차원은 이런 식으로 추정하기가 불가능하며 다른 방법을 알아봐야 한다. 홀수차원이 초등적인 증명으로도 쉽게 풀렸던 것이며 가우스-보네 정리조차도 3차원 스패리샐, 유클리디안, 쌍곡 타일링에 관련된 정리라 짝수차원은 일반적인 방법으로는 구할 수 없다.] 이 공식을 이용할 시 {5,3,3,3}은 2포체, {3,3,3,5}는 240포체라는 결과값이 나온다. 스패리샐 정다포체가 아니기 때문에 각주로 적었다. {3,5,3,3}, {3,3,5,3}은 면 또는 꼭짓점이 쌍곡이지만, 이것은 {3,5,3}을 먼저 알아야 작성할 수 있다. 또한 {5,3,3,4}, {4,3,3,5}, {5,3,3,5} 도 그러한 공식을 써서 이론상 구해볼 수는 있겠지만 {4,3,4,3}, {3,4,3,4}와 같이 n-1차원 도형이 유클리드 벌집 또는 쌍곡인 경우 각각 파라콤팩트, 논콤팩트라고 부르는데, 이런 경우 끝까지 그릴 수 없게 된다. 5차원에선 초입체-입체+면-모서리+꼭지점=2가 되는 값을 찾으면 가능하다. {5,3,3,3}(오각입방체 벌집) 초입체: [[정백이십포체]] 2개, 입체: [[정십이면체]] 120개, 면: [[정오각형]] 480개, 모서리: 600개, 꼭지점: 240개, 총 모서리 길이:[math(600a)], 총 면적:[math(120\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)], 총 부피:[math(30(15+7{\sqrt{5}})a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{15}{2}(105+47{\sqrt{5}})a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{3\sqrt{-1677610-750250\sqrt{5}}}{4}a^5)]≈-1373.79447ia^^5^^[* 값이 크게 나오는 이유가 (정백이십포체의 체적×내접구의 반지름×등각높이(1/5)×포체의 수(2))를 하는데 정백이십포체의 체적과 내접구의 반지름이 값이 크지만 약분이 조금밖에 안되어서 그렇다.], 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-10-5\sqrt{5}}}{2}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-11-5\sqrt{5}}}{2}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-300-135\sqrt{5}}}{10}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-58-26\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-17\sqrt{5}}}{2}a)] {3,3,3,5}(오각정축체 벌집) 초입체: [[정오포체]] 240개, 입체: [[정사면체]] 600개, 면: [[정삼각형]] 480개, 모서리: 120개, 꼭지점: 2개, 총 모서리 길이:[math(120a)], 총 면적:[math(120\sqrt{3}a^2)], 총 부피:[math(50\sqrt{2}a^3)], 겉초부피:[math(\dfrac{5\sqrt{5}}{2}a^4)], 초초부피:[math(-\dfrac{\sqrt{-38-10\sqrt{5}}}{8}a^5)]≈-0.97115ia^^5^^, 외접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 모서리접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-2-2\sqrt{5}}}{4}a)], 면접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-30-18\sqrt{5}}}{12}a)], 입체접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-4-2\sqrt{5}}}{4}a)], 내접5-초구의 반지름:[math(-\dfrac{\sqrt{-190-50\sqrt{5}}}{20}a)] 5차원에서는 4가지의 오목 정다포체 hyperbolic 벌집이 존재하는데, {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5}가 있다. 그리고 5차원에서의 다른 것들 한 모서리에서의 이면각의 합 360°보다 크지만 density 값이 결정되지 않아서 쌍곡이 되지 못한 예시도 무수히 많다. 그리고 오목한 유클리드 정규 벌집은 실제로는 만들 수 없지만, 내각의 합이 360°가 되는 경우를 생각해보고, 그 조건을 만족시키는 오목한 계열을 찾아보면 5차원에서는 {5,3,3,5/2}, {5/2,3,3,5}, {5/2,3,5,5/2}, {5/2,5,3,5/2}, {5,3,5/2,5}, {5,5/2,3,5}, {3,5/2,5,3}, {3,5,5/2,3}, {5,5/2,5,5/2}, {5/2,5,5/2,5}도 이포각의 합이 360°가 되어서 유클리드 정규 벌집이, {5/2,3,5,3}, {3,5,3,5/2}, {5/2,5,3,5}, {5,3,5,5/2} 이렇게 4가지는 쌍곡을 가지는 오목 쌍곡 벌집(논콤팩트)이 된다. * small stellated 120-cell honeycomb{5/2,5,3,3} * pentagrammic order 600-cell honeycomb{3,3,5,5/2} * order 5 icosihedral 120-cell honeycomb{3,5,5/2,5} * great 120-cell honeycomb{5,5/2,5,3} 5차원 오목 쌍곡의 초입체, 입체, 면, 모서리, 꼭지점의 수는 다음과 같다. density 고려하지 않은 값 || 오목 쌍곡 || 초입체 || 입체 || 면 || 모서리 || 꼭지점 || || {5/2,5,3,3} || 8/5 || 72 || 192 || 120 || 2/5 || || {3,3,5,5/2} || 2/5 || 120 || 192 || 72 || 8/5 || || {3,5,5/2,5} || 6/5 || 36 || 48 || 12 || 4/5 || || {5,5/2,5,3} || 4/5 || 12 || 48 || 36 || 6/5 || density 고려한 값 || 오목 쌍곡 || 초입체 || 입체 || 면 || 모서리 || 꼭지점 || 초입체-입체+면-모서리+꼭지점 || 몇배의 쌍곡 공간을 덮는 수(density) || || {5/2,5,3,3} || 2 || 120 || 480 || 600 || 2 || -236 || 5 || || {3,3,5,5/2} || 2 || 600 || 480 || 120 || 2 || -236 || 5 || || {3,5,5/2,5} || 2 || 120 || 480 || 120 || 2 || 244 || 10 || || {5,5/2,5,3} || 2 || 120 || 480 || 120 || 2 || 244 || 10 || 여담으로 이들 쌍곡 오각형 계열 중 {5,3,3,3}, {5/2,5,3,3}, {5,5/2,5,3}, {3,5,5/2,5} 이렇게 4개는 이포각이 완전히 같다. * {5,3,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i° * {3,3,3,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{5}\right))]~180-24.70736i° * {5/2,5,3,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i° * {3,3,5,5/2} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-5-2\sqrt{5}\right))]~180-168.37531i° * {5,5/2,5,3} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i° * {3,5,5/2,5} 벌집 [math(\cos^{-1}\left(-2-\sqrt{5}\right))]~180-121.61316i°저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기