문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 거듭제곱 (문단 편집) ==== [[테일러 급수|멱급수]]를 이용한 정의 ==== [math(\displaystyle \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!})] [math(\displaystyle \operatorname{cis}(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})] [[테일러 급수]]를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다. [math(\exp(x))]는 exponential x의 준말로, 자연지수함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다. [math(\operatorname{cis}(x))]는 [[오일러 공식]]을 구성하는 요소의 이름자[* '''c'''osine, '''i'''maginary unit, '''s'''ine]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수지수함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다. 얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 [math(x)]는 실수 및 복소수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수만을 가지고 이로부터 바로, 즉 위에서 소개한 여러 단계의 확장 없이 바로 실수, 복소수 지수로 확장하는 것이다. 이것만 놓고 보면 별로 지수의 확장으로 보이지 않을 것이다. 하지만 저 정의로부터 바로 다음을 보일 수 있다.[* 물론 엄밀한 증명은 아니다. 다만 두번째 줄 각 변의 두 극한들이 정말 같은가 정도만 확인해 주면 충분하다. (사실 맨 왼쪽 변과 맨 오른쪽 변을 바로 비교할 수 있으며, 그것만으로도 충분하다.) 더군다나 이 증명(의 스케치)은 곧 소개될 다른 확장들에서도 유효하다.] [math(\displaystyle \exp(x+y) = \sum_{n=0}^{\infty} {(x+y)^n \over n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r})] [math(\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^n \frac{x^r}{r!} \frac{y^{n-r}}{(n-r)!} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \frac{y^m}{m!} = \left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \right) \left( \sum_{m=0}^{\infty} \frac{y^m}{m!} \right))] [math(\displaystyle = \exp(x) \exp(y).)] 여기서 [math(x, y)]는 임의의 복소수이다. 그리고 물론 [math(\exp(0) = 1)]이다. 그런데 이 성질들에 해당하는 지수의 성질들, 즉 [math(a^{m+n} = a^m a^n)], [math(a^0 = 1)]로부터 위에서 소개한 정수, 유리수로의 확장이 자연스럽게 이루어졌다는 걸 감안하면 이렇게 정의한 [math(\exp)]가 거듭제곱을 충분히 잘 묘사해 준다는 걸 알 수 있다. 사실 여기서 [math(e = \exp(1))]이라고 정의하면, 저 성질로부터 모든 자연수 [math(n)]에 대해 [math(\exp(n) = (\exp(1))^n = e^n)]이고, [math(n)]이 음의 정수인 경우에 대해 [math(\exp(n) = \frac{1}{\exp(-n)} = \frac{1}{e^{-n}})]이며[* [math(\exp(n) \exp(-n) = \exp(n + (-n)) = \exp(0) = 1)]. ], 임의의 정수 [math(m)]과 양의 정수 [math(n)]에 대하여 [math(\left( \exp\left( \frac{m}{n} \right) \right)^n = \exp\left( \frac{m}{n} \cdot n \right) = \exp(m) = e^m)]임을 바로 알 수 있다. 그 다음 단계인 실수로의 확장과 비교하려면 [math(\exp)]가 연속이어야 한다는 걸 보여야 하지만[* 임의의 유계 폐구간을 잡아 그 안에서만 [math(\exp)]를 생각했을 때 이게 사실 균등수렴하는 함수열의 극한임을 보이는 것으로 보일 수 있다.] 그리 어렵지 않고 이 연속성 덕분에 유리수 지수에서 같은 것만으로도 실수 지수에서 같아야 한다는 걸 바로 보일 수 있다.[* 두 위상공간 [math(X, Y)]와 두 연속 사상 [math(f: X \to Y)], [math(g: X \to Y)]에 대하여 [math(Y)]가 Hausdorff하고 어떤 조밀한 (dense) 부분집합 [math(D \subset X)]가 존재해 모든 [math(x \in D)]에 대하여 [math(f(x) = g(x))]이면 [math(f = g)]임을 쉽게 보일 수 있다. 보통 위상의 실수 집합은 Hausdorff하고 유리수 집합은 조밀하다는 것 또한 상기하자.] 복소수로의 확장은 더 간단한 게, 위에서 소개한 복소수로의 확장은 아예 이 문단에서의 정의로부터 바로 얻을 수 있는 그 방법과 똑같다.[* 단, 이 섹션의 맨 마지막 문단에서 소개한 내용이 신경 쓰이거든 잠깐 [math(\exp(ix) = \cos{x} + i\sin{x})]를 잊어버리는 게 좋을 수도 있다.] 최종적으로 모든 복소수 [math(z)]에 대해 [math(\exp(z))]이 위에서 확장하고 확장한 끝에 얻은 [math(e^z)]과 같다는 걸 볼 수 있었다. 임의의 [math(a)]에 대해 [math(a^z)]는 어떻게 할 거냐 할 수 있지만, 이건 그냥 [math(\exp(z \log{a}))]와 비교하면 된다. 여기서 [math(\log)]는 [\math(\exp)]의 역함수로 정의된다.[* 물론 [math(\log)] 역시 [math(\exp)]와 같은 급수 형태로 정의되기도 한다. 즉, [math(\displaystyle \log{(1+x)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} x^n)]과 같이 정의하자는 것이다. 단, 이 급수가 모든 [math(x)]에 대해 수렴하지는 않으므로 어느 정도 제약이 있다. 그래도 적당한 범위 안에서 잘 작동하며, 특히 아래에서 언급할 행렬 지수를 다룰 때에 이 식을 종종 쓰곤 한다. 더군다나 아래에서 잠깐 언급할 (formal) power series에서는 수렴 여부 같은 걸 걱정할 필요가 사실 없다. 이는 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 '''순수 대수학적으로''' 구하는 과정에서 활용된다. 자세한 내용은 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보라.] 실수 정의역 한정으로 [\math(\exp)]가 순증가함수인 걸 쉽게 보일 수 있으니 이는 별 문제가 없다. [math(a)]가 양의 실수가 아니면 어떡할 건가 싶긴 할텐데, 그런 경우엔 [math(z)]가 정수이거나 하지 않은 이상 어차피 위에서도 그리 잘 정의되는 경우가 아녔으니 넘어가도 좋을 것이다. 무슨 지적 유희인가 싶겠지만, 이러한 방식의 확장은 수학 전반의 분야에서 유용하게 쓰인다. 사실 위에서 소개한 지수의 확장보다 훨씬 더 좋은데, 거의 순전히 대수적으로 구성된 정의라 대수적 구조가 있는 곳에선 많은 경우 활용이 가능한 식이기 때문이다. 예를 들어 행렬 지수 같은 것에서도 얼마든지 활용할 수 있다. 예를 들면 실수 혹은 복소수 성분의 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(\exp(A))]를 위와 같이 정의할 수 있고, [math(A)]가 뭐든 이 식은 잘 정의된다. 심지어 [math(AB = BA)]인 경우에 한해서 [math(\exp(A + B) = \exp(A) \exp(B))]도 성립한다.[* [math(AB \ne BA)]인 경우에 대해선 상황이 복잡한데, 이에 대해선 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 찾아 보라.] 여기서 '거의 순전히 대수적으로'라고 한 이유는 아무래도 "무한합"이 들어가 있어서 그렇다. 물론 그 어느 분야에서도 0이 아닌 무한히 많은 항들의 "합"은 잘 정의되지 않으며, 그렇기 때문에 해석학의 경우에서처럼 극한을 활용한다든가 (formal) power series 같은 걸 활용한다든가 해야 한다.[* 앞에서 말한 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보든가 아니면 S. Lang의 Algebra, 3rd Ed. (Springer, 2002) 중 Section IV.9를 보자.] 그도 아니면 [math(A)]가 nilpotent한[* 적당한 양의 정수 [math(r)]이 존재해 [math(A^r = 0)].] 경우만 생각한다든가 할 수 있다. 이런 경우 0이 아닌 항의 개수가 유한해지기 때문에 굳이 무한합 같이 써놔도 전혀 상관 없기 때문에 괜찮다. 이런 특수한 경우는 [[리 군]]과 [[리 대수]] 같은 걸 다룰 때 자주 등장한다.[* 사실 리 군과 리 대수는 이 exponential map과 뗄레야 뗄 수 없는 관계를 많이 가진다. 주석 중 하나에서 소개한 Campbell-Baker-Haudorff formula 역시 이 분야에서 나온 것.] 그 외에도 행렬 혹은 선형 사상을 지수로 하는 경우가 순수수학은 물론이고 양자역학 등 수많은 과학, 공학 분야에서 자주 쓰이기 때문에 이와 같은 방식의 정의는 몹시 유용하다. 심지어 위에서 소개한 [math(\operatorname{cis}(x))]로부터 '''[math(\sin)], [math(\cos)], 그리고 [math(\pi)], 즉 원주율을 정의'''할 수 있다. 무슨 뜬금없는 소린가 싶겠지만 저 셋을 '''엄밀하게''' 정의하는 것은 생각보다 쉽지 않다. 여기서 [math(\operatorname{cis}(x))]의 성질들을 잘 들여다 보면 이 녀석의 상(image)이 복소평면 상에서 단위원과 똑같다는 것을[* 의외로 쉽지 않은데, 단위원에 (즉 [math(|z| = 1)]을 만족하는 모든 복소수 [math(z)]로만 구성된 집합에) 포함된다는 걸 보이는 건 위에서 언급한 성질에 의하여 단 몇 단어로 끝나지만 그 상이 단위원 전체와 같다는 것을 보이는 건 다른 문제이고, 이건 좀 어렵다.], 그리고 이 함수가 주기를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이제 이 함수의 실수부와 허수부를 각각 [math(\cos)], [math(\sin)]로 표기하고 그 주기를 [math(2\pi)]라고 표기하면, 결국 우리가 기존에 알던 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\pi)]를 얻을 수 있다.[* W. Rudin, Real and Complex Analysis, Springer (1970, International Ed.), Prologue chapter 참고.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기