문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 과잉수 (문단 편집) == 성질 == * [[소수(수론)|소수]]는 (진약수가 1밖에 없으므로) 모두 [[부족수]]이고[* 즉 2도 과잉수가 될 수 없다. 참고로 2의 경우에는 소수 중 유일한 짝수이며, 1은 소수에 해당되지 않는다.] 1도(그야 당연히 진약수가 없으니까) 부족수이므로 과잉수는 모두 [[합성수]]이며, 소인수가 적어도 2개 이상, 약수가 적어도 6개 이상, 각 소인수의 지수의 합이 적어도 3 이어야 한다. 물론 역으로 합성수라고 해서 반드시 과잉수인 것은 아니다.[* 6은 합성수이지만 [[완전수]]이며, 110은 합성수이지만 [[부족수]]다.] * 가장 작은 과잉수는 [[12]]이며 가장 작은 홀수 과잉수는 [[945]]이다.[* 동시에 홀수의 첫 번째 반완전수이다.] * 과잉수 중 진약수의 일부의 합이 자기자신과 같아지는 것은 [[반완전수]]이고[* 반완전수는 진약수의 합으로 표기될 수 있는 경우가 한두 가지 밖에 없는 것도 있지만, 대부분은 어떤 과잉수 자기자신과 동일하게 만드는 방법이 3가지 이상인 것도 많이 있다. 즉 괴짜수는 그러한 방법이 단 한 가지도 없는 과잉수이다.], 진약수의 일부를 더해도 자기자신을 나타낼 수 없으면 괴짜수이다. * 자기 자신을 제외한 [[완전수]], 과잉수의 [[배수(수학)|배수]]는 모두 과잉수이다. 그러므로 과잉수는 무한히 많다. 예를 들어 완전수인 6의 경우, [[6]]을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이다.[* 6n(n은 2이상의 자연수)은 반드시 진약수로 1, 2, 3, 6, n, 2n, 3n을 가지므로 이들의 합만 해도 이미 1+2+3+6+n+2n+3n=6n+12>6n이다.] 마찬가지로 완전수를 진약수로 갖는 모든 자연수는 과잉수이다. '''그리고 진약수들이 모두 [[부족수]]인 과잉수 즉 다른 과잉수 또는 완전수의 자기자신이 아닌 배수들로 표기될 수 없는 과잉수는 [[https://oeis.org/A071395|primitive abundant number]][* 원시 과잉수]라고 하며, 1000 이하의 수 중 딱 14개 존재한다.''' [* 가장 작은 원시 과잉수는 [[20]]이다.]원시 과잉수 역시 무한히 많다. 또한, 완전수까지 포함한다면 총 17개가 있다. 이들 중 15개는 (반)완전수이고, 나머지 둘([[70]], [[836]])은 괴짜수이다. 마찬가지로 어떤 [[반완전수]]의 진약수에 [[반완전수]]가 전혀 없어서 모두 부족수, 또는 괴짜수와 [[부족수]]이더라도 일부 진약수의 합이 자기자신이 되면 그 반완전수는 [[https://oeis.org/A306987|primitive semiperfect number]][* 원시 반완전수]이다. * 2^^n^^×p(단 p는 2^^n^^2^^n+1^^인 경우 부족수가 된다. * 완전수 또는 과잉수 n의 약수(총 k개)를 각각 n,,1,,, n,,2,,, ..., n,,k,,라 하면 n은 완전수 또는 과잉수이므로 n,,1,,+n,,2,,+...+n,,k,,≥2n이다. m이 자연수일 때, 이들 각각에 m을 곱한 m×n,,1,,, m×n,,2,,, ..., m×n,,k,,는 mn의 약수이고 (m×n,,1,,)+(m×n,,2,,)+...+(m×n,,k,,)=m×(n,,1,,+n,,2,,+...+n,,k,,)≥2mn이다. m>1이면 이 외에 1도 약수이고, 1은 (m×n,,a,,)(a는 1≤a≤k인 자연수) 꼴로 나타낼 수 없으므로 mn의 모든 약수의 합은 최소 2mn+1로 2mn보다 크다. 따라서 m>1이거나, 즉 완전수 또는 과잉수의 2배, 3배, ...이거나 n이 과잉수이면 mn은 과잉수이며, 완전수인 경우는 완전수의 1배인 경우뿐이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기