문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 군(대수학) (문단 편집) == 개요 == 군(群, group) 군은 어떤 집합에 두 원소의 연산인 [[이항연산]](binary operation)이 주어진 구조로 집합과 연산을 묶어서 표기한다. [* (N,+)과 같은식으로], 군은 가장 쉽게 접할 수 있는 기본적인 대수적 구조이며 우리가 배우는 [[정수]], [[유리수]], [[실수]], [[복소수]] 위에서의 [[덧셈]], [[곱셈]]등이 군에 속하며 행렬의 곱셈 또한 군 구조를 가진다. 정확한 수학적 정의는 다음과 같다. 집합 G의 이항연산 * [* 여기서 *은 곱셈이 아니다.][* 두 원소 a와 b에 대해 G의 원소 a*b를 대응시키는 것. 엄밀히 말하면 함수 *:G\times G\rightarrow G이다.] 이 다음 조건을 만족할 때, \left(G, *\right)를 군이라 한다. 1. (결합법칙; association law) 임의의 세 원소 a,b,c\in G에 대해,[br]\left( a*b \right)*c=a*\left( b*c \right). 1. (항등원의 존재; existence of indentity) e\in G이 존재하여,G의 임의의 원소 a에 대해,[br]a*e =a =e*a [br]항등원은 존재하면 유일하므로[* e'도 항등원이면 e = e*e' = e'이므로 유일하다.] 이 원소를 1, e, i 등으로 적는다. 1. (역원의 존재; existence of inverse) 임의의 a\in G에 대해, x\in G가 존재하여,[br]a*x=e=x*a[br]역원은 존재하면 유일하므로[* y 도 a 의 역원이면 x = x*e = x*\left(a*y\right) = \left(x*a\right)*y =e*y =y 이므로 유일하다.] 이 원소를 a^{-1}로 적는다. 여기서, 위의 정의 중 부분만을 만족시키는 대상들에 대해 반군(1만을 만족), [[모노이드]](1, 2만을 만족) 등의 이름이 있다. 가끔 좀 별난 교과서에서는 2와 3을 결합법칙 전제하에서 다음과 같이 대체하기도 한다. 1. 좌항등원의 존재: l\in G이 존재하여,G의 임의의 원소 a에 대해,[br]a = l*a 1. 좌항등원의 좌역원의 존재: 임의의 a\in G에 대해, x\in G가 존재하여,[br]l=x*a 마찬가지로 결합법칙 전제하에 우항등원이 존재하고 우항등원의 우역원이 존재한다로도 군이 된다. 물론 좌항등원이 존재하고 좌항등원의 우역원이 존재한다 같은 걸로는 안 된다. 증명은 다음을 [[https://math.stackexchange.com/a/174035|참조]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기