문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 급수(수학) (문단 편집) == 개요 == {{{+1 [[級]][[數]] / Series}}} 급수는 '''부분합의 [[극한]]'''을 의미한다. 특정 수열에 대해 지정된 항에서 지정된 다른 항까지의 수를 모두 더하란 의미다. 유한급수와 달리 특정한 항까지 더하는 개념이 아니며 끝없이 보탠다. 급수를 [[Σ|시그마]]를 이용하여 표현하면 시그마 위에 있는 수가 [math(\infty)]로 바뀐다. [math(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}a_k)] [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n )] 또는 [math(\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}}^{} a_n )][* [math(n)]이 [[자연수]]가 되는 항을 모두 더하라는 뜻. 이렇게 시그마에 아래에만 무언가가 쓰여있을 경우, 그것에 쓰여있는 명제를 만족하는 모든 n에 대해서 더하라는 의미이다. 자연수가 1부터 시작해서 1씩 더해지는 무한집합이므로 결국 동치이다.] 또는 [math(\displaystyle \sum a_n )][* 초항이 [math(n=1)]인 급수는 이렇게 시그마의 위아래를 생략하고 쓰기도 한다.] 위 [math(a_n)]의 [[생성함수]]를 [math(f(x))]라고 정의하고 [[적분]] 기호로 표현하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}\lfloor x \rfloor)][*A 여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 [[최대 정수 함수]]이다.] 즉 급수는 이산함수의 이상적분과 동치이다.[* 위와 같은 적분을 [[스틸체스 적분]]이라고 한다.] 급수의 수렴에 대한 정확한 정의는 아래와 같다. >급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]의 [math(n)]항까지의 부분합을 [math(S_n)]로 나타내자. 이때, 수열 [math(\left\{S_n\right\})]가 어떤 실수 [math(S)]로 수렴할 때 급수가 수렴한다고 정의한다. 급수가 수렴하지 않으면 발산한다. 정의를 보면 알겠지만 급수의 정의는 '''부분합의 극한값'''이다. 저 위에 무한히 많은 항을 더한 것 같은 표현은 그저 무한대 표시처럼 관습적인 표현으로 알아두자. 그래서인지 급수를 처음 배울 때는 많은 수학 선생님들이 첫 번째 표현을 많이 강조한다. 무한번 더하는 것과 무한급수가 다르다는 것은 [[리만 재배열 정리]]라는 걸 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 단순하게 말해서 조건수렴하는 급수는 덧셈과 달리 [[교환법칙]]이 안먹힌다는 이야기다.[* 유한번은 교환법칙은 먹힌다. 유한번 교환해서 더하는 순서를 원래대로 바꿀 수 없으면 값이 달라질 수 있다.] [math(\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\cdots)] 또다른 예시로는 [[유리수]]의 덧셈에 대한 닫힘을 들 수 있다. 각 항이 유리수라면 부분합도 항상 유리수이지만 부분합의 극한인 급수는 [[무리수]]일 수 있다. 사실 이렇게 수열의 극한을 통해 유리수로부터 실수를 구성하기도 한다. 급수가 수렴하는지 발산하는지 확인하는 방법은 여러 가지가 있다. 하지만 판정법만으로는 수렴값을 구할 수는 없다. 자세한 판정법들은 아래 문단 참조. 고등학교 수학 교육과정에서는 미적분 단원 초반에 나오며, 그냥 '급수'라고만 호칭한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기