문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 급수(수학) (문단 편집) === 적분판정법(integral test) === >수열 [math(\left\{a_n\right\})]의 항이 i) 전부 양수, ii) 감소, iii)[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0)]이고, [math(\left[1, \infty\right))]에서 정의된 함수 [math(\forall n \in {\mathbb{N}} : f\left(n\right) = a_n )]가 감소함수이면, 급수 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]와 수열 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. 증명 ||모든 자연수 [math(k)]에 대해 [math(\forall x \in \left[k,\ k+1\right] : a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k )]이다. 따라서 [math(a_{k+1} \leq \displaystyle \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k)]이다. 만약 [math(n \geq 2)]이면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k)]이고, 곧 [math(S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1})]이다. 각 자연수 [math(k)]에 대해 [math(a_k)]이므로 수열 [math(\left\{S_n\right\})]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math(f\left(x\right)>0 , x \in [1, \infty ))]이므로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다. 역으로 [math(\displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 bounded되어 있고 따라서 수렴한다.[* 위로 유계이며 단조 증가인 수열은 수렴한다. 수열의 극한의 정의를 이용해 쉽게 보일 수 있다.]||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기