문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 급수(수학) (문단 편집) === 비(율)판정법(ratio test) === > [math(a_n)]이 양수이고, [math(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= R, \, \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= r)]라 하면,[* limsup과 liminf는 각각 상극한과 하극한을 말한다.] [br] 1. [math(R<1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 수렴한다. [br] 2. [math(r>1)]이면 [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n)]은 발산한다. [br] [math(R, r)]이 1인 경우에는 수렴인지 발산인지 판정이 불가능하다.[* 즉, 수열이 발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.] [[달랑베르]]가 처음 공식화시켰다고 알려져 있으나 '달랑베르 비율 판정법' 또는 '코시 비율 판정법'이라고도 불린다. 멱근판정법과 상당히 비슷하다. 영어로 ratio test라고 불린다. 증명 ||1. [math(R<1)]이면 임의의 [math(0<\epsilon<1-R)]를 만족하는 [math(\epsilon)]에 대해 [math(\displaystyle \ \forall k > N : {{a_{k+1}} \over{a_k}} < R + \epsilon <1 )]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. 만약 [math(\eta = R+\epsilon)]라 하면 [math(\forall k>N : a_{k+1}<\eta a_k )]이고, 곧 [math(\forall k>N : a_k<\eta ^{k-N}a_N )]이다. 급수 [math(\displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\eta ^{k-N}a_N = a_N \sum_{j=1}^{\infty}\eta ^j )]는 [math(\eta <1)]이기 때문에 수렴하고 따라서 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다. [br] 2. 만약 [math(r>1)]이면 적당히 큰 자연수 [math(N)]에 대해 [math(\forall k \geq N : a_{k+1}/a_k >1 )]이다. 따라서 [math(k>N)]는 [math(a_k>a_N>0)]를 의미하고, 곧 [math(\displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k \neq 0)]이다. Limit Term test에 의해 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 발산한다.|| 상극한과 하극한을 구하는 것은 까다롭기 때문에 보통은 아래 따름정리를 사용하게 된다. 사실 수학과가 아니면 처음부터 비율판정법을 아래의 것으로 배운다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기