문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 급수(수학) (문단 편집) == 절대수렴과 조건수렴 == >[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다.(절대수렴하는 급수는 수렴한다.) 증명 ||모든 [math(a_k)]에 대해 [math(-|a_k| \leq a_k \leq |a_k|)]이니 [math(-\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 성립하고 이때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 위 식은 [math(-(수렴값) \leq \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k \leq (수렴값))] 형태가 되어 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴할 수 밖에 없다. || [* [[복소수]]나 [[벡터]]일 경우에는 [[선형대수학|각 성분별로 분리]]해서 수렴 여부를 검증하면 된다.] {{{#!folding 더 어려운 증명(펼치기ㆍ접기) ||[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 코시판정법에 의해 임의의 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N} : \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| < \epsilon})]를 만족하게 하는 자연수 [math(N)]이 존재한다. [math(\left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|)]이므로 또 다시 코시판정법에 의해 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]도 수렴한다. ||}}} Limit Term test와 마찬가지로 위 명제의 역은 성립하지 않는다. 절댓값대신 택시노름같은 임의의 [[노름(수학)]]을 사용해도 성립한다. 또한 이는 실수와 같은 바나하공간[* 노름과 완비성을 둘다 갖는 벡터공간]에서만 성립하는 성질이다. 즉, 유리수에선 성립하지 않을 수가 있다. 또한 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하면 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 '''절대 수렴(absolute convergence)'''한다고 하며 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k)]는 수렴하는데 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|)]가 수렴하지 않으면 '''조건수렴(conditional convergence)'''한다고 한다.[* 무한차원 벡터공간에서는 수렴하지만 조건수렴하지도 절대수렴하지도 않는 반례가 존재한다. 이 경우 조건수렴은 항의 순서라는 조건에 따라 수렴값이 달라지는 급수로 정의된다.]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기