문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 나블라 (문단 편집) ==== 방향도함수와 기울기벡터 ==== [[다변수함수]]에서, 어느 한 변수의 변화율만을 계산하는 것을 [[편미분]]이라 한다. 편미분은 한 변수에 대해서만 추적할 수 있는 것이 흠으로, 때론 어떤 공간에서 단위 벡터 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{u}=\sum_{i}u_{i}\mathbf{\hat{x}}_{i} )]}}} 의 방향으로 점 [math((x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{n}))] 위의 변화율을 추적하고 싶을 때도 있을 것이다. 이처럼 다변수 함수에서 방향에 따른 변화율을 계산할 수 있게 해주는 편도함수의 일종[* [[http://www.ktword.co.kr/word/abbr_view.php?m_temp1=5671|출처]] ]을 '''방향도함수(directional derivative)'''라 한다. 사실 편미분 또한 단위벡터를 표준기저벡터로 놓은 경우와 같으므로 방향도함수의 특수한 경우라고 볼 수 있다. [[파일:namu_grad_new_new_new_1.png|width=320&align=center]] [math(n)]차원 도형에 대해 점 [math((x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{n}))]이 [math(h \mathbf{u})]로 이동된 후의 점을 [math((x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{n}+hu_{n}))]으로 쓸 수 있음에 따라 방향도함수를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle D_{\mathbf{u}}f=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{n-1}+hu_{n-1})-f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{n-1})}{h} )]}}} 으로 쓸 수 있다. 여기서 [math(f)]는 임의의 스칼라 함수이다. 이제 다음과 같은 함수를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle g(h) \equiv f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{i}+hu_{i}) )]}}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} g'(0)&=\lim_{h \to 0} \frac{g(h)-g(0)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{1}+hu_{1},\,x_{2}+hu_{2},\, \cdots,\, x_{i}+hu_{i})-f(x_{1},\,x_{2},\, \cdots,\, x_{i})}{h} \end{aligned} )]}}} 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} g'(0)&=\left. \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial (x_{i}+hu_{i})} \frac{\mathrm{d} (x_{i}+hu_{i})}{\mathrm{d} h} \right|_{h=0} \\&=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}u_{i} \end{aligned} )]}}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle D_{\mathbf{u}}f=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}u_{i} )]}}} 이것은 벡터의 내적 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f&=\left( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \mathbf{\hat{x}}_{i} \right) \boldsymbol{\cdot} \left( \sum_{i=1}^{n-1} u_{i}\mathbf{\hat{x}}_{i} \right) \\ &=\boldsymbol{\nabla} f \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u} \end{aligned} )]}}} 로 표현할 수 있다. 다뤘던 [math(\mathbf{u})]가 단위 벡터임을 상기하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle D_{\mathbf{u}}f= |\boldsymbol{\nabla} f| \cos{\theta} )]}}} 임을 알 수 있다. 여기서 [math(\theta)]는 두 벡터 [math(\boldsymbol{\nabla} f)], [math(\mathbf{u})]가 이루는 각이다. 위 결과로부터 기울기벡터와 방향도함수 사이의 관계를 아래와 같이 요약할 수 있다. * 방향도함수의 최댓값은 기울기벡터와의 방향이 같을 때이며, 최솟값은 기울기벡터와 반대의 방향일 때이다. * 따라서 기울기벡터는 함수가 급격히 증가하는 방향을 향한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기