문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 도함수 (문단 편집) === 음함수의 미분 === 음함수 [math(f(x,\,y)=0)]이 있을 때, [math(z \equiv f(x,\,y))]라 하고 양변을 전미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\rm d}z=\frac{\partial f}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial f}{\partial y}{\rm d}y=0 )]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\therefore\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=0 )]}}} {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\rightarrow\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\dfrac{\partial z}{\partial x}}{\dfrac{\partial z}{\partial y}} )]}}} 음함수의 미분법은 단순 음함수 표현을 띄는 [[초월함수]]식들부터 시작해서 특히 이차곡선에서 많이 쓰인다. 이들 곡선은 [math(x)]값 하나에 [math(y)]값 [math(2)]개가 대응되므로 함수가 아니다. 단, [math(x^2=4py)]는 이차함수이므로 다항함수의 미분법을 적용해도 미분이 가능하다. * 포물선 [math(y^2=4px)]에서 [math(y=f(x))]라 하면 [math(\{ f(x) \} ^2=4px)]이므로 [math(2f(x)f'(x)=4p)]이고 [math(\displaystyle f'(x) = \frac {2p} {f(x)} = \frac {2p} y)] * 타원 [math(ax^2+by^2=1)]에서 [math(y=f(x))]라 하면 [math(ax^2+b \{ f(x) \} ^2=1)]이므로 양변을 미분하면 [math(2ax+2bf(x)f'(x) = 0)]이므로 [math(2bf(x)f'(x) = -2ax)], [math(\displaystyle f'(x) = \frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac {ax} {bf(x)} = -\frac {ax} {by})] * 쌍곡선 [math(ax^2-by^2=\pm 1)]에서 [math(y=f(x))]라 하면 [math(2ax-2bf(x)f'(x)=0)]이고 [math(2bf(x)f'(x)=2ax)]이다. 그러면 [math(\displaystyle\ f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax}{by})] 원의 방정식 [math(x^2+y^2-1=0)]을 y에 대한 함수로 나타내면 [math(y=\pm \sqrt {1-x^2})]이다. 이처럼 [math(y)]가 [math(x)]에 대한 함수로 정의되면 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 양함수(explicit function, [[陽]][[函]][[數]])라 하고, 원의 방정식처럼 여러 개의 변수들의 관계식, 즉 [math(F(x,\,y)=0)]의 꼴로 정의될 때 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 음함수(implicit function, [[陰]][[函]][[數]])[* 간혹 함수의 정의에 입각해 음함수를 이해 못 하는 학생들이 종종 있다. 함수란 하나의(또는 한쌍의) 조작변수에 대해 하나의 종속변수가 대응하는 관계인데, 예시로 든[math(x^2+y^2-1=0)]의 식은 하나의 조작변수 x에 대응하는 값이 [math(y=\pm \sqrt {1-x^2})]로 두개이기 때문이다. 이것은 애초에 음함수라는 개념부터 엉성하게 이해하고 있기 때문에 발생하는 착각이다. 애초에 음함수 자체는 함수가 아니다. 음함수를 뜻하는 'implicit function'을 직역하면 '내재적 함수'로, 이는 공역을 잘 분리하면 '(명시적)함수'(explicit function)가 될 수 있다는 의미이다. 실제로 예시로 든[math(x^2+y^2-1=0)]는 공역을 [math(y_1,\in\{0≤y_1<∞\}, y_2\in\{-∞저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기