문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 동치관계 (문단 편집) == 등호 '=' == '''Equal ''' 수적 동일성(numerical identity)를 나타낼 때 쓰는 기호다. ''''이것은 이것이다'''' 라고 확실한 값을 내리는 기호이기에 쓰는 사람도 보는 사람도 틀리지 않다면 이를 위반할 수 없다. 수학에서 핵심적인 수준을 넘어 수학의 시작이자 본질적인 목표다. 수학의 온갖 현란한 문자들은 이를 위반하지 않으며 그러고 싶지도 않고 만약 정확하다면 하고 싶어도 못 한다. [[1차 논리]]에서 등호는 개체 변항을 연산항으로 취하는 기초 연산자로 정의된다. 많은 [[고차 논리]] 체계에서는 등호에 관하여 다음 정의 혹은 법칙을 받아들인다. > 어떤 객체 [math(x)], [math(y)]에 대해 [math(x=y)]는, 임의의 술어(predicate)[* 객체 하나를 받아 참, 거짓을 내놓는 함수. 사용하고 있는 형식논리 체계에 따라 그 정의가 약간씩 바뀔 수 있다.] [math(P)]에 대해 [math(P\left(x\right)\leftrightarrow P\left(y\right))]가 성립함을 말한다. 쉽게 표현하자면, 서로가 달라 보여도 나도 모르는 조건이 다르면 결국 본질적으로 같다는 말이다. 모든 논리식 안에서 두 객체를 서로 바꿔 쓸 수 있으면 이들은 논리적으로 같은 객체로 취급하는 것이다. 이는 수적 동일성을 논리적으로 생각할 때 유의미한 것 중 제일 섬세한(finest) 동치관계로 정의하는 것이라고도 볼 수 있다.[* 섬세함이라는 용어를 배제하고 말하면, "a=b면 모든 동치관계 ~에 대해 a~b이다"가 성립하게끔 =(등호)를 정의했다고 이해할 수 있다.] [[철학]]에서는 흔히 "[[라이프니츠]]의 법칙(Leibniz's Law)"라고 불리며, 쌍조건문의 양 방향을 각각 다음과 같이 나눠 부르고는 한다. * 동일자의 구별불가능성 원리:[* "동일자의 식별불가능성 원리"라고도 번역된다.] \forall x \forall y [x=y \to \forall P (P(x) \leftrightarrow P(y))] * 구별불가능자의 동일성 원리:[* "식별불가능자의 동일성 원리"라고도 번역된다.] \forall x \forall y [\forall P (P(x) \leftrightarrow P(y)) \to x=y] [* 단, 위 원리들은 술어의 양화가능성을 전제하고 있는데 이는 철학적으로 논란이 되는 사안이다. 술어의 양화가능성을 인정하는 것은 다수설이나 소수설이 논파된 것은 아니다.] [[집합론]]에서는 집합의 수적 동일성에 관하여 다음과 같은 외연공리(Axiom of Extension)를 받아들인다. 제법 거창하게 쓰긴 했지만 '두 집합이 서로의 부분집합일 때, 그리고 서로의 부분집합일 때에만 두 집합은 같다'는, 사실상 집합론을 처음 배울 때 접하는 집합의 같음 그 자체다. > 집합 [math(X)], [math(Y)]에 대해, "[math(X=Y)]"임은 "[math(k)]가 무엇이든지 [math(k\in X\leftrightarrow k\in Y)]"임과 필요충분조건 관계에 있다. 등호 기호 '='는 [[영국]]의 로버트 레코드라는 수학자가 1557년에 쓴 <지혜의 숫돌>에서 처음 사용했다. 이 책은 영어로 된 최초의 [[대수학]] 책으로 알려져 있다. 이 기호를 사용한 것에 대해 레코드는 "두 개의 평행선만큼 같은 것은 달리 없기 때문이다"라고 말했다. 그래서 옛날엔 더 넙적했다고. 반대로 이 등호에 슬래시가 그어지면([math(\neq)]) "다르다"라는 의미가 된다. 한국어에서 '='은 보조사 '은/는'으로 읽히기 때문에 초등학교 저학년 대상으로 해당 기호를 '등호'라고 읽는 것임을 밝히는 경우가 많다. 이런 한국어의 보조사 '은/는'의 용법상 한국어로 명제를 서술할 때에는 더 조심스러울 필요가 있다. 예를 들어 위에서 소개한 외연공리를 한국어로 서술할 때엔 '집합 [math(X)], [math(Y)]에 대해, [math(X=Y)]일 필요충분조건{{{+2 은}}}, 그 어떤 [math(k)]에 대해서도 [math(k\in X\leftrightarrow k\in Y)]인 것이다'라고 진술하곤 하는데, 한국어의 보조사 {{{+2 은}}}이 여기서 뜻하는 '문장 속에서 어떤 대상이 화제임을 나타내는 보조사'[* [[https://stdict.korean.go.kr/search/searchView.do?word_no=264585&searchKeywordTo=3|표준국어대사전 은^^4^^]], [[https://stdict.korean.go.kr/search/searchView.do?word_no=406525&searchKeywordTo=3|표준국어대사전 는^^1^^]] 참조.]로서의 용법으로 똑같이 쓰이는 다른 예를 분석해보자. 집합론에서 다루는 [[선택공리]], 하우스도르프의 극대원리, 조른의 보조정리, 정렬원리 등의 여러 명제들은 모두 서로 필요충분조건 관계에 있으며 이는 집합론, 위상수학, 대수학 등을 공부하면서 수많은 단계에 걸친 순환 증명으로 확인할 수 있는데, 여기서 한 쌍만 가져와서 '선택공리가 성립할 필요충분조건{{{+2 은}}} 하우스도르프의 극대원리가 성립함이다'라고 서술해보자. 여기서 보조사 {{{+2 은}}}은 'if and only if(~할 때 그리고 ~할 때에만)'이라는 영어 서술이 의미하는 바와 같은 의미를 함의하지만, 이 보조사가 쓰이는 용법을 근거로 메타분석을 한다면, 이는 '선택공리의 필요충분조건{{{+2 은}}} 하우스도르프의 극대원리,,뿐,,이다'라는, 본래 이 명제가 주장하는 바에 부합하지 않는 오해의 여지를 쓸데없이 남기는 문장이 된다. 이는 한국어의 특성(을 공유하는 언어의 특성)이므로 한국어로 이러한 동치관계에 대해 서술할 때에는 보다 다듬어진 진술이 요구된다. 이런 점에서 '='를 한국어로 읽을 때에 동치관계에서 요구하는 성질을 강조한다면 '1+2는 3이다'보다는 '1+2는 3과 같다'라는 진술이 더 적절할 것이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기