문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로그(수학) (문단 편집) == 역사 == 1614년에 [[존 네이피어]]가 만들었으며 당시엔 수십 자릿수의 곱셈을 할 수 있는 거의 유일한 방법이어서 정확한 로그표를 만들기 위해 평생을 바친 수학자도 있었다. '로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 두 배가 되었다'는 말이 있었을 정도. 지금은 물론 계산기 하나와 컴퓨터면 거의 다 해결되는 시대가 됐지만, 지수 방식으로 표현하는 계산기와 컴퓨터는 저장 공간 상의 한계로 어쩔 수 없이 오차가 생긴다. '''정말 정확하게 계산하려면 로그를 써야했다.''' 물론 그 당시 로그의 정의는 지금과 상당히 달랐기에 '네이피어 로가리듬(Napierian Logarithm)'이라는 이름과 함께 [math(\mathpunct{\rm NapLog}x)]라 나타내는 경우도 있다. 그 당시에만 해도 [math(\sin)]값이 단위원[* 반지름이 [math(1)]인 원]을 기준으로 정해지는 것이 아니라 반지름이 [math(10^7)] 정도로 큰 원을 기준으로 정해졌었는데, 그만큼 큰 값으로 계산을 할 일이 많았기 때문이다. 하지만 로그라는 이름으로 지금까지 내려온 만큼, 당시에 발명된 로그는 지금의 로그와 1차 선형 관계[* [math(y = ax+b)] 꼴로 나타내어지는 관계.]에 있는 수준이다. 네이피어 로가리듬의 정의는 다음과 같다. [[파일:attachment/로그/log.jpg]] 길이가 [math(10^7)]인 선분 [math(\overline{AB})]와 반직선 [math(\overrightarrow{CD})]에 대하여 [math(\overline{AB})]위의 점 [math(P)]와 [math(\overrightarrow{CD})]위의 점 [math(Q)]가 각각 [math(A)]와 [math(C)]를 동시에 같은 속도로 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 할 때, 점 [math(P)]의 속도는 [math(\overline{PB})]의 길이에 비례하고 점 [math(Q)]는 등속 직선 운동을 하는 상황을 가정한다. 이 때, 거리 [math(\overline{CQ})]를 [math(\overline{PB})]의 로그라 정의했다. [math(\overline{PB})]의 길이는 시간이 지날수록 짧아지는데 이 길이와 점 [math(P)]의 속도 [math(v_P(t))]가 비례하므로 다음과 같은 관계식을 세울 수 있다. || [math(v_P(t)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{AP}(t)=k\overline{PB}(t))] || [math(\overline{AP}(t)=\overline{AB}-\overline{PB}(t)=10^7-\overline{PB}(t))]이며, [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{AP}(t)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(10^7-\overline{PB}(t))=-\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{PB}(t))]이므로 위 식은 다음과 같은 1계 선형 미분방정식이 된다. || [math(-\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\overline{PB}(t)=k\overline{PB}(t))] || 위 미분방정식은 변수 분리형이므로 [math(\dfrac{{\rm d}\overline{PB}(t)}{\overline{PB}(t)}=-k{\rm d}t)]로 변형하고 양변을 [math(t=0)]부터 [math(t=t)]까지 적분해주면 된다. [math(\overline{PB}(0)=\overline{AB}=10^7)]이므로 || [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_0^t\dfrac{{\rm d}\overline{PB}(t)}{\overline{PB}(t)} &= -\int_0^t k\,{\rm d}t = -kt \\ &=\biggl[\ln\overline{PB}(t)\biggr]_0^t \\ &=\ln\dfrac{\overline{PB}(t)}{10^7} \\ \therefore\overline{PB}(t) &= 10^7e^{-kt} \\ v_P(t) &= k\overline{PB}(t)=10^7ke^{-kt} \end{aligned})] || 한편, 점 [math(Q)]의 속도 [math(v_Q(t))]는 [math(v_P(t))]의 초기 속도이므로 [math(v_Q(t)=v_P(0)=10^7k)]이며 [math(\overline{CQ}(t) = 10^7 kt)]로 나타낼 수 있다. 오늘날의 로그를 이용하여 [math(\overline{CQ})]와 [math(\overline{PB})]의 관계를 나타내면 || [math(\overline{CQ}=-10^7\ln\dfrac{\overline{PB}}{10^7}=10^7\log_{\frac1e}\dfrac{\overline{PB}}{10^7})] || 이므로, 최종적으로 || [math(\begin{aligned}\mathpunct{\rm NapLog}x &= 10^7\log_{\frac1e}\dfrac x{10^7} \\ &= 7{\cdot}10^7\ln10-10^7\ln x\end{aligned})] || 가 된다. 오늘날의 관점에서 네이피어 로그는 상수항이 있어 진수의 곱을 로그의 합으로 바꿔주기 위해서는 두 진수의 곱을 [math(10^7)]으로 나눠주는 조작을 가하거나, 두 네이피어 로그의 합에서 [math(7{\cdot}10^7\ln10\fallingdotseq161180956.5)]를 빼야 했다. 이러한 특성 때문에 당시엔 로그함수가 지수함수의 역함수라는 성질이 잘 드러나지 않았다. 이렇듯 [[존 네이피어]]가 정의한 로가리듬이 결과적으로 자연로그여서, '자연로그의 '''구체적인 값''''을 연구한 최초의 수학자라는 타이틀이 붙기도 한다. 이 공로를 감안하여 일부 수학 서적에서는 [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]를 '네이피어 상수'(Napier's Constant)라고 하는 경우도 있으나, 전술한 바와 같이 [math(e)] 자체에 대해 연구한 것은 아니므로 공식 명칭으로 받아들여지지는 않고 있다. 지수의 역함수 정도로 알고 넘어간 입장에서, 이러한 [[물리학]]에 입각한 로그의 초창기 정의를 보면 멘붕이 올 수도 있다. 로그의 성질에서 지수와의 연관성을 찾아내 지수함수의 역함수 형태로 정리한 [[오일러]]는 진짜로 대단한 것이다. 그러나 어려운 로그의 정의에도 불구하고, 그 당시 쓰던 삼각함수보다는 엄청나게 나았기에 계산기가 등장하기 전까지 사용됐다. 예를 들어, 삼각함수로 계산할 때는 주로 [[수학Ⅱ]]에서 배우는 '합을 곱으로, 곱을 합으로' 라는 공식을 사용한다. 그런데 이 공식은 단순한 곱셈, 제곱은 의외로 잘 되지만 [math(n)]제곱근 계산에 매우 취약하다. 로그계산을 하면 제곱 및 제곱근 계산이 매우 쉬운 것을 확인할 수 있는데, 말 그대로 천문학적인 수를 다뤄야 했던 천문학자들은 모두 환영했을 것임이 분명하다. 일반적인 중등교육과정에서는 [[지수(수학)|지수]]를 먼저 배우고 그의 역함수로서 로그를 배우지만, [[미분]]과 [[적분]]의 관계처럼 실제로는 로그가 먼저 탄생했다. 거꾸로 배우고 있는 셈이다. 물론 고등수학 이상에서는 적분과 로그를 먼저 정의한 후, 이를 이용해 지수를 정의하기도 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기