문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분 (문단 편집) ==== 예제 ==== ||<#fff> [[파일:2021년 10월 7번.jpg|width=370&align=center]] || || '''2021학년도 10월 7번''' || 아주 전형적인 미분가능성 문제로, 이제는 매우 쉬운 내용이 되어 3점짜리 문제로도 곧잘 나온다. {{{#!folding 풀이 [펼치기 · 접기] ---- [math(f(x))]는 [math(x=-3)]에서 미분불가능하므로 [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [math(g(-3)=0)]이어야 한다. 즉, [math(a=6)]이다. ---- }}} ||<#fff> [[파일:2020 수능 나 20.png|width=400&align=center]] || || '''2020학년도 수능 나형 20번''' || 함수의 연속성과 미분가능성을 동시에 묻는 문제이다. ㄱ에서는 연속성을, ㄴ과 ㄷ에서는 미분가능성을 묻고 있다. '''미분가능하면 연속'''이라는 사실을 기억할 필요가 있다. {{{#!folding 풀이 [펼치기 · 접기] ---- ㄱ을 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(-x)=0\\\neq&\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(x-1)=-1\end{aligned})]}}} 이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서 불연속이다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [math(p(0)=0)]이어야 한다. 즉 ㄱ은 옳다. ㄴ을 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}(x-1)=1\\=&\lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(2x-3)=1\end{aligned})]}}} 이므로 [math(f(x))]는 [math(x=2)]에서 연속이다. 그러나 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2-}\frac{(x-1)-1)}{x-2}=1\\\neq&\lim_{x\to2+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-3)-1}{x-2}=2\end{aligned})]}}} 와 같이 좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [math(x=2)]에서 미분불가능하다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [math(p(2)=0)]이어야 한다. 즉 ㄴ은 옳다. ㄷ을 보자. 우선 [math(\{f(x)\}^2)]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll}\!\!x^2\;&(x\leq0)\\\!\!(x-1)^2\;&(02)\end{array}\end{cases})]}}} 이 함수는 [math(f(x))]와 마찬가지로 [math(x=0)]에서 불연속이다. 따라서 [math(p'(0)=0)]이어야 한다. 또한 미분가능하면 연속이므로, [math(x=0)]에서 미분불가능하다. 그러므로 [math(p(0)=0)]이어야 한다. 한편 [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 연속이므로 [math(\{f(x)\}^2)] 역시 그러하다. 이제 [math(x=2)]에서의 미분가능성을 판별하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{\{f(x)\}^2-\{f(2)\}^2}{x-2}=\lim_{x\to2-}\frac{(x-1)^2-1)}{x-2}=2\\\neq&\lim_{x\to2+}\frac{\{f(x)\}^2-\{f(2)\}^2}{x-2}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-3)^2-1}{x-2}=4\end{aligned})]}}} 와 같이 좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [math(x=2)]에서 미분불가능하다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [math(p(2)=0)]이어야 한다. 최종적으로 [math(p(x))]는 [math(x^2(x-2))]로 나누어떨어질 것을 요구받을 뿐, [math(x^2(x-2)^2)]으로 나누어떨어질 필요는 없다. 즉 ㄷ은 옳지 않으며, 정답은 ②이다. }}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기