문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 미분 (문단 편집) ==== 심화: 극한값 존재성과 미분가능성 ==== '''다양하게 변형된 미분계수식의 극한값이 존재하는 것과 해당 함수가 해당 점에서 미분가능한 것은 별개이다.''' 이 사실을 직접 다룬 예제를 보며 이 말을 이해해 보자. ||<#fff> [[파일:2013학년도 사관학교 문과 18번.jpg|width=500&align=center]] || || '''2013학년도 사관학교 문과 18번''' || {{{#!folding 풀이 [펼치기·접기] ---- ㄱ을 보자. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한의 값이 같아야 하므로, 좌극한과 우극한을 각각 조사하자. [math(h^2=t)]로 치환하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}h^2})-f(a)}{\color{red}h^2}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}h^2})-f(a)}{\color{red}h^2}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\end{aligned})]}}} 결국 ㄱ의 좌극한과 우극한은 모두 [math(f(x))]의 우미분계수가 되므로 무조건 값이 같다. 즉, [math(f(x))]의 좌미분계수의 값에 관계없이 항상 극한값이 존재하므로 필요충분조건이 아니다. 이렇게 되는 이유는 [math(h^2)]과 같이 식이 [math(h)]에 짝수 거듭제곱을 취한 형태이기 때문이다. 그래서 [math(h)]가 [math(0)]보다 작은 쪽에서 접근하든(좌극한) 큰 쪽에서 접근하든(우극한) 이를 제곱한 [math(h^2=t)]는 항상 [math(0)]보다 큰 쪽에서 접근하는 우극한이 되어 버리는 것이다. 따라서 [math(h^2)]이 [math(|h|)], [math(h^4)], [math(h^{100})] 등으로 바뀌어도 결과는 같다. ㄴ을 보자. 이 역시 좌극한과 우극한을 각각 조사하자. [math(h^3=t)]로 치환하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}h^3})-f(a)}{\color{red}h^3}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}h^3})-f(a)}{\color{red}h^3}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\end{aligned})]}}} ㄴ의 좌극한은 [math(f(x))]의 좌미분계수와 같고, 우극한은 우미분계수와 같으므로, ㄴ의 극한값이 존재하면 [math(f(x))]의 미분계수도 정의되며 그 역도 성립한다. 즉, ㄴ은 필요충분조건이다. 이렇게 되는 이유는 [math(h^3)]과 같이 식이 [math(h)]에 홀수 거듭제곱을 취한 형태이기 때문이다. [math(h)]의 극한의 방향은 이를 세제곱한 [math(h^3=t)]의 극한의 방향과 항상 일치한다는 것이다. 따라서 [math(h^3)]이 [math(h^5)], [math(h^7)], [math(h^{99})] 등으로 바뀌어도 결과는 같다. 이것이 바로 ㄱ과 ㄴ의 결정적 차이점이다. ㄷ을 보자. 다음과 같이 좌극한과 우극한을 나누어 조사하면 된다. [math(-h=t)]로 치환하면 다음과 같다. 이때 [math(f'(a^-))]는 [math(x=a)]에서의 [math(f(x))]의 좌미분계수를, [math(f'(a^+))]는 우미분계수를 뜻한다. || [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a^-)+\dfrac12f'(a^+)\\\\\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0-}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a^+)+\dfrac12f'(a^-)\end{aligned})] || 따라서 좌극한과 우극한이 같다는 것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\dfrac12f'(a^-)+\dfrac12f'(a^+)=\dfrac12f'(a^+)+\dfrac12f'(a^-))]}}} 라는 뜻인데 이는 항등식이다. 따라서 ㄷ도 ㄱ처럼 좌미분계수와 우미분계수가 같든 다르든 무조건 극한값이 존재하며, 필요충분조건이 아니다. 결론적으로 답은 ②이다. 참고로, 미분계수가 정의되는 경우에는 다음과 같이 식을 정리하면 된다. 이때에도 [math(-h=t)]로 치환하면 된다. || [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a)+\dfrac12f'(a)=f'(a)\end{aligned})] || 이 경우에는 [math(f(a^-)=f(a^+)=f'(a))]로 쓸 수 있기 때문에 굳이 좌극한과 우극한으로 나누지 않고서도 위와 같은 계산이 가능한 것이다. 그러나 [math(x=a)]에서 미분이 가능하지 않더라도 위와 같이 극한값 자체는 존재한다는 것이 특기할 만하다. 이에 대해서는 바로 아래에서 더 자세히 설명한다. ---- }}} 위 예제의 ㄷ과 같은 형태의 식을 좀 더 자세히 탐구해 보자. 즉, [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능한 것과, [math(0)]이 아닌 서로 다른 두 상수 [math(p)]와 [math(q)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h\;\cdots\;(\rm A))]}}} 의 값이 존재하는 것의 관계를 알아 보자. 위에서 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하면 이 값이 [math((p-q)f'(a))]가 된다는 것을 알아 보았다. 그러나 미분가능하지 않은 경우에는 식을 좌극한과 우극한으로 나누어 조사해야 한다. || [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0-}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h&=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+ph)-f(a)}h-\lim_{h\to0-}\frac{f(a+qh)-f(a)}h\\&=\lim_{\color{red}h\to0-}p\times\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}-\lim_{\color{red}h\to0-}q\times\frac{f(a+{\color{red}qh})-f(a)}{\color{red}qh}\end{aligned})] || 이는 좌극한을 조사하는 과정의 일부이다. 이때, [math(p)]와 [math(q)]의 부호에 따라서 계산 결과가 달라진다. [math(p)]를 예로 들어 알아보자. [math(ph=t)]로 치환하면 다음과 같다. || [math(\begin{aligned}p>0:\quad\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^-)\\\lim_{\color{red}h\to0+}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^+)\\\\p<0:\quad\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^+)\\\lim_{\color{red}h\to0+}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^-)\end{aligned})] || 즉, [math(p>0)]이면 [math(h)]를 [math(t)]로 치환해도 극한의 방향은 유지되지만 [math(p<0)]이면 [math(ph=t)]로 놓고 치환하는 순간 극한의 방향이 반대가 되어 버린다는 것이다. 이 사실은 [math(q)]에 대해서도 동일하게 성립함은 물론이다. 따라서 위 [math((\rm A))]의 좌극한과 우극한은 [math(p)]와 [math(q)]의 부호에 따라 다음과 같이 달라진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\textsf{좌극한}\begin{cases}pf'(a^-)-qf'(a^-)\quad(p>0,\,q>0)\\pf'(a^-)-qf'(a^+)\quad(p>0,\,q<0)\\pf'(a^+)-qf'(a^-)\quad(p<0,\,q>0)\\pf'(a^+)-qf'(a^+)\quad(p<0,\,q<0)\end{cases})][br][br][math(\textsf{우극한}\begin{cases}pf'(a^+)-qf'(a^+)\quad(p>0,\,q>0)\\pf'(a^+)-qf'(a^-)\quad(p>0,\,q<0)\\pf'(a^-)-qf'(a^+)\quad(p<0,\,q>0)\\pf'(a^-)-qf'(a^-)\quad(p<0,\,q<0)\end{cases})]}}} 이에 따라 좌극한과 우극한이 같을 조건, 즉 [math((\rm A))]의 값이 존재할 조건은 최종적으로 다음과 같이 간단하게 정리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(|p|=|q|\;\textsf{or}\;f'(a^-)=f'(a^+))]}}} 즉, 미분계수가 [math(x=a)]에서 정의되어 [math(f'(a))]의 값이 존재하면 [math(p)]와 [math(q)]의 값에 관계없이 [math((\rm A))]의 값도 존재한다. 그러나 [math(f'(a))]의 값이 정해지지 않으면 그 다음 조건을 따져야 한다. 즉, [math(p)]와 [math(q)]의 절댓값이 같으면 되는 것이다. [math(p)]와 [math(q)]의 부호가 같으면 [math(p=q)]이어야 하며, 다르면 [math(p=-q)]이면 된다. 그런데 [math(p)]와 [math(q)]의 부호가 같아 [math(p=q)]이면 [math((\rm A))]의 분자가 그냥 [math(0)]이 되어 버리므로 [math((\rm A))]의 값도 단순히 [math(0)]이 된다. 그러나 이렇게 단순한 경우는 논의할 의미가 희박하다. 처음에 [math(p\neq q)]를 가정한 것은 이 때문이다. 따라서 실질적으로 '''미분계수가 정의되지 않으면서 [math(\boldsymbol{(}\bf A\boldsymbol{)})]의 값이 무조건 존재하는 중요한 경우는 [math(\boldsymbol{p=-q})]인 경우뿐이다.''' 이 경우 중 하나가 다름 아닌 위 예제의 ㄷ으로, ㄷ에서는 [math(p=1)], [math(q=-1)]이었다. 따라서 [math(x=a)]에서 미분계수가 정의되지 않더라도 무조건 ㄷ은 극한값을 가지므로 ㄷ은 필요충분조건이 되지 못하는 것이다. 또한 말을 뒤집으면, [math(|p|=|q|)]이지 않으면서 [math((\rm A))]의 값이 존재하려면 그냥 [math(x=a)]에서 미분계수가 무조건 정의되어야 하는 셈이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기