문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 사영평면 (문단 편집) == 고전 [[대수기하학]]에서의 사영평면 == [[선형대수학]]과 추상 [[대수학]]의 발전으로 나타난 일종의 사영평면의 현대수학적 해석법이다. 공간에서 점 [math((x,y,z))]를 지나는 사영평면의 직선을 [math([x:y:z])]로 쓰는 좌표를 '''사영 좌표'''(projective coordinate)라 부른다. 임의의 [math(k)]에 대해 [math([kx:ky:kz])]들은 모두 같은 점을 나타낸다. 통상적 좌표와는 다르게 점을 유일한 방식으로 나타내진 않지만, 딱히 문제되는 단점은 아니다. 어차피 사영공간의 점은 숫자 2개로만 나타내는 것이 불가능하기도 하고, 그걸 떠나서라도 매우 유용하기 때문이다. 평면 [math(z=1)] 위의 점을 대응시키는 것을 생각한다면 보통의 데카르트 직교좌표 [math((x,y))]는 사영 좌표 [math([x:y:1])]에 대응시킬 수 있고, 역으로 [math(z \neq 0)]인 사영좌표 [math([x:y:z])]는 좌표 [math((x/z,y/z))]에 대응된다. [[해석기하학]] 관점에서 보면 [math(x,y)]에 대한 다항식 형태의 도형의 방정식은 [math(x,y,z)]에 대한 동차 다항식(homogeneous polynomial) 형태의 방정식과 대응된다. 원의 방정식 [math(x^2+y^2=1)]이 [math(X^2+Y^2=Z^2)][* 유클리드/사영 좌표를 대응시킬 때 사영 좌표는 대문자로 쓰는 경우가 많다.]로 대응되는 식. 이러한 이유로 사영 좌표를 동차 좌표(homogeneous coordinate)라 부르기도 한다. 사영 좌표를 쓰면 사영 변환을 [math(x,y,z)]에 대한 3*3 행렬, 즉 [[선형 변환]]으로 간단하게 나타낼 수 있다. 항등행렬의 배수의 경우 항등변환과 대응되므로, 즉 사영 평면의 변환군은 전체 행렬을 항등 행렬로 나눈 [math(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{GL}_3(\mathbb{R})/\mathbb{R}^{\times})]의 형태로 나타난다. 사영 선형군(projective linear group)의 개념이 여기서 나온 것이다. 대수학으로 넘어가면 일반적인 [[체(대수학)|체]] [math(k)]위의 [math((n+1))]개로 이루어진 사영 좌표들의 공간을 [math(n)]차원 [math(k)]-사영공간이라 부르고, 실수 뿐만이 아니라 다양한 상황에서 사영공간을 생각한다. 예로 [[복소해석학]]에서 나오는 복소평면에 무한점 하나를 추가한 리만 구(Riemann sphere)는 (위상적으로는 구면이지만) 사실 복소 1차원 사영공간, 즉 사영직선(projective line)이다. 실수 사영평면과는 완전히 다르다. 더 나아가서 [[대수기하학]]에서 말하는 대수다양체(algebraic variety)로서의 사영 평면은 2차원 사영 공간에서 동차다항식을 생각하는 대수구조를 부여했다고 볼 수 있다. 위상의 정의만 말하자면, 일반 아핀 평면 [math(\mathbb{A}^2(k))]에서의 자리스키 위상이 다항식으로 정의되는 도형을 닫힌 집합으로 정의했다면 사영평면의 자리스키 위상은 동차다항식이 0이 되는 도형을 닫힌 집합으로 정의하게 된다. 사영좌표에서 동차다항식의 값 자체는 의미가 없지만 동차다항식이 0이 되는 집합은 충분히 잘 정의되기 때문에 이렇게 할 수 있다. 일반적 사영공간 위에서 동차다항식의 근을 사영 다양체(projective variety)라 할 수 있고, 고전 대수기하학은 보통의 아핀 다양체와 사영 다양체의 조합으로 나타나는 것들을 대상으로 하게 된다. 대수기하학에서 사영평면은 기존 아핀 평면의 불완전함을 메꾼 대상으로 생각된다. 예로 사영평면 위의 두 곡선 위에는 베주의 정리(Bezout's theorem)라는 정리가 있는데, 간단히 말해서 대수적으로 닫힌 체 위에선 차수가 각각 [math(m,n)]인 곡선 둘은 대개 [math(mn)]개의 점에서 만난다는 것이다. 일반 평면에서는 교점의 개수가 중구난방이었지만 복소수 위에서라면 일관성이 보장되는 것이다. 다른 예시로 [[타원곡선]]에서 뜬금없이 등장하는 무한점의 존재도 타원곡선을 사영 다양체로 보아야 정확하게 이해할 수 있고, 이 배경이 있어야 타원곡선을 균일한 도형으로 간주하는 대칭적 관점을 얻을 수 있다. --좀 많이-- 과장해서 말하면 평면을 무한점까지 포함해 균일하게 본다는 고전 사영기하학의 생각을 나름 살렸다고 볼 수도 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기