문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수 (문단 편집) === 여러 가지 각의 삼각함수 === 이하 모든 식들은 [[복부호 동순]]이다. [math(n)]이 정수일 때 다음이 성립한다. * [math(\sin{(n\pi\pm \theta)}=\pm (-1)^{n} \sin{\theta})] * [math(\cos{(n\pi \pm \theta)}=(-1)^{n}\cos{\theta})] * [math(\tan{(n\pi \pm \theta)}=\pm \tan{\theta})] * [math(\sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=(-1)^{n} \cos{\theta})] * [math(\cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\mp (-1)^{n}\sin{\theta})] * [math(\tan{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\mp \cot{\theta})] {{{#!folding [증명] ------ [[삼각함수의 덧셈정리]]를 적용한다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n\pi \pm \theta)}=\sin{(n\pi)}\cos{\theta} \pm \cos{(n \pi)} \sin{\theta} \end{aligned} )] || 임을 얻을 수 있다. 한편, ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n \pi)}&=0 \\ \cos{(n \pi)}&=(-1)^{n} \end{aligned} )] || 이므로 위 결과는 다음과 같이 쓸 수 있다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(n\pi \pm \theta)}= \pm (-1)^{n} \sin{\theta} \end{aligned} )] || 마찬가지의 방법으로 코사인에 대하여 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(n\pi \pm \theta)}&=\cos{(n\pi)}\cos{\theta} \mp \sin{(n \pi)} \sin{\theta} \\&=(-1)^{n}\cos{\theta} \end{aligned} )] || 탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 관계에 의하여 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(n\pi \pm \theta)}&=\frac{\sin{(n\pi \pm \theta)}}{\cos{(n\pi \pm \theta)}} \\&=\frac{\pm (-1)^{n} \sin{\theta} }{(-1)^{n}\cos{\theta}} \\&=\pm \tan{\theta} \end{aligned} )] || 마찬가지의 방법으로 삼각함수의 덧셈정리를 적용한다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=\sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \cos{\theta} \pm \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \sin{\theta} \end{aligned} )] || 임을 얻을 수 있다. 한편, ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}}&=(-1)^{n} \\ \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}}&=0 \end{aligned} )] || 이므로 위 결과는 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}=(-1)^{n} \cos{\theta} \end{aligned} )] || 마찬가지의 방법으로 코사인에 대하여 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}&=\cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \cos{\theta} \mp \sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \biggr\}} \sin{\theta} \\&=\mp(-1)^{n}\sin{\theta} \end{aligned} )] || 탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 관계에 의하여 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}} &= \frac{\sin{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}}{\cos{\biggl\{ \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \pm \theta \biggr\}}} \\&=\frac{(-1)^{n} \cos{\theta}}{\mp (-1)^{n}\sin{\theta}} \\&=\mp \cot{\theta} \end{aligned} )] || ----- }}} 자주 사용되는 형태를 정리하면 아래와 같다. ||<:> [math(\displaystyle \begin{matrix} \sin{(2n \pi \pm \theta)}=\pm \sin{\theta} \qquad \qquad & \cos{(2n \pi \pm \theta)}= \cos{\theta} \qquad \qquad & \tan{(2n \pi \pm \theta)}= \pm \tan{\theta}\\ \\ \sin{( \pi \pm \theta)}=\mp \sin{\theta} \qquad \qquad & \cos{( \pi \pm \theta)}= -\cos{\theta} \qquad \qquad & \tan{( \pi \pm \theta)}= \pm \tan{\theta}\\ \\ \sin{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \cos{\theta} \qquad \qquad & \cos{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \sin{\theta} \qquad \qquad & \tan{\biggl( \dfrac{\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \cot{\theta}\\ \\ \sin{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= -\cos{\theta} \qquad \qquad & \cos{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \pm \sin{\theta} \qquad \qquad & \tan{\biggl( \dfrac{3\pi}{2} \pm \theta \biggr)}= \mp \cot{\theta} \end{matrix} )] || 이것을 외우지 않고, 임의의 각에 적용하는 방법은 아래와 같다. 1. 임의의 각을 [math(\dfrac{\pi}{2}n \pm \theta)] (단, [math(n)]은 정수) 형태로 바꾼다.[* 보통 [math(\theta)]는 예각이나 특수각, 또는 나올 수 있는 양의 각 중 가장 작은 값을 택하나 필요에 따라 임의의 각, 음의 각을 택하여도 된다.] 1. [math(n)]이 홀수냐 짝수냐에 따라 다음을 진행한다. * [math(n)]이 홀수이면, 사인을 코사인으로, 코사인을 사인으로, 탄젠트를 코탄젠트로 바꾼다. * [math(n)]이 짝수이면, 삼각함수를 바꾸지 않고 그대로 진행한다. 1. [math(\theta)]가 '''예각이라고 가정'''하고 [math(\dfrac{\pi}{2}n \pm \theta)]의 각이 나타내는 동경이 위치하는 사분면을 확인한다. 1. 이 사분면에 원래 삼각함수가 양이면, [math(+)]를, 음이면 [math(-)]를 붙인다. 예로 [math(\sin{(35\pi/3)})]의 값을 구해보자. 우선 이 각은 ||<:> [math(\displaystyle \frac{35\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\cdot 23+\frac{\pi}{6} )] || 이다. 따라서 [math(n)]이 홀수이므로 사인은 코사인으로 바뀐다. 한편, 해당 각은 (예각이긴 하지만) [math(\pi/6)]를 예각으로 취급했을 때, 3사분면에 위치한다. 3사분면에서 사인은 음이므로 [math(-)]를 붙여 다음과 같이 구해진다. ||<:> [math(\displaystyle \sin{\biggl( \frac{35\pi}{3} \biggr)}=-\cos{\biggl( \frac{\pi}{6} \biggr)}=-\frac{\sqrt{3}}{2} )] || 만약 ||<:> [math(\displaystyle \frac{35\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\cdot 21+\frac{7\pi}{6} )] || 로 생각한다면, [math(7\pi/6)]를 예각으로 취급하여 해당 각을 1사분면에 위치한다고 하여 양으로 잡아 [math(+)]를 붙여 다음과 같이 구하여야 한다. ||<:> [math(\displaystyle \sin{\biggl( \frac{35\pi}{3} \biggr)}=+\cos{\biggl( \frac{7\pi}{6} \biggr)}=-\frac{\sqrt{3}}{2} )] || 이러한 유용한 공식이 나올 수 있는데는 삼각함수 자체가 주기함수이기 때문이다. 이 공식은 값이 큰 일반각을 다루기 쉽게 작은 각 또는 특수 각으로 고쳐 쉽게 일반각에 대한 삼각함수의 값을 구할 수 있다는데 의의가 있다. 또한 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hartley_transform|하틀리 변환]]에 사용되는 [[삼각함수/관련 함수#s-2.6|[math(\rm cas)] 함수]][* [math(\sin{x} + \cos{x})]]를 계산할 때 유용하게 사용된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기