문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수 (문단 편집) ==== 삼각방정식의 일반해 ==== 하지만 삼각함수 자체는 주기함수이기 때문에 해가 무한히 많다는 것을 그래프 상에서 직접 볼 수 있다. 따라서 실수 전체 구간에 대하여 구한 해를 '''일반해'''라 하는데, 그것을 구하는 방법을 알아보자. 간단하게 생각해보면 해의 범위를 실수 전체로 늘리면, 주치 구간에서 구한 특수해에서 한 바퀴 정수배 만큼의 회전이 가해지거나 감해지는 경우에도 방정식의 해가 될 것이다. 즉 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle x&=x_{1}+2n \pi \\ x&=x_{2}+2n \pi \end{aligned})] || 또한 해가 된다. 여기서 [math(n)]은 임의의 정수이다. 한편, [math(x_{2}>x_{1})]임을 가정하자. [[파일:namu_삼각방정식_단위원이용.svg|width=220&align=center&bgcolor=#ffffff]] [math(\sin{x}=a)]의 경우 다음이 성립한다. ||<:> [math(x_{2}=\pi-x_{1} )] || 이것을 대입하면 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(\pi-x_{1})+2n \pi \\ &=(2n+1)\pi-x_{1} \end{aligned})] || 위의 결과를 종합하여 해를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. ||<:> [math(x=n\pi+(-1)^{n}x_{1})] || 여기서는 [math(x_{1})]을 기준으로 했지만, [math(x_{2})]로 기준을 삼아도 결과는 같게 나온다. [[파일:namu_삼각방정식_단위원이용_2.svg|width=220&align=center&bgcolor=#ffffff]] [math(\cos{x}=a)]의 경우 다음이 성립한다. ||<:> [math(x_{2}=2\pi-x_{1} )] || 이것을 대입하면 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(2\pi-x_{1})+2n \pi \\ &=(n+1)2\pi-x_{1} \end{aligned})] || 위의 결과를 종합하여 해를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. ||<:> [math(x=2n\pi\pm x_{1})] || 여기서는 [math(x_{1})]을 기준으로 했지만, [math(x_{2})]로 기준을 삼아도 결과는 같게 나온다. [[파일:namu_삼각방정식_단위원이용_3.svg|width=220&align=center&bgcolor=#ffffff]] [math(\tan{x}=b)]의 경우 다음이 성립한다. ||<:> [math(x_{2}=\pi+x_{1} )] || 이것을 대입하면 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle x_{2}+2n \pi&=(\pi+x_{1})+2n \pi \\ &=(2n-1)\pi+x_{1} \end{aligned})] || 위의 결과를 종합하여 해를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. ||<:> [math(x=n \pi + x_{1})] || 여기서는 [math(x_{1})]을 기준으로 했지만, [math(x_{2})]로 기준을 삼아도 결과는 같게 나온다. 위 결과는 특수해를 주치 구간에 대하여 구한 것으로 한정했지만 실제로는 [math(x_{1})]이 어떤 구간에 대한 특수해에 대하여 성립한다. 하지만 유용성과 난이도를 이유로 [math(x_{1})]을 주치 구간의 특수해 중 작은 것을 잡는 것이 관례적이다. 위 문단의 내용을 정리하면 삼각방정식의 한 특수해를 [math(\xi)], [math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)], [math(n)]을 임의의 정수라 할 때 다음이 성립한다. || '''방정식''' || '''일반해''' || || [math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] ||[math(x=n\pi+(-1)^{n}\xi)] || || [math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] ||[math(x=2n\pi \pm \xi)] || || [math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] ||[math(x=n\pi+\xi)] || 삼각방정식 [math(\sin{x}=\sin{a})] 같은 꼴의 경우 해가 [math(x=a)]로 생각하기 쉽다. 하지만 그것은 틀린 생각으로 일반해의 개념을 적용하여 [math(x=n\pi+(-1)^{n}a)]가 돼야 옳다. 이 일반해의 개념을 가지고, 재미있는 논의를 해볼 수 있다. 예를 들어 좌표평면 상 [math(\tan{(x^2+y^2)}=1)]은 어떤 그래프를 그리게 될까? 간단히 일반해의 개념을 사용하면 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle x^2+y^2=n\pi+\frac{\pi}{4} \end{aligned})] || 를 만족해야 등식이 성립함을 알 수 있다. 그런데 이것은 중심이 원점이고, 반지름이 우변의 양의 제곱근과 같은 원의 방정식이다. [math(n)]은 무한히 가질 수 있으므로 이 원 또한 무한히 나타날 것이다. 마찬가지의 방법으로 [math(\tan{(y-f(x))}=a)] (단, [math(a)]는 상수)의 경우 ||<:> [math(\begin{aligned} \displaystyle y-f(x)=k_{n} \end{aligned})] || [math(k_{n})]은 일반해이자 상수로, 좌표평면 상에서는 [math(y=f(x))]를 [math(y)]축 방향으로 [math(k_{n})]만큼 평행이동한 그래프가 무한히 나오게 될 것이다. 다만 불행히도 그래프를 그리는 프로그램은 우리 처럼 해석하는 것이 아닌 알고리즘의 이유로 정확히 그래프를 그려주지 못하는 편이다. 더 나아가, [math(\cos{e^x})], [[위상수학자의 사인곡선|[math(\sin{x^{-1}})]]] 같은 것도 생각해볼 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기