문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 삼각함수 (문단 편집) === 복소함수에서의 삼각함수의 절댓값 === [math(z=x+iy)]일 때, [[삼각함수의 덧셈정리]]를 사용하면 ||<:> [math( \begin{aligned} \sin z &= \sin(x+iy) = \sin x\cos iy + \cos x\sin iy \\ &= \sin x\cosh y+i \cos x\sinh y \\ \cos z &= \cos(x+iy) = \cos x\cos iy-\sin x\sin iy \\ &= \cos x\cosh y-i \sin x\sinh y \end{aligned})] || 이 성질을 이용하여 삼각함수의 복소평면에서의 절댓값을 구해보자. 물론 [math(\mathbb R \subset \mathbb C)]이므로, 실수일 때도 성립한다. 참고로 [math(\tan z)]의 절댓값은 이렇게 구한 [math(\sin z)], [math(\cos z)]의 절댓값으로 구하는 게 빠르다.[* [br][math(\begin{aligned} \tan z&=\tan(x+iy)\\ &= \dfrac{\tan x + \tan iy}{1 - \tan x\tan iy} \\ &=\dfrac{\tan x+i \tanh y}{1-i \tan x\tanh y} \\ &=\dfrac{(\tan x+i\tanh y)(1+i\tan x\tanh y)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\tan x(1-\tanh^2y)+i\tanh y(1+\tan^2x)}{1+\tan^2x\tanh^2y} \\ &=\dfrac{\mathrm{sech}^2\,y\tan x+i\tanh y\sec^2x}{1+\tan^2x\tanh^2y} \end{aligned})]] 다음이 성립한다. ||<:> [math( \begin{aligned} |\sin z|&=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\ |\cos z|&=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \end{aligned})] || 이때, [math(\cosh^{2} y-\sinh^{2} y=1)]를 이용하면 다음과 같이 정리된다. ||<:> [math( \begin{aligned} |\sin z|&=\sqrt{\sin^2x\cosh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\&=\sqrt{\sin^2x+\sin^2x\sinh^2y+\cos^2x\sinh^2y} \\& =\sqrt{\sin^2x+\sinh^2y} \\ |\cos z|&=\sqrt{\cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \\&=\sqrt{\cos^2x+\cos^2x\sinh^2y+\sin^2x\sinh^2y} \\& =\sqrt{\cos^2x+\sinh^2y} \end{aligned})] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기